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    江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题一

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    这是一份江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题一,共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.(本题5分)数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的50百分位数为( )
    A.8.4B.8.5C.8.6D.8.7
    2.(本题5分)已知双曲线的离心率,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    3.(本题5分)若数列满足,,则( )
    A.B.11C.D.
    4.(本题5分)已知平面,直线,直线不在平面上,下列说法正确的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.若,则D.若,则
    5.(本题5分)在某次美术专业测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和,且三人的测试结果相互独立,则测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下,乙没有达优秀等级的概率为( )
    A.B.C.D.
    6.(本题5分)在平面直角坐标系中,集合,集合,已知点,点,记表示线段长度的最小值,则的最大值为( )
    A.2B.C.1D.
    7.(本题5分)已知函数,,则存在,使得( )
    A.B.
    C.D.
    8.(本题5分)已知平面上两定点、,则所有满足(且)的点的轨迹是一个圆心在上,半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足,则点的轨迹长度为( )
    A.B.C.D.
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.(本题6分)已知复数,,则下列结论正确的是( )
    A.方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆
    B.方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆
    C.方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
    D.方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线
    10.(本题6分)已知为锐角,则下列说法错误的是( )
    A.满足的值有且仅有一个
    B.满足,,成等比数列的值有且仅有一个
    C.,,三者可以以任意顺序构成等差数列
    D.存在使得,,成等比数列
    11.(本题6分)已知无穷数列,.性质,,;性质,,,下列说法中正确的有( )
    A.若,则具有性质s
    B.若,则具有性质t
    C.若具有性质s,则
    D.若等比数列既满足性质s又满足性质t,则其公比的取值范围为
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.(本题5分)已知,(a为实数).若q的一个充分不必要条件是p,则实数a的取值范围是 .
    13.(本题5分)各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体,满足,则 ;此平行六面体的体积为 .
    14.(本题5分)已知定义在R上的增函数满足对任意的,都有,且,函数满足,,且当时.若在上取得最大值的x值依次为,,…,,取得最小值的x值依次为,,…,,则 .
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(本题13分)已知函数,.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若恒成立,求的取值范围.
    16.(本题15分)有两个盒子,其中1号盒子中有3个红球,2个白球;2号盒子中有6个红球,4个白球.现按照如下规则摸球.从两个盒子中任意选择一个盒子,再从盒中随机摸出2个球,摸球的结果是一红一白.
    (1)你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断,并说明理由;
    (2)如果你根据(1)中的判断,面对相同的情境,作出了5次同样的判断,记判断正确的次数为X,求X的数学期望(实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时,即为判断正确).
    17.(本题15分)如图1,已知正三角形边长为4,其中,现沿着翻折,将点翻折到点处,使得平面平面为中点,如图2.
    (1)求异面直线与所成角的余弦值;
    (2)求平面与平面夹角的余弦值.
    18.(本题17分)在平面直角坐标系中,已知抛物线和点.点在上,且.
    (1)求的方程;
    (2)若过点作两条直线与,与相交于,两点,与相交于,两点,线段和中点的连线的斜率为,直线,,,的斜率分别为,,,,证明:,且为定值.
    19.(本题17分)若存在使得对任意恒成立,则称为函数在上的最大值点,记函数在上的所有最大值点所构成的集合为
    (1)若,求集合;
    (2)若,求集合;
    (3)设为大于1的常数,若,证明,若集合中有且仅有两个元素,则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列.
    参考答案:
    1.B
    【详解】依题意,一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数,
    所以数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第50百分位数为.
    故选:B
    2.A
    【详解】由已知可得双曲线的焦点在轴上时,,,
    所以
    ,由,解得.
    故选:A.
    3.D
    【详解】因为.所以数列周期为3的数列.
    所以
    ,所以,
    故.
    故选:D
    4.B
    【详解】对于A,若,则或与异面,故A错误;
    对于B,若,则,又,则,故B正确;
    对于C,若,则或,故C错误;
    对于D,若,则或与相交,故D错误.
    故选:B.
    5.A
    【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件,三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D,
    ,,,


    .
    故选:A.
    6.D
    【详解】集合可以看作是表示直线上的点的集合,
    由变形可得,,
    由可得,,
    所以直线过定点.
    集合可看作是直线上的点的集合,
    由变形可得,,
    由可得,,
    所以,直线过定点.
    显然,当线段与直线都垂直时,有最大值.
    故选:D.
    7.C
    【详解】当时,,,所以,
    即,(一个正数乘以一个小于1的正数,积一定小于这个数)故排除A,D.
    对于B,设,则.
    因为当时,,所以,即,
    所以在上单调递减,.
    又当时,,,
    所以,所以,即,故B错误.
    对于C,令,因为,,且函数的图象是连续不断的,
    所以函数在内存在零点,即存在,使得,
    即存在,使得,故C正确.
    故选:C.
    8.C
    【详解】
    在平面中,图①中以B为原点以AB为x轴建系如图,设阿氏圆圆心,半径为,

