第二章 直线和圆的方程导学案 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册期末复习

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第二章 直线和圆的方程期末复习敲重点学习目标整合思维导图回顾知识重难知识易混易错重难知识点1.斜率公式：如果直线经过两点，，，那么斜率公式为.2.两条直线平行的判定：对于斜率分别为，的两条直线，，有. 若直线，重合，仍有.两条直线垂直的判定：设两条直线，的斜率分别为，，则.3.直线的点斜式方程：方程由直线上一个定点及该直线的斜率k确定，方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.4.直线的斜截式方程：直线l与y轴的交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.这样，方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.5.直线的两点式方程：直线l经过两点，（其中，），则，这就是直线的两点式方程，简称两点式.6.直线的截距式方程：方程叫做直线的截距式方程，简称截距式. 其中a叫做直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距.3.直线的一般式方程：关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.7.两条直线的交点坐标：设两条直线的交点为P，则点P既在直线上，也在直线上，所以点P的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.8.两点间的距离公式：，两点间的距离公式.特别地，原点与任一点间的距离.9.点到直线的距离公式：点到直线的距离.当或时，仍然成立.10.两条平行直线间的距离：两条平行直线与间的距离为.11.圆的标准方程：称为圆心为，半径为r的圆的标准方程.12.圆的一般方程：方程叫做圆的一般方程，且，为圆心，为半径.13.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点.14.圆与圆的位置关系：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.易混易错例题1.过点且与直线平行的直线方程是( )A. B.C. D.答案：A解析：法一：直线的斜率为，所求直线过点，所以其方程为，即.法二：由题意设所求方程为，因为直线经过点，所以，得，所以所求方程为.2.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )A. B. C. D.答案：B解析：法一：因为圆与两坐标轴都相切，且经过点，所以可设圆心为，，半径为m，所以，解得或.当时，圆心为，利用点到直线的距离公式，可知圆心到直线的距离；当时，圆心为，利用点到直线的距离公式，可知圆心到直线的距离.故选B.法二：因为圆与两坐标轴都相切，且经过点，所以可设圆心为，，半径为m，所以，即，所以，即，所以圆心到直线的距离.故选B.3.（多选）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数m的值可以为( )A. B. C.1 D.答案：ACD解析：若三条直线不能围成三角形，则至少有两条平行或三条直线相交于一点.若三条直线中有两条平行，因为直线的斜率为-2，直线的斜率为，所以直线与直线相交，所以直线与直线平行或与直线平行，则，所以或，所以或.若三条直线相交于一点，则有解得即直线经过点，所以.综上，或或.故选ACD.4.（多选）已知动直线与圆相交于A，B两点，则下列说法正确的是( )A.直线l过定点 B.圆C的圆心坐标为C.弦AB的最小值为 D.弦AB的最大值为4答案：ACD解析：对于A，直线，即.令解得则直线l过定点，故A正确.对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误.对于C，因为，所以直线l所过定点在圆的内部.因为，所以弦AB的最小值为，故C正确.对于D，弦AB的最大值为圆C的直径4，故D正确.选ACD.5.已知圆，圆，则两圆的公共弦长为__________.答案：解析：将两圆方程相减，得两圆公共弦所在的直线方程为.易知圆的圆心坐标为，半径.又点到公共弦的距离，所以两圆的公共弦长为.核心素养对接高考考情分析从近几年高考情况来看，直线和圆主要考查方程的求法，常以选择题、填空题的形式出现.情境真题应用1.【2023年 新课标Ⅰ卷】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )A.1 B. C. D.答案：B解析：如图，得，所以圆心坐标为，半径，所以圆心到点的距离为，由于圆心与点的连线平分角，所以，所以，所以.故选B.2.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )A. B.5 C. D.答案：A解析：如图，设点关于直线的对称点为.在直线上取点P，连接PC，则.由题意，得解得则点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为.故选A.3.如图，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________.答案：解析：设点P关于直线AB的对称点为，连接MD.易知直线AB的方程为，则解得所以.因为点P关于y轴的对称点为，连接NC，则光线所经过的路程为.4.【2023年 新课标Ⅱ卷】已知直线，与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值__________.答案：2(答案不唯一，可以是，中任意一个)解析：设直线为直线l，由条件知的圆心，半径，C到直线l的距离，.由，得，整理得，解得或，故答案可以为2.5.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距，且与C村相距的地方.已知B村在A村的正东方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，则垃圾处理站M与B村相距__________.答案：或解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，.以A为圆心，5为半径作圆A，以C为圆心，为半径作圆C，则圆A的方程为，圆C的方程为，即，所以两圆的公共弦方程为.设，则解得或则或.所以或.直线与方程（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（2）能根据斜率判定两条直线平行或垂直.（3）根据确定直线位置的几何要素，探求并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.（5）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.（6）探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.圆与方程（1）回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探求并掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.