67，江苏省泰州市兴化市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份67，江苏省泰州市兴化市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。

说明：1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上．
2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1. 已知一组数据：2，3，2，5，2，2，4，这组数据的众数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求众数，一组数据中，出现次数最多的数字即为众数，由此可解．
【详解】解：所给数据中，2出现了4次，出现的次数最多，
因此这组数据的众数是2，
故选A．
2. 二次函数图象的顶点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标为．先得出该函数的顶点坐标，再根据各个象限内点的坐标特征，即可解答．
【详解】解：二次函数图象的顶点为，在第三象限，
故选：C．
3. 若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（ ）
A. 1：4B. 1：2C. 1：16D. 1：8
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得答案．
【详解】解：∵相似三角形的周长之比是1：4，
∴对应边之比为1：4，
∴这两个三角形的面积之比是：1：16，
故选C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
4. 将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形中心角的度数为，先求出正八边形中心角的度数，即可解答．
【详解】解：正八边形的中心角为，
∵，
∴旋转角的大小可能是，，，
∵不是的整数倍，
∴旋转角的大小不能是，
故选：B．
5. 三角形的重心是（ ）
A. 三角形三条边上中线的交点
B. 三角形三条边上高线的交点
C. 三角形三条边垂直平分线的交点
D. 三角形三条内角平分线的交点
【答案】A
【解析】
【详解】三角形的重心是三条中线的交点，
故选A．
6. 已知二次函数，当时，函数的最小值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得二次函数的对称轴为直线，进而可根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，二次函数有最小值，即为：．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上点数为2的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子共有6种等可能结果，其中向上一面的点数是2的只有1种结果，
所以向上一面的点数是2的概率为．
故答案为：．
8. 十边形的内角和是______度．
【答案】1440
【解析】
【分析】根据n边形内角和为求解即可．
【详解】十边形的内角和是．
故答案为：1440．
【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n边形内角和为是解题关键．
9. 已知线段，，如果线段是线段的比例中项，那么线段等于______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此可得答案．
【详解】解：∵线段是线段的比例中项，线段，，
∴，
∴或（舍去），
故答案为：4．
10. 已知圆锥的母线长13，侧面积是，则此圆锥的高是______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积公式，勾股定理，解题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应的数值代入求出半径，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：设底面半径为R，则底面周长，
∴侧面积为：，
∴，
∴此圆锥的高为：．
故答案为：12．
11. 小明、小兵两名同学参加学校举办的“强国有我”知识大赛，两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是，，则两人成绩较稳定的是______．
【答案】小明
【解析】
【分析】本题考查了方差的应用，理解方差越小越稳定是解答本题的关键．在两人5次成绩的平均数相同的情况下，比较两人5次成绩的方差，即可得到答案．
【详解】，，
，
两人成绩较稳定的是小明．
故答案为：小明．
12. 如图，若点，是线段的黄金分割点，，则的长度是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割的定义，正确理解黄金分割的定义是解答本题的关键，根据黄金分割的定义，分别求得和的长，再根据，即可求得答案．
【详解】点，是线段的黄金分割点，
，，
．
13. 如图，，点分别是上的点且，若，时，则的长等于______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查的就是三角形相似的性质和判定．解决本题的关键就是根据题意得出三角形相似．相似三角形的边长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，各边对应的中线、高线以及角平分线的比值等于相似比．在证明三角形相似的时候，利用两个角对应相等来证明是用的最多的一种方法．
根据可得，根据可得，最后根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
14. 二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到新的二次函数图像的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】主要考查了函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．首先得到，然后按照“左加右减，上加下减”的规律即可得到函数解析式，求得其顶点坐标即可．
【详解】∵，
∴二次函数的图像向右平移2个单位，
再向下平移3个单位后得到新的二次函数的表达式为
∴新的二次函数图像的顶点坐标是．
故答案为：．
15. 如图，扇形中，，，为弧的中点，点为上一动点，连接，当阴影部分周长最小时，等于______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了求正切，与圆有关的计算，轴对称的性质如图，利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，进而根据等腰三角形的性质得出，进而根据轴对称的性质，即可求解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
由对称可知，，，
∵，当点移动到点时，取等号，此时最小，
∵为弧的中点，
∴，则，
，
又，
，
，
由轴对称可知，，
，
当阴影部分周长最小时，，则 ．
故答案为：．
16. 如图，是的内接三角形，，点在弧上，依次连接，若，，，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】延长至点，使得，过点作，垂足为，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，然后证明，由全等三角形的性质可得，即为等腰三角形，结合可得，再在中和中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如下图，延长至点，使得，过点作，垂足为，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：
（2）如图，在中，，，，分别求的长．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题主要考查含特殊角三角函数值的实数混合运算和解直角三角，
先将代入特殊角三角函数值，再根据实数混合运算法则计算即可；
根据正切三角函数和正弦三角函数即可求得对应边长．
【详解】解：
，
在中，，则，
∵，，
∴，解得，
∵，
∴，解得．
18. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．

（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？
【答案】（1）中位数为分，平均数为分，不需要整改
（2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由分变成4分
【解析】
【分析】（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可；
（2）根据“重新计算后，发现客户所评分数平均数大于3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解．
【小问1详解】
解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分；
∴客户所评分数的中位数为：(分)
由统计图可知，客户所评分数平均数为：(分)
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，
∴该部门不需要整改．
【小问2详解】
设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有：
