21，安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份21，安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共20页。试卷主要包含了答题时，必须使用0， 已知角终边经过点，则， 已知定义在上的函数满足， 已知，且， 已知函数， 下列选项中正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.
2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出集合及后，借助交集定义运算即可得.
【详解】由，解得，故，
由，则
所以.
故选：B.
2. 已知函数，则该函数零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助零点的存在性定理计算即可得.
【详解】易知函数在上单调递增，
又，
，
，
故零点所在区间为.
故选：B.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合时函数的符号即可得答案.
【详解】解：由题知函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故排除B，D，当时，，故排除C，得A为正确选项.
故选：A
4 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】寻找中间值即可得.
【详解】由，故，
由，故，
，有，即，
故.
故选：A.
5. 已知角终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助三角函数定义及二倍角的正切公式计算即可得.
【详解】由，故，
则.
故选：D.
6. 已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得在上单调递减，由不等式即可求解.
【详解】解：令，得；再令，得，
故为上的奇函数，
设，且，则，得，得，
得，得，
得在上单调递减，
当时，得，得，
解得：，
故选：C
7. 已知，且.则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系、正余弦的和角公式计算即可.
【详解】，，
∴，
又，故，
，，
故则，
.
故选：C.
8. 已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数、分段函数的图象与性质结合函数的单调性计算即可.
【详解】设，则，故可转化为，
即的图像与直线有4个不同的交点，
对应横坐标从小到大依次为，
如图所示，可知，
且，
，
则，
令，易知在上单调递减，即此时，
所以：.
故选:D
【点睛】难点点睛：对于函数零点求参问题可适当积累一些结论，如函数，若有，则，同时注意利用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质求解即可.
二､多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列选项中正确的是（ ）
A. 与是终边相同的角
B. 若一扇形的圆心角为，半径为，则该扇形面积为
C. 若角是第一象限角，则角为第一或第二象限角
D. 函数的图象可由函数的图象向右平移之后得到
【答案】AD
【解析】
【分析】结合终边相同的角，扇形的面积，象限角及函数图象的平移法则依次判断即可.
【详解】解：对于与是终边相同的角，选项正确；
对于，一扇形的圆心角为，半径为，
则该扇形面积为，B选项错误；
对于，角是第一象限角，则角为第一或第三象限角，故C选项错误；
对于D，函数的图象可由函数的图象向右平移之后得到，故D选项正确，
故选：AD
10. 已知是定义在上的奇函数和偶函数，且，下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值为1
B.
C.
D. ，恒有的充分不必要条件为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意可结合函数的奇偶性及不等式组法解出的解析式，借助解析式逐项判断即可得.
【详解】因为：是定义在上的奇函数和偶函数，
所以有：，即
解得：，
对于A，，当且仅当时，等号成立，
故，故A正确；
对于B，，，
故，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，由函数，可得其在上单调递增，
可将，恒有成立，
转化为对恒成立，
即对恒成立，
当时，有，不符，
当时，有，即，
故为其充要条件，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知正数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的性质可判定A项，结合基本不等式可判定B项，利用特殊值可判定C项，根据条件放缩得出，即可得出判定D项.
【详解】对于A，，
所以选项正确；
对于B，由题，
当且仅当等号成立，故B选项正确；
对于C，可取特殊值满足题意，则，故C选项错误；
对于D，，
即，则，故D正确.
故选：ABD
12. 设函数，已知在有且仅有5个零点，下列四个选项中正确的是（ ）
A. 在取最大值时，对应有且仅有3个
B. 在取最小值时，对应的有且仅有2个
C. 在单调递增
D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于函数，则，有，
令，条件转化为在区间上有5个零点，
结合正弦函数的图像可知，，解得，
在取最大值时，对应的有且仅有3个；
在取最小值时，对应的有2个或者3个，故选项A、D正确，B错误；
对于C：，则，而，
所以在单调递增，故C正确
答案：ACD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，列出函数有意义时的不等式，解出不等式的解集，从而得到函数的定义域.
【详解】函数
要使函数有意义，则，
即，
，，
即原函数的定义域为：.
故答案为：
14. 学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有__________人.
【答案】6
【解析】
【分析】根据韦恩图计算得到答案.
