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    江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三上学期期末数学模拟检测试卷
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    江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三上学期期末数学模拟检测试卷

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    这是一份江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三上学期期末数学模拟检测试卷,共15页。试卷主要包含了01,已知函数,为其导函数.等内容,欢迎下载使用。

    2024.01
    一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已集合,若,则实数a的取值集合是( )
    A.B.C.D.
    2.已知平面向量a,b满足3a-b≤23,则a⋅b的最小值为( )
    A. -1B. 0C.D.
    3.将一枚质地均匀的骰子投掷两次,则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为( )
    A. B. C. D.
    4.在三棱锥中,,,圆柱体在三棱锥内部(包含边界),且该圆柱体的底面圆在平面内,则当 圆柱体的体积最大时,圆柱体的高为( )
    A. B. C. D.
    5已知函数f(x)的导函数f ′(x)满足:f ′(x)-f(x)=e2x,且f(0)=2.若函数g(x)=e-xf(x)+e2-x+(a-1)sin()有且只有一个零点,则实数a的值为( )
    A.-eB.-2eC.eD.2e
    6.已知f(x)=|ln(-x)|,若a=f(ln),b=f(),c=f(tan),则
    A.a<b<cB. c<a<bC.b<a<cD.b<c<a
    7在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦,则OC的最大值为( ).
    A.eq \r(,6)+eq \r(,2) B.2eq \r(,5) C. 5 D. 2eq \r(,2)+2
    8.数列满足,(),,若数列是递减数列,则实数的取值范围是( )
    A.B. C. D.
    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9.下列结论中正确的是( )
    A已知曲线(,不全为0),则曲线的周长为
    B. .若直线的方程,则直线的倾斜角为
    C.若直线与直线垂直,则
    D.圆与圆的公切线条数为2
    10.已知一组样本数据x1,x2,…,xn(n≥4),其中x1<0<xn,若由yk=2xk+1(k=1,2,…,n)生成一组新的数据y1,y2,…,yn,则这组新数据与原数据可能相等的量有
    A.极差 B.平均数 C.标准差 D.中位数
    11. 在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=,将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD,使得∠A'BC=,设E,F分别为棱BC,A'D的中点,则
    A.EF=B.直线A'C与EF所成角的余弦值为
    C. 四面体A'BCD的外接球的表面积为4πD. 直线A'C与EF的距离为
    12.三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”,可以用来查询非特殊角的三角函数近似值,为天文学中很多复杂的运算提供了便利.有趣的是,很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值,就比如下面几个选项,其中正确的是( )
    A.B.C.D.
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13、已知实数,分别满足,,其中是自然对数的底数,则______.
    14、已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点F的直线l与抛物线E交于A,且直线l的斜率为,则以线段AB为直径的圆的方程为 .
    15.已知单位向量a,b的夹角为,向量c=32b-a,若c∈Z,则__________.(写出一个可能值)
    16.在四面体P—ABC中,BP⊥PC,,若,则四面体P—ABC体积的最大值是,它的外接球表面积的最小值为 .
    四、解答题(本大题共6小题,共70.0分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17、已知数列的前项和为,数列为等差数列,且满足.
    (1)求数列和的通项公式;
    (2)若数列满足,且,求数列的前项和.
    18已知锐角△ABC中,角,,所对的边分别为,,,且.
    (1)若角,求角; (2)若,求的最大值
    19.(本题12分)如图,正三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度均为2.E、F分别是的中点,H是的中点,过作平面与侧棱或其延长线分别相交于,已知.
    (1)求证:平面;
    (2)求二面角的大小.
    20.2023年10月5日晚,杭州亚运会女篮决赛的巅峰对决中,中国女篮以战胜日本女篮,成功卫冕亚运会冠军,大快人心,表现神勇,为国家和人民争了光.某校随即开展了“学习女篮精神,塑造健康体魄”的主题活动,在该活动的某次篮球训练课上,进行了一场、、3名女篮队员的传接球的训练,球从手中开始,等可能地随机传向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能被接住.记第次传球之前球在手中的概率为,易知,.
    (1)①求第5次传球前,球恰好在手中的概率;
    ②第次传球前球在手中的概率为,试比较与的大小.
    (2)训练结束,体育老师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步,组织了一场“摸球抽奖”活动,先在一个口袋中装有个红球(且)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖.若设三次摸奖(每次摸奖后球放回)恰好有一次中奖的概率,当取何值时,最大?
    21.(本题12分)已知双曲线的左、右焦点为、,虚轴长为,离心率为,过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.
    (1)求双曲线C的方程;
    (2)若,求的大小;
    (3)若,试问:是否存在直线,使得点在以为直径的圆上?请说明理由.
    22.已知函数,为其导函数.
    (1)若,求的单调区间;
    (2)若关于的方程有两个不相等的实根,求实数的取值范围.
    参考答案
    1C 2A 3B 4C 5B 6C 7D 8 D
    9AD 10.BD 11.AD 12AC
    13、
    14、
    15、.(或)
    16、
    17、解:(1)令,则,得,
    令,则,又,所以,
    即.所以,
    由得,.两式相减得,
    即,
    且,所以是首项为-2,公比为2的等比数列,
    所以,因此
    (2)解:由可得
    .
    累加可得,



