湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题（学生及教师版）

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本试卷共4页，22个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求得集合后即可求解.
【详解】因为集合，
所以，其元素个数为2，
故选：C.
2. 下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘法和除法运算对选项一一化简即可得出答案.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：D.
3. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题或者特称命题的否定判断即可；
【详解】根据全称命题或者特称命题的否定，
所以 的否定为，
故选：D.
4. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.
【详解】因为抛物线的准线为，
由题意可得：，解得.
故选：A.
5. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值.
【详解】
，
所以，所以，
所以，
.
故选：D.
6. 苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ）
A. 56B. 90C. 110D. 132
【答案】B
【解析】
【分析】分两个“对唱”节目相邻和不相邻解决.
【详解】根据题意分两类，
第一种两个“对唱”节目相邻：，
第一种两个“对唱”节目不相邻：，
则不同排法种数为.
故选：B
7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦函数的性质求出函数的单调区间，从而得到不等式组，即可求出参数的取值范围.
【详解】由，解得，
的单调增区间为.
在上单调递增，，.
由，解得，
的单调减区间为，
又函数在上单调递减，
，.
综上，，即实数的取值范围为.
故选：C
8. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数然后根据函数的单调性判断的大小，构造函数判断的大小，从而判断出大小；
【详解】，
设，
在上单调递减.
又
；
又，
设
时，
在单调递减.
；
综上，，
故选：D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设点为圆上一点，已知点，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 最小值为8
C. 存在点使
D. 过A点作圆的切线，则切线长为
【答案】AD
【解析】
【分析】设，利用圆心到直线的距离不大于半径求得的范围，判断A，确定的最小值及取得最小值时的值，再由已知圆判断B，求出满足的点有轨迹圆，由两圆位置关系判断C，求出切线长判断D．
【详解】设，即，由得，∴的最大值是，A正确；
，只有且时，才能取得最小值8，但时，且，因此上述最小值不能取得，B错；
由得，整理得，因此满足的点在圆，此圆圆心为，半径为，而，因此它与圆外离，因此圆上不存在点，满足， ，C错；
圆圆心为，半径为，则过A点作圆的切线的切线长为，D正确．
故选：AD．
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，且，则总体方差
B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
C. 已知随机变量，若，则
D. 已知一组数据为，则这组数据的第40百分位数为39
【答案】BCD
【解析】
【分析】A由分层抽样中样本、总体间的均值、方差关系判断;B由相关系数的实际意义判断；C根据正态分布对称性判断；D由百分位数定义求出对应分位数判断.
【详解】对于A，由题意，若两层样本容量依次为，而，则总体均值为，则总体的方差为，当且仅当时，，故A错误；
对于B，由成对数据相关性中相关系数实际意义知：相关系数越接近于1，线性相关关系越强，反之也成立，故B正确；
对于C，由,故，根据正态分布对称性,故C正确；
对于D，由，则，由此可得，所以这组数据的第百分位数为，故D正确.
故选：BCD
11. 如图所示，已知正四棱柱中，为的中点，则（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 为棱上任一点，则三棱锥的体积为定值
D. 平面截此四棱柱的外接球得到的截面面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】由线面平行的定义可知A错误；由线面垂直的判定定理判定B正确；由平面为定值，对；到平面距离为到平面距离为，正四棱柱外接球半径为可判定D错误.
【详解】A：由为的中点，所以A错；
B：平面平面，
，又
平面，平面，
平面，B对；
平面，平面，
平面为定值，对；
：设外接球球心为，即为对角线中点.
到平面距离为到平面距离的一半，
到平面距离等于到平面距离，设为，
由，即，
，则到平面距离为，
正四棱柱外接球半径为，
所以截面圆半径错.
故选：BC
12. 已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 关于对称B. 关于对称
C. 是周期函数D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A,根据为奇函数，得到关系式，两边求导即可判断；对于B，利用的图象可以由向左平移1个单位即可判断；对于C,根据是奇函数及关于对称得到关系式，综合分析即可求得周期；对于D,结合已知条件可求得的值，进一步计算即可.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以的图象关于直线对称.故A正确；
因为为奇函数，则其图象关于对称，
向左平移一个单位后得到的图象，
则的图象关于对称，故B错误；
因为为奇函数，则，
则有，
所以①,
又，
则②,
由①②，
则，
则，，
则，
所以8是函数的一个周期.，
是周期函数，故C正确；
因为，，
所以，
，
所以，
故D正确，
故选：ACD.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 的展开式中的系数为__________.
