33，福建省泉州第一中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份33，福建省泉州第一中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．在答题卡相应的答题区域内作答．
1. 下列选项中是一元二次方程的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义．找到只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0的整式方程的选项即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A
2. 的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】解：，
故选：D．
3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）．
A. 泉州明天会下大雨B. 在369个人中，一定有两个人在同日出生
C. 打开电视机，正好在播新闻D. 小明这学期数学期末考试得分是146
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】解：A．泉州明天会下大雨是随机事件；
B．在369个人中，一定有两个人在同日出生是必然事件；
C．打开电视机，正好在播新闻是随机事件；
D．小明这学期数学期末考试得分是146是随机事件．
故选B．
4. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简和同类二次根式，先化简，再看被开方数是否等于2，即可判断，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】A. ，不能与合并，不符合题意；
B. ，不能与合并，不符合题意；
C. ，不能与合并，不符合题意；
D. ，能与合并，符合题意；
故选：D．
5. 用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
将方程的常数项移到右边后，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得到结果．
【详解】解：移项得：，
配方得：，
即：．
故选：A．
6. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断是解题的关键．
【详解】解：在和中，，
A、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到，不符合题意；
B、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到，不符合题意；
C、，不能证明，符合题意；
D、，根据两组对应边对应成比例，夹角相等，得到，不符合题意；
故选C．
7. 抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（ ）．
A. 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位B. 先向左平移4个单位，再向上平移3个单位
C. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平格4个单位，再向上平移3个单位
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律，掌握二次函数图象平移的规律是解题关键．
直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可
【详解】抛物线经过平移得到抛物线，
则平移过程是先向左平移4个单位，再向上平移3个单位．
故选：B．
8. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标．
【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心，
由图可知，位似中心的坐标为，
故选：B．
9. 如图，点A，B，C在半径为5的上，，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作直径，连接，勾股定理求得，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，
作直径，连接，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了求余弦，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】主要是要是通过相似三角形边的对应关系，构造所求的式子，并对结果找到限制条件即可
【详解】由0＜2a＜b，得x0=﹣＜﹣1，
由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，
则AA1=yA，OA1=1，
连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1，
过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），
则∠FAA1=∠CBD，
于是Rt△AFA1∽Rt△BCD，
所以=，即=，
过点E作EG⊥AA1于点G，
易得△AEG∽△BCD．
有=，即=，
∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，
得yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=ax12+bx1+c，
∴==1﹣x1，
化简，得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去），
∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜﹣1，
则1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3，
∴≥3，
∴的最小值为3．
故选D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卡相应的答题区域内作答．
11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．
12. 已知，则=_______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据比例设a=3k，b=2k，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴设a=3k，b=2k，
则，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
13. 一只盒子中有红球10个，白球6个，黑球a个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得“红球”的概率与“不是红球”的概率相同，那么a的值是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】此题考查了概率的应用，根据题意得到红球的数量等于白球加黑球的数量，然后列方程求解即可．
【详解】解：∵从中任取一个球，取得是红球的概率与不是红球的概率相同，
∴，
解得．
故答案为：4．
14. 若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可．
【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆，
选取方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个．
故答案为：6．
15. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是_____．
【答案】14
【解析】
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
【详解】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14，
故答案为14．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
16. 如图，为等边三角形，点在外，连接、．若，，，则__________．

