2024昆明五华区高一上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024昆明五华区高一上学期1月期末考试数学含解析，共23页。试卷主要包含了 已知，，，则， 已知， 已知正数，满足，则， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。

数 学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 已知角的终边过点，则的值为
A. B. C. D.
3. 已知全集，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知：，：，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6 已知函数，则（ ）
A. 时，是偶函数B. 时，的值域为
C. 图象恒过定点和D. 时，是减函数
7. 已知函数在上的图象如图所示，则的解析式可以为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知正数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 为了得到的图象，只需把图象上所有的点（ ）
A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位
C. 向右平移个单位，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D. 向右平移个单位，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
11. 已知设函数则（ ）
A. 为奇函数
B. 当时，直线与的图象有两个交点
C. 若点在的图象上，则当时，
D. 函数有零点，则
12. 已知函数，则（ ）
A. 若，则有唯一零点
B 若，则有唯一零点
C. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为
D. 若关于的方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 ________.
14. 已知，则________.
15. 已知函数定义域为，且，，当时，，则________.
16. 水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具.如图，某水车的半径为4米，圆心距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈.当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计时，已知点距离水面的高度（米）关于时间（秒）的函数为，则________；点第一次到达最高点大约需要________秒.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）把化为的形式，并求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
18. 已知函数.
（1）若，求；
（2）若，均为锐角，且，求的取值范围.
19. 已知函数，.
（1）当时，求的最小值；
（2）记的最小值为，求的解析式.
20. 已知函数.
（1）求的定义域，并证明是奇函数；
（2）求关于的不等式的解集.
21. 已知函数.
（1）若对一切实数都成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
22. 设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题：
（1）分别求在区间、上的平均变化率；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【考试时间：1月11日8:00-10:00】
昆明市五华区2023～2024学年上学期高一期末质量检测
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为特称量词命题，其否定为：，.
故选：D
2. 已知角的终边过点，则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的广义定义可得的值.
【详解】因为，故选B.
【点睛】本题考查三角函数的概念及定义，考查基本运算能力.
3. 已知全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，，，再假设推出矛盾，即可得到，同理得到，，，即可得解.
【详解】因为，，
所以，，，，，，
若，则，，所以，与题意矛盾，所以，
同理可证，，，
所以.
故选：A
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量“0”，“1”即可比较大小.
【详解】，则，，
则，
故选：C.
5. 已知：，：，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，则或，
即：或，
所以由推得出，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：B
6. 已知函数，则（ ）
A. 时，是偶函数B. 时，的值域为
C. 的图象恒过定点和D. 时，是减函数
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A，当时定义域为，
且，所以为偶函数，故A正确；
对于B，当时，，则的值域为，故B错误；
对于C，当时，定义域为，函数不过点，故C错误；
对于D，当时，在上单调递增，故D错误；
故选：A
7. 已知函数在上的图象如图所示，则的解析式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，即可判断为奇函数，再根据奇偶性的性质判断各选项解析式的奇偶性，最后利用特殊值判断即可.
【详解】令，则的定义域为且，
所以为奇函数，又、为奇函数，
、为偶函数，
所以，均为偶函数，函数图象关于轴对称，不符合题意，故排除A、C；
与为奇函数，
若，则，不符合题意，排除B.
故选：D
8. 已知正数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，令，，说明的单调性，即可得到，从而得解.
【详解】因为正数，满足，
即，
即，
即，
令，，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，所以，即，所以.
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断A，利用特殊值判断B、C，利用基本不等式判断D.
【详解】对于A：若，则，所以，故A正确；
对于B：当，时满足，但是，故B错误；
对于C：当时满足，但是，故C错误；
对于D：因为，所以，
当且仅当，即时取等号，故D正确；
故选：AD
10. 为了得到的图象，只需把图象上所有的点（ ）
A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位
C. 向右平移个单位，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D. 向右平移个单位，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可.
【详解】对于A：把图象上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，
再将向右平移个单位得到，故A正确；
对于B：把图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，
再将向左平移个单位得到，故B正确；
对于C：把图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，故C错误；
对于D：把图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将横坐标缩短到原来，纵坐标不变得到，故D正确；
故选：ABD
11. 已知设函数则（ ）
A. 为奇函数
B. 当时，直线与的图象有两个交点
C. 若点在的图象上，则当时，
D. 函数有零点，则
【答案】BC
【解析】
【分析】首先写出解析式，即可画出函数图象，再数形结合即可判断.