【答案】25
【解析】
【分析】先求出的第项的通式，根据凑成，据此即可求出的展开式中的系数.
【详解】对于，其，当时，
与凑成，此时系数为，
当时，与凑成，此时系数为，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：.
14. 已知数列的首项为，则__________.
【答案】9
【解析】
【分析】当时，求出，由可得，两式相减可得，所以的偶数项是以为首相，公差为的等差数列，即可得出答案.
【详解】因为，，
当时，，解得：，
，两式相减可得：，
所以的偶数项是以为首相，公差为的等差数列，
所以.
故答案为：9.
15. 已知，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用正弦的二倍角公式化简已知式，利用正弦函数性质求得，再利用余弦的二倍角公式和诱导公式化简计算．
【详解】因为，
∴，
∴，或，
又，∴，
．
故答案为：1.
16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，点为它们的一个交点，且.当取最小值时，的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为．结合椭圆与双曲线的定义得，， ,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，由基本不等式求解即可.
【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为：.
不妨设点为第一象限的交点，
由题意知：，则，
由余弦定理得：，
所以.
当且仅当时取等号，.
.
故答案为：.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的.
（1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；
（2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件概率求解即可；
（2）求出的可能取值，则服从二项分布，由二项分布的均值公式求解即可.
【小问1详解】
不难知，第1台加工零件的次品率为，第2台加工零件的次品率为.
记事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，
事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第台车床加工的”，.
则.
【小问2详解】
的可能取值为，且服从二项分布.
由（1）知，.
.
18. 中，内角满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式求解；
（2）根据向量的加法法则将转化为，然后结合换元法和基本不等式求解；
小问1详解】
由已知
.
.
【小问2详解】
.
又，
.
令，
.
当且仅当取等号.
的最大值为.
19. 如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形.
（1）求证：；
（2）截面与下底面所成的夹角大小为，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依题四点共面，利用面面平行的性质定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用截面与下底面所成的夹角可求得的大小，继而利用向量夹角余弦值向量表示求解即可.
【小问1详解】
证明圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
母线与母线的延长线必交于一点，
四点共面.
圆面圆面，
且平面圆面，平面圆面.
.
【小问2详解】
为等边三角形，
，如图建立空间直角坐标系，
设.
.
设平面的一个法向量.则有：
令，则.
底面的一个法向量，
因为截面与下底面所成的夹角大小为，
所以，
，
，
又坐标为.
，
.
异面直线与所成角的余弦是.
20. 设数列满足：.等比数列的首项，公比为2.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中条件，再写出一个关系式，两者相减可求得的通项公式，根据条件可直接写出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
.
.
.
即.
当时，，满足上式.
，
根据等比数列的首项，公比为2，
可知.
【小问2详解】
由（1）知：.
，
.
.
.
21. 已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图所示，设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，坐标为
【解析】
【分析】（1）利用已知和的关系，列方程组可得椭圆的标准方程；
（2）直线斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， 可得，利用根与系数的关系代入化简，可得直线所过定点．
【小问1详解】
依题意得
解得，
椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
存在点，使，点的坐标为.理由如下：
直线过点，与椭圆交于不同两点.且都在轴上方.
直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.
联立方程消去可得：.
此时，设，则.
，
.
存在点满足条件.
点坐标为.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
22. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，求证：当时，恰有两个零点.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数分类讨论函数单调性；
（2）由题意，当时，，令，借助导数研究函数的单调性，结合函数值的正负性和零点存在定理可证.
【小问1详解】
.
当时，在上单调递减.
当时，在上，有，在上，有,
故在上单调递减，上单调递增.
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，上单调递增.
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减.
【小问2详解】
时，.
令，
则.
令.
i.时，恒成立，
在上单调递增.
又，
存在一个零点，使.
ii.，
恒成立，
在上单调递减.
又，
.
存在零点，使.
，
.
在上单调递增，上单调递减.
又.
，
存在一个零点，使.
iii.，
恒成立.
在单调递减.
恒成立.
在没有零点.
iv.时，
下面来证明当时，.
设.
.
在上单调递增，
，
恒成立.
综上所述，在只有两个零点.
又是由向右平移一个单位所得，
在只有两个零点.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．扫码加微信，进微信交流群
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