内蒙古自治区包头市东河区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份内蒙古自治区包头市东河区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．若点在x轴上，则点所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．甲、乙、丙、丁四名运动员进行百米测试，每人8次测试成绩的平均数都是秒，方差分别为，，，，则这四名运动员百米成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．正比例函数的函数值y随着x增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于
A．3B．6C．D．
6．我校举办“新时代好少年，强国有我”的读书节活动，推动全校读书风潮，七年级（1）班借此开展借书共享活动，甲对乙说：“若你的藏书给我一本，我的藏书数量是你藏书数量的2倍”，乙对甲说：“若你的藏书给我一本，你我藏书的数量就相同了”，设甲藏书本，乙藏书本，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（）
A．B．C．D．
8．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A．B．C．D．
二、填空题
9．若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 ．
10．若点与点关于轴对称，则 ．
11．若，则的值为 ．
12．一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ．
13．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，则 °．
14．已知点，在一次函数的图象上，则 ．（填“＞”或“＝”或“＜”）
15．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米．
16．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
①该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时；
②蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米；
③当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时；
④25千瓦时的电量，汽车能行驶150km．
说法错误的是
三、解答题
17．化简：
(1)；
(2)．
18．解方程组：．
19．停课期间某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了“钉钉”和“直播”两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分（分数均为整数．最高5分，最低1分）．20名同学打分情况如表1，学生打分的平均数、众数、中位数如表2：
表1：
表2：
抽取的10位教师对“钉钉”和“直播”这两款软件打分的平均分分别为分和4分．
请根据以上信息解答下列问题：
(1)将上面表格填写完整；
(2)你认为学生对这两款软件评价较高的是 （填“钉钉”或“直播”）；
(3)学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学．
20．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为点B坐标为，并直接写出点C的坐标；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)在（1）的条件下，在y轴上找一点F，使的面积等于的面积，直接写出点F的坐标．
21．问题引入：
(1)如图1，在中，点是和平分线的交点，若，则 ，若，则 （用α表示）；
(2)如图2，，，若，则 （用α表示），填空并说明理由．
22．近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元．
(1)A，B两种花的单价各为多少元？
(2)学校若购买A，B两种花共1000盆，
①设购买的B种花m盆，总费用为W元，请你写出W与m的函数关系式；
②若，求当m为何值时，学校购买花总花费最少，并求出最少费用为多少元？
23．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使分别落在x、y轴的正半轴上，其中，对角线所在直线解析式为将矩形沿着折叠，使点A落在边上的点D处．
(1)求点A的坐标；
(2)求的长度；
(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
软件人数得分
1分
2分
3分
4分
5分
钉钉
2
4
3
6
5
直播
1
4
6
5
4
软件
平均数
众数
中位数
钉钉
3.4
4

