数学5.2 三角函数的概念第一课时教案设计

这是一份数学5.2 三角函数的概念第一课时教案设计，共5页。教案主要包含了教学目标设置，学生学情分析，教学策略分析等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》，这是节关于任意角的三角函数的概念课.
三角函数是描述客观世界周期性变化规律的重要语言和工具，是对函数模型的丰富，是对函数概念，性质，图像变换及函数应用的进一步深化。
三角函数在物理学、天文学、地理学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，是学习其他学科的基础，因此，通过本章的学习可以培养学生的数学应用能力。
本节之前学生学习了函数的概念，幂函数、指数函数、对数函数和任意角弧度制，本节之后还要研究三角函数的图像和性质，并用性质解决一些简单的具有周期现象的实际问题。本节内容是研究三角函数图像和性质的基础，具有承上启下的作用。
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义。
教学难点：理解三角函数的对应关系，影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解，对符号sin，cs和tan的认识。
二、教学目标设置
1、了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系。
2、经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养。
三、学生学情分析
学生已经学习了从集合到对应的观点重新刻画函数的概念，研究了幂函数、指数函数和对数函数的定义、图像和性质，他们已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。本节课前学生已经学习了任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。
四、教学策略分析
结合学生的知识水平和年龄特点，首先通过现实的实例，体会引入新函数模型的必要性，通过几何画板演示摩天轮，圆周运动，不断产生问题并做适当引导，以学生活动为主线，给学生留下思考的空间，自主发现，抽象概况出任意角的三角函数，体现学生的主体地位。也可以让学生更好的体会数形结合思想、运动变化、对应等思想方法。
教学过程
Ⅰ、复习旧知
高中函数的概念是什么？
【设计意图】复习高中函数概念，以此作为依据，为后面理解任意角的三角函数概念做铺垫。
（2）函数是刻画客观世界中变量关系和规律的重要语言和工具。在现实生活中有这样一类现象，昼夜更替、潮汐变化、四季轮回、钟摆、摩天轮等，这类现象有什么样的共同特点？（图片和几何画板动画）我们已学过的函数模型能否刻画这种现象呢？
【设计意图】用数学的观点，函数的角度看待自然现象和客观世界运行规律，体现函数的重要性，以现实现象为背景，通过信息技术，帮助学生更好的理解周而复始。让学生感受进一步定义新函数的必要性。
Ⅱ、情境引入、提出问题
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面120米,转盘直径为110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客乘坐在座舱P,游客在座舱转到距离地面最近的位置A处进舱, ,转一周需要30分钟,请问在转动过程中,
座舱P位置变化有什么特点？
座舱P的位置可以用什么量来刻画？
座舱P的位置周期性变化是什么因素引起的？
【设计意图】通过学生熟悉的生活情境，激发学生学习的兴趣,圆周运动是研究周期现象的变化规律的理想载体，通过以上几个问题，寻找三角函数的两个变量。
Ⅲ、构建模型、寻找函数
（一）引进圆周运动、坐标系、单位圆
以上情境, 我们不妨把问题简化为, 单位圆 O 上的动点 P 从点 A 出发, 按照逆时针方向做匀速圆周运动.
问题1：要想研究座舱P的位置，可用什么量来刻画？需要什么工具？
【设计意图】引出直角坐标系，体现数形结合思想。
问题2：直角坐标系放在什么位置合适？
【设计意图】平面直角坐标系是联系几何与代数的桥梁，是实现数形结合思想的关键。
问题3：研究圆上点P的周期特征，为了方便，不妨可以取圆的半径为多少？
【设计意图】引入单位圆，方便研究。
（二）寻找变量，构建函数
问题4： 自己做做图，单位圆上点P的位置有周期性的变化是因为什么变量引起的？（学生讨论）
【设计意图】通过学生的积极参与与知识的“发现”与“形成”过程，让学生探索、挖掘点P的位置变化与以射线OP为终边的角α之间的对应关系。
探究1：当 α=π6 时，点P的坐标是什么？当α=π2 或α=2π3 时，点P的坐标又是什么？他们是唯一确定的吗？
问题5：通过信息技术，任意给定一个角α，观察它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，你有什么发现？
【设计意图】以函数的对应关系为指向，从特殊到一般,使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为后面生成三角函数的概念作准备.
问题6：你认为点 P 的坐标 (x, y) 是角 α 的函数吗? 如果是, 你能用集合与对应语言来刻画这种函数关系吗? 如果不是，那谁才是角 α 的函数呢？（学生讨论）
【设计意图】对照函数概念，抓住函数概念的本质，引出一种新的函数—三角函数。
Ⅳ、生成概念，深化理解
设角它的终边OP与单位圆相交于点。
（1）把点P的纵坐标
把点P的横坐标
把点P的纵坐标与横坐标的比值 是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数
正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.
通常将它们记为：正弦函数 y=sinx ,x∈R;
余弦函数 y=csx ,x∈R;
正切函数 y=tanx x≠π2+kπ(k∈Z);
问题7：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？与以往学习的函数定义有什么不同？
三角函数的三要素分别是什么？
符号sin，cs和tan分别表示什么？如何理解符号sin，cs和tan?在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
【设计意图】在问题引导下，使学生明确三角函数的“三要素”，引导学生类比已有知识，理解三角函数符号的意义。
探究2：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。设α∈（0，π2），把按锐角三角函数定义求得的锐角α的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的α的正弦记为。与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
【设计意图】建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性。
Ⅴ、例题讲解，加深对概念的理解
例1、 求的正弦、余弦和正切值．
【设计意图】通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵。
例2、如右图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：sin α=，cs α=，tan α=．
思考：例2实际上提供了另外一种求任意角三角函数值的方法，．你能用自己的语言叙述吗？
【设计意图】 该题“实际上是坐标比”，通过这道题的解答，使学生认识到，只要知道角终边上的任意一点（除了原点），就可以得出相应的三角函数值，它实际是任意三角函数定义的推广。
Ⅵ、课堂小结
1. 内容总结
（1）单位圆
（2）任意角的三角函数概念
（3）任意角的三角函数的推广
2.思想方法：数形结合的思想.
Ⅵ、课后练习，加深对概念的理解和应用
1. 利用三角函数定义，求 7π6的三个三角函数值。
2. 已知角θ的终边过点P（-12,5），求角θ的三角函数值。
3. 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cs α，tan α的值．
【设计意图】考查学生对三角函数定义的理解和掌握情况。