新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2024届高三第一次质量监测数学试题

这是一份新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2024届高三第一次质量监测数学试题，共7页。试卷主要包含了本试卷分为问卷的指定位量上，已知向量，，则，已知数列满足，，则，的展开式中的系数为，已知函数的部分图像如图所示，则，若函数的定义域为，且，，则等内容，欢迎下载使用。

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位量上．
2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．若复数，则（ ）
A．B．C．1D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知向量，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知数列满足，，则（ ）
A．3B．2或C．3或D．2
5．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．20D．30
6．设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大位为（ ）
A．15B．16C．22D．23
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上有4个零点
C．
D．将的图祭向右平移个单位，可得的图急
10．若函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点对称D．
11．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（ ）
A．该几何体的顶点数为12
B．该几何体的棱数为24
C．该几何体的表面积为
D．该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知集合，，则的子集个数为_________；
13．在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为_________；（若，则）
14．设双曲线的左、右焦点分别为，，A是右支上一点，满足，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线离心率的一个值为_________．
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）设等比数列的前项和为，已知，．
（I）求的通项公式；
（II）设，求的前项和．
16．（15分）我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1．视力为正常视力．否则就是近视．某地区对学生视力与学习成结进行调查，随机抽查了100名近视学生的成绩，得到频率分布直方图：
（I）能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关？（不需说明理由）
（II）估计该地区近视学生学习成缆的第85百分位数；（精确到0.1）
（III）已知该地区学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩分为优秀），从该地区学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．
（I）求直线与平面所成角的正弦值；
（II）在截面内是否存在点．使平面，并说明理由．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．
（I）求椭圆的方程；
（II）证明直线过定点；
（III）椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．
19．（17分）已知函数．
（I）证明曲线在处的切线过原点；
（II）讨论的单调性；
（III）若，求实数的取值范围．
乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测
数学（答案）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．
1~4ACDC5~8ABBD
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．ABC10．BCD11．ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．413．0.114．或5
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）（I）由题设得，故，
因为数列为等比数列，所以数列，所以；
（II）由（I）得，
所以．
16．（15分）（I）不能据此判断；
（II）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为，因此第85百分位数一定位于 内，由，可以估计该地区近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95．8；
（III）设“该地区近视学生”，“该地区优秀学生”，
由题设得，，，
所以．
17．（15分）（I）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，，，，，，
设平面的法向量，则，即，可取，
因为，所以与平面所成角的正弦值为；
（II）假设截面内存在点满足条件，设，，，，
所以，，，
因为平面，所以，所以，解得，
这与假设矛盾矛盾，所以不存在点，使平面．
18．（17分）（I）由题设得，解得，所以的方程为；
（II）由题意可设，设，，
由，整理得，
．
由韦达定理得，，
由得，即，
整理得，因为，得，解得或，
时，直线过定点舍去；
时，满足，所以直线过定点．
（III）由（II）得直线，所以，
由，整理得，，
由题意得，
因为，所以，所以，令，，
所以，在上单调递减，
所以的范围是．
19．（17分）（I）由题设得，所以，
又因为，所以切点为，斜率，
所以切线方程为，即，恒过原点．
（II）由（I）得，
①时，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
②时，，时，，，在上单调递增，
时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③时，，在上单调递增，在上单调递减；
（III）当时，，即，
下面证明当时，，，即证，
令，因为，所以，只需证，
即证，令，，，令，，
令，，与在上单调递减，
所以在上单调递减，，，
所以存在，使得，即，
所以，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，，
令，时，
所以在上单调递增，所以，
所以，，所以在上单调递减，
，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，综上所述．
以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．