直播
3.35

3
参考答案：
1．C
【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐项判断即可得．
【详解】解：A、属于有理数，则此项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，则此项不符合题意；
C、是无理数，则此项符合题意；
D、是有限小数，属于有理数，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，熟记定义是解题关键．
2．B
【分析】根据点P在x轴上，可得，从而可得，即可求解．
【详解】解：点在x轴上，
∴，
∴，
∴点所在象限是第二象限，
故选：B．
3．D
【分析】比较甲乙丙丁四个人成绩的方差，方差小的成绩稳定，即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴，
则四名运动员百米成绩最稳定的是丁．
故选：D．
【点睛】本题考查了方差，掌握方差的意义，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是关键．
4．A
【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=2x+k的图象经过第一、三、四象限．
【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y=2x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=2x+k的图象经过第一、三、四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
5．B
【分析】把解代入方程，整体代入进行求解即可．
【详解】解：将代入方程得：，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的根，代数式求值，准确计算是解题的关键．
6．B
【分析】设甲藏书x本，乙藏书y本，根据甲对乙说的话得到方程“”，根据乙对甲说的话得到方程“”，联立方程组即可．
【详解】解：设设甲藏书x本，乙藏书y本，根据题意得
，
故选择：B
【点睛】本题考查根据实际问题抽象出二元一次方程组，解决问题的关键是确定满足条件的等量关系列方程即可．
7．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，可得，从而可得，然后再利用角平分线的定义以及平角定义可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【详解】解：平分平分，
在中，
故选：C．
8．D
【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过P作于G，连接，
（米），（米），
（米），
（米），
（米）
这只蚂蚁的最短行程应该是米，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
9．4
【分析】本题考查众数、中位数的意义和求法，众数指在一组数据中出现次数最多的数，而中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，根据众数的意义求出x的值，再根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可．
【详解】解：∵数据3，4，x，6，7的众数是3，
因此，
将数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，
因此中位数是4．
故答案为：4．
10．
【分析】根据平面直角坐标系内关于轴对称的点的坐标特征即可得到正确结果．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内关于轴对称的点的坐标特征，熟记平面直角坐标系内关于对称轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
11．
【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性求得x，y的值，然后利用立方根的定义即可求得答案．本题考查算术平方根及绝对值的非负性，立方根，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，本题考查了利用函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与一次函数交点的关系．
【详解】解：把代入得：，
解得，
所以点坐标为，
所以关于、的二元一次方程组的解是：，
故答案为：．
13．
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意得出的度数是解题的关键．
14．＞
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵点，在一次函数的图象上，且，
∴．
故答案为：＞．
15．/
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答．
【详解】解：
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形且；
设千米，则千米，
在中，由已知得，
由勾股定理得：，
∴，解得x=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．
16．④
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确的理解函数图象中的信息是解题的关键．由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；运用待定系数法求出关于的函数表达式，再把代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量即可得到结论．
【详解】解：由图象可知：
该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时，故①说法正确；
蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，故②说法正确；
当时，设关于的函数表达式，把点，代入，
得，
，
，
即当时，函数表达式为，
当时，，
即当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．故③说法正确；
当时，则，
解得：，
即25千瓦时的电量，汽车已行驶了，故④说法错误．
说法错误的是④．
故答案为：④．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键，（1）根据二次根式的乘法法则和除法法则运算；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．原方程组的解为
【分析】利用代入消元法解二元一次方程组的解法步骤求解即可．
【详解】解：，
由①得：③，
将③代入②中，得，解得，
将代入③中，得，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤是解答的关键．
19．(1)见解析
(2)钉钉
(3)学校会采用直播进行教学，计算见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可；
（2）根据学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对直播打分的中位数和平均数高即可得到答案；
（3）分别计算出两款软件的得分即可得到答案．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知直播得分为3分出现了6次，出现次数最多，
∴直播的众数为3分，
∵钉钉直播打分的一共有20人，分数处在第10和第11的分别是4分，4分，
∴钉钉直播的中位数为4分，
∴补全表格如下：
（2）解：学生对这两款软件评价较高的是钉钉，理由如下：
∵学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对直播打分的中位数和平均数高，
∴学生对这两款软件评价较高的是钉钉，
故答案为：钉钉；
（3）解：钉钉软件的得分为：分，
直播的得分为：分，
∵，
∴学校会采用直播进行教学．
【点睛】本题主要考查了中位数，众数和加权平均数，熟知三者的定义是解题的关键．
20．(1)见解析，；
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系，再确定C的坐标即可；
（2）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；
（3）设，利用面积构建方程求解．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示，
∴；
（2）是直角三角形．
理由：∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）设．
由题意，
∴，
∴或．
21．(1)，；
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是三角形内角和定理：
（1）求出的度数，根据平分线的定义得出，，求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；同理可得时的度数；
（2）根据三角形内角和定理用α表示出的度数，进而可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵分别是的角的平分线，
∴，，
∴，
∴；
同理，当时，，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
22．(1)A种花的单价为4元，B种花的单价为5元；
(2)①；②当m为500时，学校购买花总花费最少，最少费用为4500元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键．
（1）设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）①根据（1）的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；②根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，
依题意得，
解得，
答：A种花的单价为4元，B种花的单价为5元；
（2）①由题意可得，，
②∵，
∴W随m的增大而增大，
∵，
∴当时，W取得最小值，
此时，
即当m为500时，学校购买花总花费最少，最少费用为4500元．
23．(1)；
(2)5；
(3)存在，，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理以及轴对称−最短路径问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征结合矩形的性质，找出点B的坐标；（2）利用折叠的性质结合勾股定理，求出的长度；（3）利用两点之间线段最短确定点P的位置．
（1）由矩形的性质结合的长度可得出点C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，由直线的解析式，利用一次函数的图像上点的坐标特征可得出点A的坐标；
（2）在中，利用勾股定理可求出的长，进而可求出的长，设，则，在中，利用勾股定理可求出（的长）的值；
（3）作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，此时的周长最小，由点E的坐标可得出点的坐标，由点B，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵，四边形是矩形，
∴，
∴，代入得到，
∴直线的解析式为，
令，得到，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴；
（3）解：如图作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，

此时的周长最小．
∵，，
∴
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则
解得
则的解析试为，
当时，
∴．
软件
平均数
众数
中位数
钉钉
3.4
4
4
直播
3.35
3
3