河南省安阳市第一中学2023-2024学年高三上学期1月阶段测试数学试题

这是一份河南省安阳市第一中学2023-2024学年高三上学期1月阶段测试数学试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，则( )
A．B．C．D．
2．已知复数，则( )
A．B．C．D．
3．已知是等差数列的前n项和，为数列的前n项和，若，，则( )
A．51B．52C．84D．104
4．设，为单位向量，且，则向量，夹角的余弦值为( )
A．B．C．D．
5．直线，，则“或”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．设，，，则( )
A．B．C．D．
7．如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法不正确的是( )
A．四面体PBCQ的体积的最大值为
B．的取值范围是
C．若二面角的平面角为，则
D．若三棱锥的外接球表面积为S，则
8．为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•万里行”知识竞赛．现抽取10个班级的平均成绩：70、71、73、76、78、78、81、85、89、90，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为( )
A．77B．78C．76D．80
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．若，，则符合条件的有两个
D．若，则角B的大小为
10．已知函数若方程有四个不等实根，，，．下列说法正确的是( )
A．B．C．D．
11．数列满足:，，，下列说法正确的是( )
A．数列为等比数列B．
C．数列是递减数列D．的前n项和
12．已知，且，若对任意的，恒成立，则实数m的可能取值为( )
A．B．C．D．2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为__________．
14．展开式中含项的系数为________________．
15．已知抛物线的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为______．
16．已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为线段上的动点，则A到平面的最大距离为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的值．
18．（12分）等差数列满足，，等比数列满足，
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，三角形PAB为正三角形，且侧面底面AB，CD．EM分别为线段AB，PD的中点．
（1）求证:平面ACM；
（2）在棱CD上是否存在点G，使平面平面ABCD，请说明理由．
20．（12分）椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
21．（12分）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求．某机构统计了A，B，C，D，E，F共6家公司在5G通信技术上的投入x（千万元）与收益y（千万元）的数据，如下表：
(1)若x与y之间线性相关，求y关于x的线性回归方程．并估计若投入15千万元，收益大约为多少千万元？（精确到0．01）
(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为1，3，5，6的去甲城市，掷出正面向上的点数为2，4的去乙城市．求：
①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；
②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率．（用最简分数作答）
参考数据及公式：，，
22．（12分）已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若不等式恒成立，求m的取值范围；
（3）设，证明:．

参考答案
1．答案：B
解析：由，得或，则或，
又，所以，
故选：B．
2．答案：A
解析：复数，
所以，
则，
故选:A．
3．答案：A
解析：设等差数列的公差为d，则，
由可得，整理可得，
解得，，所以，，则，
则，所以，数列为等差数列，
所以，．
故选：A．
4．答案：A
解析：由可得：，即．
因为，为单位向量所以．
所以，解得：．
故选：A．
5．答案：B
解析：由题意，当直线时，满足，解得，
所以“或”是“”的必要不充分条件，故选B．
6．答案：A
解析：，，，
则，
令，则，且，
所以，即；
又，所以，
综上，．
7．答案：B
解析：由题意知在直四棱柱中，半圆弧经过点D，故，
点P到底面ABCD的距离为，
当点Q位于半圆弧上的中点时最大，即四面体PBCQ体积最大，
则，故A正确；由于，则，
又在中， ，
故，
因为，所以，则 ，故B错误；
因为平面ABCD，QB平面ABCD，故，而，
，，平面，故QB平面，平面，
故，所以是二面角的平面角，
则，因为，所以，故C正确；
设线段BC的中点为N，线段的中点为K，则三棱锥的外接球球心O在NK上，
在四边形中，，，
设，在中，在中，
故，整理得，所以，
所以外接球的表面积为，D正确，
故选：B．
8．答案：A
解析：因共10个数据，则，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数据与第5个数据的平均数，即．
故选：A
9．答案：ABD
解析：A选项，在三角形中，大角对大边，所以，由正弦定理得，所以，所以A选项正确．
B选项，由正弦定理得，所以，C为钝角，所以B选项正确．
C选项，由余弦定理得，有唯一解，C选项错误．
D选项，由正弦定理得，，，D选项正确．
故选：ABD．
10．答案：ABD