【详解】令，即，解得或，
所以，
所以的图象如下所示：
由图可知为非奇非偶函数，故A错误；
因为与平行，
当时直线均与的图象有两个交点，故B正确；
当时，
所以若点在的图象上，则当时，，故C正确；
函数有零点，即与有交点，由图可知或，故D错误；
故选：BC
12. 已知函数，则（ ）
A. 若，则有唯一零点
B. 若，则有唯一零点
C. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为
D. 若关于的方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】令求出方程的解，即可判断A，分析恒成立，即可判断B，由由，可得或，结合C、D的条件得到不等式（组），解得即可.
【详解】对于A：当时，令，即，
又在定义域上单调递增且值域为，解得，
所以当时有唯一零点，故A正确；
对于B：当时，又，所以恒成立，所以不存在零点，故B错误；
对于C：由，故或，
因为关于的方程有两个不相等的实数根，
故，解得，所以的取值范围为，故C正确；
对于D：由，故或，
因为关于的方程有且仅有一个实数根，
所以或或，
解得或，
解得，解得，
综上可得或，
即的取值范围为，故D正确；
故选：ACD
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的运算性质、对数的运算性质及诱导公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
14. 已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：
15. 已知函数的定义域为，且，，当时，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得为偶函数且是周期为的周期函数，根据周期性及所给解析式计算可得.
【详解】因为函数的定义域为，且，，
所以为偶函数且是周期为的周期函数，
又当时，，
所以.
故答案为：
16. 水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具.如图，某水车的半径为4米，圆心距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈.当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计时，已知点距离水面的高度（米）关于时间（秒）的函数为，则________；点第一次到达最高点大约需要________秒.
【答案】 ①. 0 ②. 4
【解析】
【分析】以圆心为原点建立平面直角坐标系，由函数的周期求出，最后由，求出，即可求出函数解析式，则得到的值，令，即即可求得时间．
【详解】以为坐标原点建立如图坐标系，
由题知周期秒，，所以，
又，∴，又因为，则，则，
所以，（）.
令得，∴，
所以，得.所以点第一次到达最高点需要4秒.
故答案为：0；4.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）把化为的形式，并求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解；
（2）由正弦函数的单调区间可得．
【小问1详解】
（1），
所以最小正周期为．
【小问2详解】
由，，解得，，
所以的增区间为．
18. 已知函数.
（1）若，求；
（2）若，均为锐角，且，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，结合齐次式问题分析求解；
（2）由求出，把消去，利用三角函数求最值.
【小问1详解】
因为函数，显然，
所以.
【小问2详解】
因为，则，
可得，
因为，均为锐角，可知，且，
可得，则，即，
所以
因为，则，可得，
即.
所以的取值范围为.
19. 已知函数，.
（1）当时，求的最小值；
（2）记的最小值为，求的解析式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可；
（2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得．
【小问1详解】
设，因为，则，
则，，
当时，，，
∴时，，即当时，
【小问2详解】
由（1）知，，
其图象的对称轴为．
①当时，在上单调递增，所以；
②当时，，
③当时，在上单调递减，所以.
综上，.
20. 已知函数.
（1）求的定义域，并证明是奇函数；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】20. ，证明是奇函数见详解.
21. .
【解析】
【分析】（1）常见六类基本初等函数的定义域求法计算即可，用奇函数的定义证明奇偶性即可.
（2）利用函数增减性定义即可解出不等式.
【小问1详解】
令，
故的定义域为.
上式化简有：……③
由③式知：.
的定义域关于原点对称，且，由奇函数的定义可知为奇函数.
【小问2详解】
利用增减性的定义证明的增减性：
设，
……④
对④式化简有：……⑤
……⑥
……⑦
……⑧
⑦⑧有：……⑨
⑥⑨代入⑤式有：……⑩，即，
所以在区间单调递减.
由于奇函数在定义域内单调性一致在定义域内单调递减.
.
由奇函数定义代入上式化简有：.
因为在定义域内单调减；
即;
在定义域内，
故的解集为.
21. 已知函数.
（1）若对一切实数都成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意对一切实数都成立，分、两种情况讨论，当时则，即可求出参数的取值范围；
（2）首先求出在上的值域，令，，依题意可得在上的值域为在上的值域的子集，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【小问1详解】
因为对一切实数都成立，即对一切实数都成立，
当时显然恒成立，
当时，则，解得，
综上可得，实数的取值范围.
【小问2详解】
当时，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以在上的值域为，
令，，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以在上的值域为在上的值域的子集，
当时为常数函数，显然不符合题意；
当时在上单调递增，
所以在上的值域为，所以，解得；
当时上单调递减，
所以在上的值域为，所以，解得；
综上可得.
22. 设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题：
（1）分别求在区间、上的平均变化率；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）参变分离可得在时恒成立，利用所给定义证明在上单调递增，上单调递减，即可求出当时，从而求出参数的取值范围.
【小问1详解】
因为，则，，，
所以，，
所以在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为.
【小问2详解】
因为当时，不等式恒成立，
所以在时恒成立，
对于函数，，
设任意且，则，
因为且，所以，，则，
所以，即在上恒成立，
所以在区间上单调递增，同理可证在上单调递减，
所以当时，所以.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是参变分离得到在时恒成立，结合所给定义证明函数，的单调性.