广东省中山市中山一中教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份广东省中山市中山一中教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】此题主要考查中心对称图形与轴对称图形的识别,解题的关键是熟知其定义.
2. 下列事件中，必然发生的事件是（ ）
A. 从一个班级中任选人，至少有两人的出生月份相同
B. 中山市近三天会下雨
C. 任意画一个五边形，其外角和为
D. 打开电视频道，正在播放《今日说法》
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】、从一个班级中任选人，至少有两人的出生月份相同是必然事件，此选项符合题意；
、中山市近三天会下雨是随机事件，此选项不符合题意；
、任意画一个五边形，其外角和为是不可能事件，此选项不符合题意；
、打开电视频道，正在播放《今日说法》是随机事件，此选项不符合题意；
故选：．
3. 在下列二次函数中，图象的开口向下，顶点坐标为（－2，－1）的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式逐项分析判断即可．
【详解】解：A、中，a＞0，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，1），不符合题意；
B、中，a＜0，抛物线开口向下，顶点坐标为（2，－1），不符合题意；
C、中，a＞0，抛物线开口向上，顶点坐标为（－2，1），不符合题意；
D、中，a＜0，抛物线开口向下，顶点坐标为（－2，－1），符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在二次函数中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4. 点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数即可得答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5. 已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A. 方程有两个相等实数根B. 方程有两个不相等的实数根
C. 方程没有实数D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据“，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；”对的判别式进行判断，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
6. 一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（ ）．
A. 2B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】通过添加辅助线构造直角三角形，进而运用勾股定理进行求解即可．
详解】解：根据题意可画出图形，连接，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，即，
∴（负值舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正方形，勾股定理，解题的关键是熟练运用圆内接正多边形解决问题．
7. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A. 只闭合1个开关B. 只闭合2个开关C. 只闭合3个开关D. 闭合4个开关
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了随机事件的判断，根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光．
【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
8. 如图，内接于，是的直径，点D是上一点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，以及同弧所对的圆周角相等，根据是的直径，得出的度数，再利用，求得，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解题．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
．
故选：B．
9. 二次函数为常数，且)中的与的部分对应值如表：
下列结论错误的是( )
A. B. 是关于的方程的一个根；
C. 当时，的值随值的增大而减小；D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．
【详解】解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知：
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
联立以上方程：，
解得：，
∴；
A、，故本选项正确；
B、方程可化为，
将代入得：，
∴是关于的方程的一个根,故本选项正确；
C、化为顶点式得：，
∵，则抛物线开口向下，
∴当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大；故本选项错误；
D、不等式可化为，令，
由二次函数的图象可得：当时，，故本选项正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有（ ）个．

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中二次函数的图像及可判断a、b、c的符号，进而可判读①；由二次函数的图象与x轴交于及顶点可得二次函数的图象与x轴另一个交点为当时，，即可判断②；由图象即可判断当时， x的取值范围为，即可判断③；当时，，当时，， ，即可判断④；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由图可知，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴交于，
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为，即．
∴当时，，故②正确；
当时，由图可知，x的取值范围为，故③正确；
当时，，
当时，，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11. 关于x的一元二次方程有一个根是，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查方程解的概念，将代入一元二次方程求解，即可解题．
【详解】解：一元二次方程有一个根是，
，解得，
故答案：．
12. 将二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）即可得．
【详解】解：将二次函数的图象先向右平移2个单位长度得到，
再向上平移3个单位长度后，得到，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．
13. 在一个不透明袋子中，装有3个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是________．
【答案】6
【解析】
【分析】随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．
【详解】解：记摸出一个球是红球为事件
白球有个
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．
14. 某试验田种植了杂交水稻，年平均亩产千克，年平均亩产千克，设此水稻亩产量的平均增长率为，则可列出的方程是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设此水稻亩产量的平均增长率为，根据题意列出方程即可，弄清题意，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设此水稻亩产量的平均增长率为，由题意得：
，
故答案：．
15. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为_________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质、等腰三角形的性质．先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得等于旋转角，，则利用等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数，从而得到旋转角的度数．
【详解】∵，
∴
∵在平面内绕点旋转到的位置，
等于旋转角，，
∴，
，
旋转角为．
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，绕所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据题意可得圆锥的底圆半径为，母线长为，然后用公式求解即可，熟记圆锥侧面积公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得，圆锥的底圆半径，母线长，
∴圆锥侧面积为，
故答案为：．
17. 如图1是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，，且，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的推论，先根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件求得，进而得出的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，，，
，
三点在同一直线上，
经过点，
由题意得为半圆的直径，，，
，
在中，
∴
当共线时，取的最大值，
∴的最大长度为
故答案为：．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18. 解方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
【详解】解：，
，
或，
，．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．
（1）画出旋转后的图形；
（2）在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转与坐标，扇形面积的计算；
（1）找到A、B的对应点、，连接O、、即可，观察图象直接得到的坐标；
（2）点B经过的路径为，求得扇形的面积即可．
【小问1详解】
解：旋转后的图形如图所示；
【小问2详解】
解：由题可得，
线段在旋转过程中扫过的面积为；
20. 一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．
【答案】
【解析】
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出2次都摸到红球的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】解：画树状图如下：