解析：因为当时，，所以，所以的图象关于对称，，所以，所以，作出的图象，如图所示:
由此可得，即，所以，所以，故A正确；
因为方程有四个不等实根，
所以，故B正确；
对于C，由题意可得函数的图象不关于对称，所以，故错误；
因为，关于对称，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，故D正确．
故选:ABD．
11．答案：AB
解析：数列满足:，，，
，，
，
数列为首项为，公比为3的等比数列，故A正确；
，，故B正确；
数列是递增数列，故C错误；
数列的前项和为:，
的前项和，故D错误．
故选:AB
12．答案：ACD
解析：，，，
即，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，
解得：或，选项中满足条件的有ACD．
故选：ACD．
13．答案：
解析：因为，，所以，，所以向量a在向量b上的投影向量为．
14．答案：-60
解析：，
设该二项式的通项公式为，
因为的次数为3，所以令，
二项式的通项公式为，
令，
所以项的系数为，
故答案为：-60．
15．答案：
解析：
由得，
所以直线过点．
连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，
所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，
过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，
则，
当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，
所以的最小值为．
故答案为；
16．答案：
解析：取BC的中点E，连接AE，
因为三棱柱为正三棱柱，所以，平面ABC，
因为平面ABC，所以，
所以以A为原点，AE所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正三棱柱的所有棱长均为2，
所以，，，，
设，则，
所以，，，
当时，，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设A到平面的距离为d，则，
当时，设平面的法向量为，则
，令，则，
设A到平面的距离为d，则
，
所以当时，d取得最大值，
因为，
所以A到平面的最大距离为，
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，由正弦定理可得，
所以，
，
因为B，，所以，，则，故．
（2）因为，，，
由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，所以，．
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设公差为d，公比为q
则，解出，
．
又由，解出，
．
（2）由题意
①
②
①-②得:
19．答案：（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
解析：（1）连接BD交AC于H点，连接MH，
因为四边形ABCD是菱形，
所以点为的中点．
又因为为的中点，
所以．
又因为平面ACM，平面ACM，
所以平面ACM．
（2）在棱CD上存在点G，G为CD的中点时，平面平面ABCD．
证明:连接EC．
因为为正三角形，E为AB的中点，
所以，
又因为平面平面ABCD，平面平面平面PAB．
所以平面ABCD，又平面ABCD，
所以，
因为ABCD是菱形，，为AB的中点，
所以是正三角形，，
因为，
所以，
因为，平面PEC，平面PEC，
所以平面PEC，又平面PEC，
所以．
因为M，G分别为PD，CD的中点，
所以，
所以，
因为ABCD是菱形，，
所以是正三角形．
又因为G为CD的中点，
所以，
因为，平面MAG，平面MAG，
所以平面MAG，
因为平面ABCD，
所以平面平面ABCD．
20．答案：(1)
(2)6
解析：（1）由题意，设椭圆半焦距为c，则，
即，得，
设，由，所以的最大值为，
将代入，有，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，
设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，
，可得，
由韦达定理可得，
直线BA的方程为，令得点M纵坐标，
同理可得点N纵坐标，
当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，
，
由，故，解得．
21．答案：(1)；35．12千万元
(2)①；②
解析：（1）（1）
，则
当，则
所以当投入15千万元，收益大约为35．12千万元．
（2）① 设“某位代表去甲城市参加活动”为事件A，则，
所以A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率为，
② 设“6位代表中去甲城市参加活动的人数少于去乙城市参加活动的人数”为事件B，
．
22．答案：（1）递增区间为，递减区间为
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）当时，，
则，
令，得；令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由，得，
设，
当时，，，
所以当时，，不符合题意．
当时，，
设，，
其图象为开口向下的抛物线，对称轴为，
当，即时，
因为，
所以当时，，即，
此时单调递增，所以，不符合题意．
当，即时，在上单调递减，
所以，
所以，所以在上单调递减，
所以，符合题意．
综上所述，m的取值范围为．
（3）由（2）可得当时，，即，
令，，则，
所以，，…，，
以上各式相加得，
即，
所以
投入x（千万元）
5
7
8
10
11
13
收益y（千万元）
11
15
16
22
25
31
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