高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教案及反思，共8页。教案主要包含了四方面等内容，欢迎下载使用。
大家好！
我说课的题目是《基本不等式》，内容选自人教A版普通高中教科书必修第一册第二章第2节，以下我将从教学分析与处理、学情分析、教学目标、教学重难点确定、教学过程与教学策略、教学效果与教学反思、练习、作业和板书设计等九个方面对我的教学设计进行阐述。
第一方面:教学分析与处理
本节在前面研究不等式的性质的基础上，展开了对一种具体的不等式--基本不等式ab≤a+b2(a,b≥0)的研究。研究基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.基本不等式是一种重要且基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容。发展逻辑推理、数学运算和数学建模素养。
作为高中数学课程中的预备知识，本章起着衔接初高中数学的作用，在教学中，应引导学生结合本章知识的学习，从知识与技能、方法与习惯、能力和素养等方面实现从初中到高中数学学习的过渡。
第二方面:学情分析
相对于初中的数学知识，基本不等式这部分内容比较抽象，对学生的逻辑推理、数学运算等能力要求较高，是学生高中阶段数学学习的一个难点。
但是高中阶段的学生的观察能力在迅速发展，这个阶段的学生好奇心强、喜欢表现、注意力容易分散，探究能力和合作交流发展商还不够均衡。
第三、四方面：教学目标、教学重难点确定
根据以上对教材和学生的分析，我确定了本节课的教学目标为：
(1)理解基本不等式ab≤a+b2(a,b≥0)，发展逻辑推理素养.
(2)结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.
本节课的教学重点:基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题。
由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点.基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点.此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求最值等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点。
第五方面:教学过程与教学策略
教学方法：本课主要采用“启发探究与合作探究”相结合的教学方式，体现教师的主导作用，学生的主体地位。
学法指导：根据学生自主性和差异性原则，课堂中会不断创设问题情境，让学生始终处于对问题的积极思考中，亲历知识的发生发展过程，学会学习、发展能力。
教学手段：借助多媒体课件，配合教学，添加了一些与例题相匹配的图片背景，以激发学生的学习兴趣，另外在进行基本不等式的几何解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术（如GeGebra）制作一个动态图形，以帮助学生直观理解提高了课堂教学的效率。
教学过程分析：我将从引入—定义-证明-几何解释-简单应用-单元小结-布置作业-目标检测等8个方面完成教学过程，努力做到：“教为不教，学为会学”；要“授之以鱼”更要“授之以渔”。
(一)基本不等式的定义
导人语:我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢?下面就来研究这个问题。
问题1:在上一节课，我们通过赵爽弦图得到了一类重要不等式：对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立.并利用完全平方公式给出了证明。特别地，如果a>0，b>0，我们用√a，√b分别代替上式中的a，b，可以得到怎样的式子?（B站视频前半段）
设计意图:通过取上一节课得到的不等式a2+b2≥2ab的特殊形式，得到基本不等式ab≤a+b2(a,b≥0)，同时在两个不等式之间建立联系。通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识.
(二)基本不等式的证明
问题2:前面，我们通过考察a2+b2≥2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢?
师生活动:学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较法证明上式。教师在肯定学生的做法之后，给出教科书第44页用分析法证明的过程，同时指出，只要把上述过程倒过来，就能用不等式的性质直接推出基本不等式了.
追问(1):上述证明中，每一步推理的依据是什么?
追问(2):你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗?
教师总结:分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
追问(3):根据教科书第44页的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的?
教师总结:由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明:一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然xxx成立”
设计意图:根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略。
(三)基本不等式的几何解释
问题3:在图1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a
BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图 形，得出基本不等式的几何解释吗?
设计意图:让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里引导学生将ab和a+b2与图中的几何元素建立起联系，利用GeGebra数学软件进行图形的绘制和动态演示，展示点C在线段AB上移动的过程，让学生观察线段设CD 的长度与圆的半径长之间的动态关系，从而更好地理解ab和a+b2之间的关系随着a，b大小关系的变化而发生的变化，同时体会基本不等式中蕴含的“等式”与“不等式”的内在联系.（B站视频后半段）
(四)基本不等式的简单应用
例1已知x>0，求x+1x的最小值。
追问(1):“求x+1x的最小值”的含义是什么?
追问(2):本题中要求最小值的代数式有什么结构特点?是否可以利用基本不等式求x+1x的最小值?如果能，如何求?
追问(3):在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当x=1x,即x2=1,x=1时，等号成立”？
追问(4):通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗?
教师总结:代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一个定值，不等式中的等号是否能取到，通俗的说，就是“一正、二定、当相等”.
设计意图:引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范。
例2已知x,y，都是正数，求证:
(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2p;(2)如果和x+y等于定值S，那么当=y时，积xy有最大值S24
教师总结:满足“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”的问题，能够用基本不等式解决.
设计意图:在例1的基础上，再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件
例3(1)用篱笆围一个面积为100㎡的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少?
(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大?最大面积是多少?
怎样把本例转化为基本不等式的数学模型求解?
师生活动:学生思考后回答:第1),2)转化为数学模型(2)求解,学生进一步回答解答过程，教师予以规范，并板书.
设计意图:本例是典型而较简单的能够用基本不等式求解的问题。通过本例的教学，可以助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解决问题，进一步发展学生的模型思想.
例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m，深为3m如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?(加教材蓄水池图片)
设计意图:本题的背景更加复杂，需引导学生简化问题，再用基本不等式模型求解。本例在例3的基础上，进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力，提升他们的数学建模素养。
第六方面：教学效果与教学反思
整节课借助多媒体，利用GGB软件动态演示，使得学习内容直观、生动，并巧妙的把待解决的问题转化为以前学过的问题，让学生在不知不觉中掌握了数学知识。效果较好。
新课程非常强调教师的教学反思，教学反思会促使教师形成自我反思的意识和自我监控的能力，提高实施新课程的效果和水平。本单元课程较为枯燥，应选择更为灵活的教学方法，努力让学生参与到教学活动中去。
第七方面：即时即练，强化新知;
一个新知识的出现要想达到熟练应用的程度，仅仅理解是不够的，一定量的训练是有效的而且是必要的。选择教材46页第3、4、5题作为本节课的练习题，由学生小组合作完成并进行现场展示，教师予以点评。
(五)归纳小结
小结主要由学生完成，回顾总结本单元的学习内容和学习方法。这样锻炼学生的归纳总结能力，引导学生体会研究一个特殊代数对象的一般过程，增强合作交流意识。
九方面：作业和板书设计
作业：必做题：教科书习题2.2第1，2，3，6题
选做题：1.已知x>0，求2x+1x的最小值及相应的x值;
2.已知0