    设圆O与AB交于M,由阿氏圆性质知,


    P在空间内轨迹为以O为球心半径为2的球,
    若P在四边形内部时如图②,截面圆与分别交于M,R,所以P在四边形内的轨迹为,
    在中,,
    所以,当P在面内部的轨迹长为,
    同理,当P在面内部的轨迹长为,
    当P在面时,如图③所示,
    面,平面截球所得小圆是以B为圆心,以BP为半径的圆,截面圆与分别交于,且,
    所以P在正方形内的轨迹为,
    所以,
    综上:P的轨迹长度为.
    故选:C
    9.AC
    【详解】由复数模的几何意义知,
    表示复平面内点与点之间的距离为定值2,
    则在复平面内对应点的轨迹是圆,故A正确;
    由复数模的几何意义知,
    表示复平面内点到点和的距离之和为,
    又,不满足椭圆的定义,故B不正确;
    由复数模的几何意义知,
    表示复平面内点到点和的距离之差为1,
    又,满足双曲线的定义,故C正确;
    对于D,可化为,
    表示复平面内点到点和的距离相等,轨迹是直线,
    故D不正确,
    故选:AC.
    10.CD
    【详解】因为,在同一坐标系内作和的图象:
    可知在上,方程只有一解,故A选项内容正确;
    由,,成等比数列,可得,,得,
    在同一坐标系内作和的图象:
    可知方程,有且只有一解,所以B选项内容正确;
    若,,三者可以以任意顺序构成等差数列,则必有:,且为锐角,
    所以,而,
    所以,,三者不可能以任意顺序构成等差数列,,
    所以C选项内容错误,
    对于D,若存在,使得,,成等比数列,
    则,
    而 ,故即,
    故即,所以且,
    由可得,
    而,故,
    故,
    所以不存在使得,,成等比数列
    故选:CD.
    11.BCD
    【详解】对于A,因为,对,,
    即,所以不具有性质,故A错误;
    对于B,,对,,,
    ,故B正确;
    对于C,若具有性质,令,则,
    即,,
    ,又,
    所以,,故C正确;
    对于D,是等比数列,设其公比为,又,,
    若满足性质,由选项C 得,即,,,
    由,,得,
    当时,得,即,对,又,,
    当时,不妨设,则,
    ,解得,,
    综上,若满足性质,则.
    若满足性质,对,,,
    可得,即,令,则,
    又,所以函数在上单调递增,又由满足性质,,
    成立,
    所以等比数列既满足性质s又满足性质t,则其公比的取值范围为.
    故D正确.
    故选:BCD.
    12.
    【详解】因为q的一个充分不必要条件是p,
    所以是的一个真子集,
    则,即实数a的取值范围是.
    故答案为:.
    13.
    【详解】因为

    所以.
    连接交于点,连接,
    因为底面为边长是的正方形,所以,
    因为,连接,则,
    所以在中,,所以,
    又因为,所以,
    ,平面,
    所以平面,所以平行六面体的体积为:
    .
    故答案为:;.
    14.2600
    【详解】因为,
    令,可得,
    令,可得,
    因为,所以,.
    因为,可知的图象关于点对称,
    又因为当时,,则在上单调递增,且,
    所以在上单调递增,且.
    因为,则的图象关于直线对称,
    所以在上单调递减,且,
    故在上的最大值为4,最小值为0.
    由得,则,
    所以,得,
    故的一个周期为4,且在处取得最小值0,在处取得最大值4,
    所以.
    故答案为:2600.
    15.(1)答案见解析
    (2)
    【详解】(1)由题意知:,
    所以,
    ①当时,若,则,若,则,
    所以在上单调递增,在上单调递减;
    ②当时,令得:或,且,
    若,则,若,则,若,则,
    所以在,上单调递增,在上单调递减;
    ③当时,恒成立,所以在上单调递增;
    ④当时,令得:或,且,
    若,则,若,则,若,则,
    所以在,上单调递增,在上单调递减.
    (2)由恒成立,即,恒成立,
    所以,,
    令,,所以,
    若,则,若,则,
    在上单调递增,在上单调递减;
    所以当时,有极大值也是最大值为,所以.
    所以的取值范围为.
    16.(1)选择1号盒子
    (2)
    【详解】(1)解:设选择1号盒子后摸出一红一白的概率为,
    设选择2号盒子后摸出一红一白的概率为,
    则 , ,
    因为 ,
    所以较大可能选择1号盒子;
    (2)由贝叶斯公式,选择1号盒子后猜中的概率
    由题意得:,
    所以.
    17.(1)
    (2)
    (2)求出平面与平面的法向量,根据空间角的向量求法,即可求得答案.
    【详解】(1)取的中点为的中点为,连接与,
    正三角形中,,
    所以,则四边形为等腰梯形,
    故;
    由翻折性质可得,,
    则≌,是的中点,

    平面平面,平面平面平面,
    平面平面,
    以点为坐标原点以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
    正的边长为,
    则为正三角形,边长为3,则,
    ,连接,
    在中,由勾股定理得,

    则,

    异面直线所成角的取值范围为,
    异面直线与所成角的余弦值为.
    (2)由(1)得,


    易得平面的一个法向量为,
    设平面的法向量为,
    则,即,令,则,

    平面与平面夹角的余弦值为.
    18.(1)
    (2)证明见解析
    【详解】(1)设点,则,因为,,
    所以,,所以点,
    代入方程中,得,所以的方程为.
    (2)设点,,,,
    则直线的斜率,
    同理得直线的斜率,
    直线的斜率,
    直线的斜率,
    所以,

    从而得.
    由消去得,
    所以,
    由,得或.
    设和的中点分别为,,
    则,,
    同理,,
    所以,即,
    所以得.
    19.(1)
    (2)
    (3)证明见解析
    【详解】(1),
    当且仅当时,在R上取得最大值,故;
    (2)定义域为R,

    令,则,
    令得,
    其中,故,,
    可以看出,
    故有且仅有2个零点,分别为1和2,
    令得或1或2,
    其中,
    故当或2时,取得最大值,故;
    (3),,
    ,,
    令得,,
    当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    当,,单调递增,
    ……,
    由于,
    故所有的单调递增区间经过适当平移可重合,同理,所有的单调递减区间经过适当平移可重合,
    要想集合中有且仅有两个元素,
    则需要或,
    或,……,,
    其中,

    又,
    所有的均处在单调递增区间上,
    所以为定值,
    故所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列.
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