解得：
∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，
∵，
∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，
即加入这个数据之后，中位数是4分．
∴与（1）相比，中位数发生了变化，由分变成4分．
【点睛】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键．
19. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球． 其中红球3个， 白球5个， 黑球若干个， 若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出个白球 (其他颜色球的数量没有改变)， 使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率；
（2）由红球的概率可得关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【小问1详解】
解：球的总数（个），
黑球个数（个） ，
∴任意摸出一个球是黑球的概率为；
【小问2详解】
由题意得：，
解得，
经检验：是方程的解，
∴m的值为3．
【点睛】本题考查了求简单事件的概率，清楚所有可能结果数及事件发生时的可能结果数是解题的关键．注意概率公式的变形运用．
20. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为、、（正方形网格图中每个小正方形边长为1个单位长度）
（1）以原点为位似中心，在第四象限画出，使得与位似且位似比；
（2）面积等于______．
（3）若内有一点，则位似后的对应点坐标是______．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
（1）利用关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点、连线即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（3）把点的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标．
【小问1详解】
解：∵、、，
∴、、，
∴如图所示，
【小问2详解】
解：面积；
【小问3详解】
解：∵点，
∴点坐标是．
故答案为：．
21. 如图，在与中，，且．
（1）与相似吗？如果相似，请说明理由；
（2）连接，若、、三点共线，记与的交点为，若，，的面积为20，试求的面积．
【答案】（1）相似，理由见解析
（2）125
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，
（1）先根据角的和差证明，再根据即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得出，结合对顶角相等证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案．
【小问1详解】
相似，理由如下：
，
即
又
；
小问2详解】
如图：
由（1）知，
，
，，
与的面积比为，
的面积为20
面积为125．
22. 如图，小丽家所在居民楼高为．从楼顶处测得另一座居民楼顶部的仰角是，而大厦底部的俯角是
（1）求两楼之间的距离；
（2）求居民楼的高度．（参考数据：，，）
【答案】（1）两楼之间的距离约为60m；
（2）居民楼高度为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
（1）过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数求出的长即可；
（2）在中，求出的长，利用，进行求解即可．
【小问1详解】
过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，
（m），
m，
两楼之间的距离约为60m；
【小问2详解】
在中，，
，
，
居民楼的高度为．
23. 小顾是化学爱好者，为了研究某种化学试剂的挥发情况，分别在不同场景做对比实验，并收集了该化学试剂挥发过程中剩余质量克随时间分钟变化的数据，绘制在平面直角坐标系中，如图：
（1）从二次函数、一次函数、反比例中，选择适当的函数模型模拟两种场景下随着变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）已知该化学试剂发挥作用的最低质量为2克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）场景为，场景为
（2）化学试剂在场景下发挥作用的时间更长
【解析】
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数，二次函数的性质．
（1）观察两种场景可知，场景A为，场景B为，用待定系数法求出解析式即可；
（2）分别求出当时x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
观察两种场景可知，场景为，场景为，
把，代入得
解得，
∴场景为；
把，代入得
解得
∴场景为；
【小问2详解】
当时，由图可知，
场景中，，
场景中，，
解得，
答：化学试剂在场景下发挥作用的时间更长．
24. 为了落实劳动教育，某学校邀请专家指导学生进行农作物的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株树数（，为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为5千克：以同样的栽培条件，每平方米种植的株树每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求与的函数表达式；
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【答案】（1）
（2）每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为18千克
【解析】
【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米产量为w千克，由产量每平方米种植株数单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【小问1详解】
解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
【小问2详解】
解：设每平方米产量为w千克，
．
∴当时，w有最大值18千克．
答：每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为18千克．
25. 已知矩形中，，，
（1）的一条直角边经过点，另一条直角边与交于点．
①如图1，当直角顶点落在的中点时，求的长；
②如图2，当直角顶点在线段上移动时，直角边与始终交于点．求的最小值；
（2）如图3，是矩形的外接圆，点是弧的中点，点是上任意一点（与不重合），连接，过点作的垂线交直线于点．求的最大值．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①可证，故，又因为，，为中点，则．②令，则，由可得，，故的最大值为 则的最小值为．
（2）连接，因为，，所以，，点是弧的中点，所以，因为，则，故，故，当为圆直径时最大，最大值为．
【小问1详解】
解：①∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，为中点，
∴，
∴
②令，则，
∵，
∴，
∴
∴的最大值为，
∴则的最小值为．
【小问2详解】
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当为圆直径时最大，最大值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质求最值，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26. 二次函数的图象经过．
（1）试求二次函数表达式（用含有的式子表示）；
（2）已知点、，连接，以为边在的右侧作正方形，若二次函数图象与正方形的边有公共点，求的取值范围；
（3）在（2）中，已知直线，是否存在，使得直线与二次函数图象同时经过正方形（包括内部与边界）？若存在，试求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的几何综合内容，熟练掌握正方形的性质以及二次函数的图象性质：
（1）依题意，把代入，化简即可作答．
（2）因为以为边在的右侧作正方形，若二次函数图象与正方形的边有公共点，所以进行分类讨论，第一是二次函数经过点时，第二是当二次函数图象经过点时，列式计算，即可作答．
（3）由已知直线，假设存在，使得直线与二次函数图像同时经过正方形（包括内部与边界），得直线绕着点旋转，结合二次函数的图象性质，得当直线经过点时，或当直线经过点时，得，即可作答．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过
∴把代入
得
则
即；
【小问2详解】
解：依题意，
当二次函数的图象经过点时，
则，
得，
此时点也在图像上；
当二次函数图像经过点时，
则，
得，
综上二次函数的图象与正方形的边有公共点时，；
【小问3详解】
解：由题意可知：直线绕着点旋转，
当直线经过点时，
则，得；
当直线经过点时，
则，
得；
故，
综合（2）的结论，两者的解集，没有公共部分，
所以，不存在直线与二次函数图像都经过正方形（包括内部与边界）．