陕西省2024届高三教学质量检测（一）理科数学试题

这是一份陕西省2024届高三教学质量检测（一）理科数学试题，共15页。试卷主要包含了记为等差数列的前n项和，已知定义在上的函数，满足，且，的展开式中的系数为，若函数在区间上有两个零点，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．3
2．已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（ ）
A． B． C． D．
3．我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650进行编号，001，002，……，649，650．从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
4．设x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．记为等差数列的前n项和．若，则数列的前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
6．一个四面体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．的展开式中的系数为（ ）
A．30 B．25 C．45 D．15
9．若函数在区间上有两个零点，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的一条渐近线l与椭圆交于A，B两点，若，（是椭圆的两个焦点），则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，下面说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在单调递减
C．函数的图像关于y轴对称 D．函数的最小值是
12．已知函数，对于，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量的夹角为，，则________．
14．设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b，a，c成等差数列，且，则_________．
15．已知F为抛物线（t为参数）的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为_________．
16．已知，函数有两个极值点，则下列说法正确的序号为_________．
①若，则函数在处的切线方程为；②m可能是负数；
③；
④若存在，使得，则．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）记数列的前n项和为，已知，且满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若数列是以1为首项，3为公差的等差数列，的前n项和为，求．
18．（12分）有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机的．有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准．有机蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许限量使用一些低毒，低残留的农药．种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高．某公司准备将M万元资金投人到该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择．若投资绿色蔬菜一年后可获得的利润X（万元）的概率分布列如下表所示：
且X的期望；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润Y（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（）和．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与Y的关系如下表所示：
（1）求a，b的值；
（2）根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当p的在什么范围取值时，公司可以获得
最大投资回报率．（投资回报率）
19．（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，面ABCD，面ABCD，，点P在线段EF上运动．
（1）求证：；
（2）是否存在点P，使得平面PAB与平面ADE所成二面角余弦值为，若存在，试求点P的位置，若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知椭圆过两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条相互垂直的直线分别交椭圆C于P，Q两点，求面积的最大值．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论在区间上的零点个数，
（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知直线过点，且倾斜角为，曲线的普通方程为，射线的方程，射线的方程为．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）射线与曲线交于点M，射线与曲线交于点N，求的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数的定义域为．
（1）当时，求；
（2）若存在x，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
2024年陕西省高三教学质量检测试题（一）
理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 的虚部为3．
2．B ，则且，可得的值域．
3．C 从表中第5行第6列开始向右读取数据，前7个数据分别是253，313，457，007，328，623，072．
4．C 作出可行域如图阴影部分所示，
由，得．
作出直线，并平移知，当直线过点A时，z取得最小值．
由得．
5．C 设的公差为d，由得
解得，则的前2024项和为．
6．B 四面体的直观图如图所示．侧面底面ABC，且与均为腰长是的等腰直角三角形，．故四面体的外接球球心即为AC的中点O，所以外接球的半径为1，外接球的体积为．
7．A 为奇函数，，
．
故由，得．又在上单调递减，
，，故选A．
8．D 因为的通项为，所以的展开式中含的项为．
9．D ，令，得，
，对称轴，则，．
10．A 由已知，则渐近线，即，又，
即，且四边形为矩形，所以，则，
又根据椭圆定义可知，所以离心率．
11．D．
，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，有最小值．又，
∴当时，有最小值，即．
12．B 由化简可得，
即，设，则
设，则，
在上单调递减，在单调递增，则，
又在单调递增，
恒成立，即．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．答案：
解析：．
14．答案：
解析：在中，由及正弦定理，得．又b、a、c成等差数列，则，所以，所以．
因为，所以．
15．答案：64
解析：因为F为的焦点，所以．
由题意知直线的斜率均存在，且不为0，设的斜率为k，则的斜率为，故直线的方程分别为．由得．设，则，所以．同理可得．
所以
当且仅当，即时，取得等号．
16．答案：①④
解析：①若，
所以函数在处的切线方程为，①选项正确．
②，②选项错误．
③，当时，，单调递减，没有极值，当时，由，解得，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
而，
所以为定值，③选项错误．④若存在，使得，
即，
即，
即，即，
由于，所以必存在，
对于，则有，
解得，所以④选项正确.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
17．解析：（1）因为，
则当时，，
两式相减可得， 3分
则， 4分
且当时，，解得，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即； 6分
（2）因为，则， 8分
则 10分
12分
18．解析：（1）由题意得，解得． 4分
（2）Y的可能取值为41.2，117.6，204，
，
，
， 8分
所以Y的分布列为
可得， 10分
由，得，
解得，
即当选择投资有机蔬菜项目时，p的取值范围是，投资回报率最大． 12分
19．解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，，，
． 2分
平面ABCD，平面ABCD，，
又，面BFED，平面BFED， 4分
面BFED， 5分
（2）解：由已知可得四边形BFED为矩形，由（1）可建立分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．令，
则，
．
设为平面PAB的一个法向量，
由得
取，得， 8分
是平面ADE的一个法向量， 9分
． 10分
或．，此时P为EF的中点． 12分
20．解析：（1）由题意得即． 4分
（2）由题意得直线的斜率存在且不为0．
，设， 5分
由得，
，同理，． 6分
①时，．此时过定点．
②时，，过点恒过定点． 8分
10分
．
令，当且仅当时取等号，
，且当时取等号．． 12分
21．解析：（1）当时，，其定义域为，
因此，函数在处的切线方程为，即． 4分
（2）令，
则．
因为，则，则．
当时，则，
故，从而在上单调递减；
而，故当时，，
故在区间上无零点； 6分
当时，令，则，
因为，则，
从而，即在上单调递减；
而，
因此存在唯一的，使得， 8分
并且当时，；当时，．
即当时，，当时，．
故当时，单调递增，当时，单调递减．
而，故；取，当时，，
所以存在唯一的，使得，即在区间上有唯一零点．
综上所述，当时，在上有唯一的零点；
当时，在（上没有零点． 12分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程]
解析：（1）直线的方程为，化简极坐标方程为： 3分
曲线：化简极坐标方程为： 5分
（2）联立即 7分
联立即 9分
故 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]
解析：（1）由题设知， 2分
①当时，得，解得．
②当时，得，无解．
③当时，得，解得．
∴函数的定义域为． 5分
（2）不等式即， 6分
当时，恒有， 8分
又不等式有解，，即，
∴m的取值范围为． 10分X
95
126
187
P
a
0.5
b
n
0
1
2
Y
41.2
117.6
204.0
Y
41.2
117.6
204
P
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