【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人，
可得，解得．
易知只参加趣味比赛一项的有6人，
故答案为：6
15. 设且，则的最大值为_______
【答案】
【解析】
【分析】利用均值不等式，结合，即得解
【详解】由题意，
由均值不等式，当时，，
当且仅当即时等号成立
故，即
当且仅当即时等号成立
故答案为：
16. 函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.已知函数图象成中心对称，则：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的充要条件，利用待定系数法求出函数的对称中心，再求值即可.
【详解】设函数图象的对称中心为，
设，则为奇函数，
且，则，
即，即，
整理得，于是，解得，
因此函数图象的对称中心为，则，
令，
则，
于是，解得，
所以.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 求下列各式的值
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）2.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、特殊角的三角函数值计算即得.
（2）利用对数运算法则及换底公式计算即得.
【小问1详解】
由题意，原式
.
【小问2详解】
依题意，
.
18. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心；
（2）先将的图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.
【答案】（1）；对称中心为，
（2）
【解析】
【分析】（1）由最值求，由周期求，由图像上的点求，得函数解析式，整体代入法求对称中心；
（2）由图像变换得解析式，由定义区间结合正弦函数的单调性求单调减区间.
【小问1详解】
由图像可知，，最小正周期，得，
此时，由，
得，，由，所以，
所以函数的解析式为；
由，，可得，.
故函数的对称中心为，；
【小问2详解】
先将的图象横坐标缩短为原来的倍，可得的图象，
再向右平移个单位，得到的图象，
即.
因为，所以，
当即时单调递减，
所以在上的单调递减区间为.
19. 已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性计算即可；
（2）根据（1）的结论结合复合函数的单调性确定的单调性去函数符号得对任意的恒成立，分类讨论分参结合基本不等式计算即可.
【小问1详解】
依题可知，
设，则，所以，
又是上的奇函数，，
则，则，
当时，，
综上所述，；
【小问2详解】
当时，，
易知在定义域上为增函数，在定义域上为减函数，
在上单调递减，
又是上的奇函数，在上单调递减，
从而在上单调递减，
由，
可得，
又在上单调递减，
，
即对任意的恒成立，
当时，恒成立；
当时，
令
当且仅当即时等号成立，
，即实数的取值范围为.
20. 近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数与发车时间间隔之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？
【答案】（1）；
（2）分钟.
【解析】
【分析】（1）根据题意建立函数模型并计算解析式即可；
（2）由函数的单调性及基本不等式分类讨论计算即可.
小问1详解】
由题意可设（k为常数），
因为，则，
所以；
【小问2详解】
由，结合（1）可知，
可得，
整理得，
①当时，，
当且仅当时等号成立；
②当时，在上单调递减，
即当时取最大值；
由①②可知，当发车时间间隔分钟时，用户体验感指数最高，用户体验感最好.
21. 已知函数，相邻两对称轴之间的距离为
（1）求的值；
（2）若时，方程有解，讨论方程解的个数，若方程所有解的和记为，求所有可能值.
【答案】（1）1 （2）,
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式结合三角函数的对称性与周期性计算即可；
（2）利用三角函数的图象与性质分类讨论计算即可.
【小问1详解】
相邻两对称轴之间的距离为，
，即，即
【小问2详解】
由题意可得，作出函数图象如下：
由图可知，当时，有三个解：，
此时
当时，有两个解：，
此时.
当时，有四个解：，
此时.
综上：所有可能值为,.
22. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“倒戈函数”.
（1）已知函数，试判断是否为“倒戈函数”，并说明理由；
（2）若为定义在上的“倒戈函数”，求函数在的最小值.
【答案】（1）为“倒戈函数”；理由见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；
（2）由方程在上有解，令换元后转化为关于t的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值.
【小问1详解】
为“倒戈函数”.
等价于方程有解，
即有解，显然为方程的解，
所以为“倒戈函数”；
【小问2详解】
若为定义在上的“倒戈函数”，
则上有解，即在上有解.
令，当且仅当时，即时，取等号，
则，
从而关于的方程在上有解，
令，
①当时，在上有解，
由，即，解得；
②当时，在上有解等价于
，此不等式组无解.
则所求实数的取值范围是.
令，因为，所以，
则，
令，对称轴为，
当时，在单调递增，
所以时，取得最小值，，
即时
当时，时，取得最小值，，
即时，即时，.
综上，当时，；
当时，.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“倒戈函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题来进行求解.