一共有6种等可能的结果，其中2次都摸到红球有2种可能的结果，
次都摸到红球）．
【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，共24分）
21. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为米，拱高米，跨度米，相邻两支柱间的距离均为米，则支柱的高度为多少米？
【答案】支柱的长度是米．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设拱桥两端分别为点、，拱桥顶端为点，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系，求出二次函数关系式是解题的关键．
【详解】解：设拱桥两端分别为点、，拱桥顶端为点，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系，如图，设解析式为，
根据题意，、、的坐标分别是、、，
将、的坐标代入，
得：，解得：，
∴抛物线的表达式是，
令得，
∴支柱的长度是（米）．
22. 如图，是等腰直角三角形，，，为边上一点，连接，将绕点旋转到的位置．
（1）若，求的度数；
（2）连接，求长的最小值．
【答案】（1）；
（2）长的最小值．
【解析】
【分析】（）首先根据等腰直角三角形的性质得到，然后根据三角形内角和定理得到，最后根据旋转性质和全等三角形的性质求解即可；
（）由旋转的性质得到，，当时，的值最小，即的值最小，根据等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理即可；
此题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质，垂线段最短和勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【小问1详解】
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
由旋转性质可知：，
∴；
【小问2详解】
由绕点旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
当时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
即长的最小值．
23. 如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．

（1）求的长；
（2）若，求证：为的切线．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可；
（2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，
∵是的直径，且，
∴，
∵E为上一点，且，
∴，
∴，
∴的长；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键
．
五、解答题（三）（共2小题，每小题10分，共20分）
24. 抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线的对称轴与轴相交于点，连接，．绕点顺时针旋转一定角度后落在第一象限，当点的对应点落在抛物线的对称轴上时，求此时点的对应点的坐标；
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）．
【解析】
【分析】（）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（）由旋转的性质证明，由全等三角形的性质得出，则旋转角，即可求出；
此题考查了二次函数图象的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【小问1详解】
解：将点，代入抛物线解析式得：
，解得 ，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵抛物线的解析式为，，，
∴，对称轴为直线：，
∴，
由旋转得：，则，
∴，
∴，
∴旋转角，即轴，
∵，，
∴．
25. 综合与探究
问题情境：如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接．

（1）探究发现：证明：无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上；
（2）探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明；
（3）探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据切线的性质得到，再证明得到，加上，所以，然后根据折叠的性质可判断将沿折叠，点一定落在直径上；
（2）由于是等腰三角形且对称轴经过点，则根据折叠的性质得到，再证明，接着根据切线的性质得到，则可计算出，然后证明四边形为矩形，则，从而得到；
（3）先根据正三角形的性质得到，，再计算，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，，则，从而得到．
【小问1详解】
证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上；
【小问2详解】
解：．
理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
；
【小问3详解】
解：为正三角形，
，，
，
，
，，
，
，
而，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质．
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