    因此
    18、(1)由题意知.
    所以,
    所以,
    所以,
    因为,所以,
    所以,因为,所以,
    由角,所以.
    (2)由(1)知,所以,,
    因为,所以,
    由正弦定理得:,所以,
    因为,所以,
    所以,
    因为为锐角三角形,且,则有,得,所以,
    由二次函数的性质可得,当时,取得最大值,
    所以的最大值为.
    19、(1)依题设,是的中位线,所以,
    又平面,平面,
    则平面,
    又平面,
    所以.
    又H是的中点,,
    所以,则.
    因为,且面,
    所以面,
    又平面,
    则,
    又,平面.
    因此平面.
    (2)
    作于N,连.因为平面,
    根据三垂线定理知,,就是二面角的平面角.
    作于M,则,则M是的中点,则.
    设,由得,,解得,
    在中,,则,.
    所以,故二面角为.
    20、①记三个人分别为、、,则4次传球的所有可能可用树状图列出,如图.

    每一个分支为一种传球方案,则基本事件的总数为16,而又回到手中的事件个数为6,
    根据古典概型的概率公式得.
    ②第次传球前在乙、丙手中的概率均为,
    故,
    为等比数列,首项为,公比为,

    所以,


    .
    (2)一次摸奖从个球中任选两个,有种,它们等可能,其中两球不同色有种,一次摸奖中奖的概率
    三次摸奖(每次摸奖后放回),恰有一次中奖的概率
    ,,
    则,
    所以当时,当时,
    所以在上为增函数,在上为减函数,当时,取得最大值,
    又,得时,最大.
    21、(1)由题意可知:,解得,
    所以双曲线的方程为:;
    (2)因为,所以,且,
    所以,
    所以的大小为;
    (3)假设存在满足要求,
    当的斜率不存在时,,由解得,
    所以MA⋅MB=-2,22⋅-2,-22=-4≠0,所以不垂直,故不满足要求;
    当的斜率存在时,因为与双曲线有两个交点,所以,即,
    设,,
    联立可得,
    且,即,
    所以,
    所以MA⋅MB=x1+2,y1⋅x2+2,y2=x1+2x2+2+kx1+4×kx2+4,
    所以MA⋅MB=k2+1x1x2+4k2+2x1+x2+16k2+4,
    所以MA⋅MB=k2+1⋅-16k2+81-k2+4k2+2×8k21-k2+16k2+41-k21-k2

    所以也不满足要求,
    故假设不成立,即不存在直线,使得点在以为直径的圆上.
    22、(1)解:函数,,则,
    令,则,设,则,得,
    故时,,函数即单调递减,时,,函数即单调递增,
    所以,又时,,又,
    所以时,,函数单调递减,时,,函数单调递增,
    故的单调减区间为,增区间为;
    (2)解:关于的方程有两个不相等的实根,即函数,在上有两个零点,
    又,
    ①当时,,得,所以当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
    所以,又时,,,则函数在上有两个零点;
    ②当时,,得,,
    (i)当时,,此时恒成立,函数单调递增,在上不可能有两个零点,不符合题意;
    (ii)当时,,则当时,,函数单调递增,时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
    所以,,故函数在区间无零点,在不可能存在两个零点,故不符合题意;
    (iii)当时,,则当时,,函数单调递增,时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
    又,故函数在区间无零点,在不可能存在两个零点,故不符合题意;
    ③当时,方程只有一个实根1,不合题意;
    综上,实数的取值范围.
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