【答案】11
【解析】
【分析】作∠ABD的角平分线交DC于E，连接AE，作于F ，延长BE交AD于R，先证明，可得，再通过等腰三角形的中线定理得，利用三角函数求出DF，FC的值，即可求出CD的值．
【详解】作∠ABD的角平分线交DC于E，连接AE，作于F ，延长BE交AD于R
∵
∴
∴A，E，C，D四点共圆
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵,
∴
∴
∴
∴
∴
故答案：11．
【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握角平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、锐角三角函数是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在答题卡相应的答题区域内作答．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算乘法、除法、绝对值，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】解：
∴，
，．
19. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从上的一点M取．另一边开工点N在直线上，求的长．（结果保留根号）．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出，然后根据含30度角的直角三角形求出，最后根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：
又
，
，
∵，
∴，
．
答：长为．
20. 如图，，分别交于两点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定；根据圆内接四边形对角互补，可得，进而证明，即可得证．
【详解】解：∵，分别交于两点．
∴四边形是内接圆，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
即
21. 已知，请按以下要求完成本题：
（1）请作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹）：
（2）若在中，的直径交于E，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作三角形两边的垂直平分线的交点为外心，再以外心到顶点的距离为半径作圆；
（2）连接，再根据圆周角定理和三角形的外角定理求解．
【小问1详解】
如图所示为所求作的的外接圆；
【小问2详解】
连接．
是的直径，
又
又
，
故的度数为．
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握三角形的外接圆，圆周角定理和三角形外角的性质是解题的关键．
22. 一个不透明的纸箱里有三张完全相同的卡片，它们上面分别写着，小丽从中抽取一张，看完数后，把卡片放回，搅均，然后小明再从中抽取一张．
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）同学小颖帮他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积为有理数，则小丽获胜：否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
【答案】（1）
（2）不公平，对小丽有利．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可求得答案；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可，若不相等，则不公平，概率大的则有利．
【小问1详解】
依题意得：P（小丽取出的卡片恰好是）；
【小问2详解】
列表如下：
从表格中可以看出共有9个等可能的结果，而数字之积为有理数有5个
∴P（小丽获胜），P（小明获胜）
，
∴对小丽有利．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米．
（1）如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）边AB的长为15米；
（2）羊圈的总面积不能为480平方米．理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键．
（1）设边AB的长为x，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案；
（2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案．
【小问1详解】
设边的长为x，依题意得：
整理得：
解得：，，
当时，，不合题意
答：边的长为15米；
【小问2详解】
设边的长为x，依题意得：
整理得：
∴此方程无解，故羊圈的总面积不能为480平方米．
24. 如图，是的外接圆，为的直径，点I为的内心，连接并延长交于D点，连接并延长至E，使得，连接．

（1）求证：；
（2）求证：直线为的切线；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明，再证明，即可证明；
（2）欲证明直线为的切线，只要证明即可；
（3）要根据，求的长，只要求得的长即可，
【小问1详解】
点I为的内心
又
∴
；
；
【小问2详解】
连接，如图所示．

由（1）得：
则
∵为的直径，
∴
∴
，即
又为的直径
直线为的切线；
小问3详解】
为的直径
为直角三角形
不妨设
则有，
解得：
∴
过点I作交于点H，连接，如图所示．

∵点I为的内心，
∴点I到三边的距离相等，
∵，
∴，
∴
由（2）得：
同理可得：
故的长为．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线．
25. 抛物线与x轴只有一个交点，与直线交于B，C两点，点C恰好落在y轴上．
（1）直接写出此抛物线的解析式：
（2）在抛物线的对称轴右侧图象上存在两点，，且，直线和直线与抛物线的对称轴的分别交于点D和点E．
①求的最大值；
②若直线，求证：的面积是一个定值．
【答案】（1）
（2）①；②的面积是定值1
【解析】
【分析】（1）由题意知，抛物线过点A及点，把这两点坐标代入二次函数中，即可求得a、c，从而求得解析式；
（2）①设的外心为点F，过点F作于点G，连接，
则在中，，即当最小时，最大；由，当FD最小时，最小，最小，此时直线与相切，则当垂直直线时，D，F，G三点共线，此时，代入
中，即可求得，从而求得最大值；
②设点D的纵坐标为t，直线交于点，则可得点坐标，从而求得的解析式，与二次函数联立，进而求得点Q的坐标；求出直线解析式，则可求得点E的坐标，求得；由抛物线的对称及，可得，则可得，则即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与直线交点C恰好落在y轴上，
∴点，
∴抛物线过点A及点，
把这两点坐标分别代入中，得：
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①由（1）得，
∴此抛物线的对称轴为直线，，
，
；
如图，设的外心为点F，过点F作于点G，连接，
则，

，
，
中，，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当最小时，最大；
，
∴当最小时，最小，最小，此时直线与相切；
则当垂直直线时，D，F，G三点共线，
，
由得：，
解得：，
∴，
的最大值为；
②设点D的纵坐标为t，直线交于点，如图；
，直线垂直于直线，
点D与点关于直线对称，
，
，
由可得，
联立解方程组，得：，
，
由可得，
上式中，令得：，
，
；
∵两点关于抛物线对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
的面积是一个定值．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形外接圆，圆周角定理，正切函数等知识，综合性强，难度较大，构造三角形外接圆是关键与难点．小丽
小明