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广东省汕头市金山中学2024届高三上学期第二次调研数学试题（学生及教师版）
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知的面积为24，平面中的点分别满足，，，则的面积为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
4. “的最小正周期为”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5 已知数列，则等于（ ）
A. 511B. 1022C. 1023D. 2047
6. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A. 11分钟B. 13分钟C. 15分钟D. 17分钟
7. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，.若，且三棱锥的外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，长为（ ）
A B. 2C. D.
8. 已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 相关系数越接近1，变量，相关性越强
B. 若随机变量，满足，则
C. 相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D. 设随机变量服从二项分布，则
10. 亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 在区间上单调递减
D. 若将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为
11. 如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 以为直径的圆与相切B.
C. D. 的最小值为4
12. 已知函数，，且有两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B.
C. 若，则D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中常数项为______.
14. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则__________.
15. 已知正三棱台高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
16. 已知实数，分别满足，，其中是自然对数的底数，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17. 已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，且.
（1）求数列通项公式；
（2）记，求证：.
18. 在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.
在中，角所对的边分别为，__________，且.求：
（1）；
（2）周长的取值范围.
19. 在矩形中，，（如图1），将沿折起到位置，使得点在平面上的射影在边上，连结（如图2）．
（1）证明：；
（2）过直线的平面与平行，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）
甲：5 6.3 9.5 9.2 6 乙：7.2 7.3 6.6 7 7.9
（1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；
（2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．
21. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与的斜率之积为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过的直线交曲线于两点，直线与直线交于点，求证：为定值．
22. 已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设关于的不等式对恒成立时的最大值为，求的取值范围．
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知的面积为24，平面中的点分别满足，，，则的面积为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
4. “的最小正周期为”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5 已知数列，则等于（ ）
A. 511B. 1022C. 1023D. 2047
6. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A. 11分钟B. 13分钟C. 15分钟D. 17分钟
7. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，.若，且三棱锥的外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，长为（ ）
A B. 2C. D.
8. 已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 相关系数越接近1，变量，相关性越强
B. 若随机变量，满足，则
C. 相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D. 设随机变量服从二项分布，则
10. 亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 在区间上单调递减
D. 若将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为
11. 如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 以为直径的圆与相切B.
C. D. 的最小值为4
12. 已知函数，，且有两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B.
C. 若，则D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中常数项为______.
14. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则__________.
15. 已知正三棱台高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
16. 已知实数，分别满足，，其中是自然对数的底数，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17. 已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，且.
（1）求数列通项公式；
（2）记，求证：.
18. 在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.
在中，角所对的边分别为，__________，且.求：
（1）；
（2）周长的取值范围.
19. 在矩形中，，（如图1），将沿折起到位置，使得点在平面上的射影在边上，连结（如图2）．
（1）证明：；
（2）过直线的平面与平行，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）
甲：5 6.3 9.5 9.2 6 乙：7.2 7.3 6.6 7 7.9
（1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；
（2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．
21. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与的斜率之积为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过的直线交曲线于两点，直线与直线交于点，求证：为定值．
22. 已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设关于的不等式对恒成立时的最大值为，求的取值范围．
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