32，江西省新余市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题卷

这是一份32，江西省新余市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题卷，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数性质有，再由即可得解.
【详解】由组合数性质知，，
因为，所以，
所以，得.
故选：C.
2. 若直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用两平行线之间的距离公式即可得解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得或，
当时，与重合，不符合题意；
当时，与平行，符合题意；
此时，可化为，
则与之间的距离.
故选：D.
3. 已知点D在确定的平面内，O是平面外任意一点，正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间四点共面的性质，结合基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，且四点共面，
由空间四点共面的性质可知，即，
又，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
4. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.
【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，
则，且互斥，，，
依题意，，解得，
所以所求近视的概率为.
故选：B
5. 设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则的面积为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合椭圆的定义求出，又因为，由余弦定理可求出，再求出，由三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】因为椭圆的方程为：，则，
，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，
因为点P到两个焦点的距离之差为1，
所以假设，则，
解得： ，又因为，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
所以的面积为：.
故选：C.
6. 某街道选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A. 1176B. 2352C. 1722D. 1302
【答案】A
【解析】
【分析】由排列、组合知识及两个计数原理，结合分组分配问题求解即可．
详解】某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，
若每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，
共有三种方案：1,1,5；2,2,3；3,3,1，
不同的安排方式共有＝1176，
故选：A．
7. 如图，在四棱柱中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，与交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可表示，再结合向量数量积公式可得的模.
【详解】在四棱柱中，四边形是平行四边形，又与交于点，所以是的中点，
所以，
又，，，
所以
，即，
故选：A．
8. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，
在下底面作，
以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：
因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，所以，得，
则即，即，
，，，， ，，
.
所以，
又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知且，则
B. 已知，则越小，越大
C. 已知，且，则，
D. 若变量y关于x的线性回归方程为且，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正态分布的性质判断AB；利用二项分布的期望与方差列式判断C；利用线性回归方程必过样本中心列式判断D.
【详解】对于A，因为且，
所以，故A错误;
对于B，因为，
所以越小，的概率曲线越集中于对称轴处，
而，
所以越大，故B正确；
对于C，因为，所以，，
而，
所以，解得，故C正确;
对于D，变量y关于x的线性回归方程为，且，，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD
10. 当下新能源汽车备受关注，某校“绿源”社团对“学生性别和喜欢新能源汽车是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢新能源汽车的人数占男生人数的，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢新能源汽车和性别有关，则调查人数中男生有可能的人数为（ ）
附：
A. 68B. C. 70D. 71
【答案】CD
【解析】
【分析】设男女生总人数为，根据题目得到列联表，计算，得到答案.
【详解】设男女生总人数为，则男生喜欢新能源汽车的人数，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的.则列出联表如下：
所以，即，所以，
故选：CD
11. 在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A，B相邻，则不同的排序种数有240种
B. 若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种
C. 若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种
D. A排在B，C之前的概率为
【答案】ACD
【解析】
分析】对于ABC，根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D，根据排列组合结合古典概型分析求解.
【详解】对于A，若A，B相邻，则不同的排序种数有种，故A正确；
对于B，若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有种，故B错误；
对于C，若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有种，故C正确；
对于D，A排在B，C之前的概率为，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，实轴长为8，离心率为，点，，是双曲线上的任意两点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点.下列说法正确的是（ ）
A. 若点满足，则的周长为52
B. 若点在双曲线的左支，则的最小值为13
C. 存在点，使得
D. 若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，则或
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意首先得到双曲线方程以及渐近线方程，选项A，根据双曲线定义运算即可判断；选项B，画出图形，通过三角形两边之和大于第三边即可判断；对于C通过基本不等式可求得的最小值，从而即可判断；对于D，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理、判别式垂直平分线的求法即可判断.
【详解】由题可知，所以，，，
双曲线：，渐近线为即.
选项A，若，则，所以，，
则的周长为，所以选项A正确.
选项B，

，
当且仅当，，三点共线且点线段上时(即点与点重合)取最小值.所以选项B正确.
选项C，

设，则，所以，
，
当且仅当，即点为或时，取最小值.所以选项C错误.
选项D，设直线的方程为，设，，
联立得，
所以，，
由得，即或；
线段的中点为，
所以线段的垂直平分线方程为，
令得，由得或，所以选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：对于A选项的判断较为常规，判断B选项的关键是数形结合，判断C选项的关键是通过比较的最小值和的大小，判断D选项的关键是联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理、判别式来解决.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若的展开式中的系数为2025，则实数_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求出的项的系数，结合，即可得的值．
【详解】因为，的通项公式为，
所以的系数为，解得．
故答案为：.
14. 某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知取出的3个球全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为X，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用组合与古典概型求得黑球的个数，从而求得的分布列，进而求得的期望，由此得解.
【详解】依题意，设黑球的个数为，由，得，则，
记取出3个球中黑球的个数为，的取值可以为1，2，3；
，，，
则分布列如下：
所以.
故答案为：.
15. 已知直线，直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由曲线表示以点为圆心，以为半径的圆的下半圆，考察直线过点以及直线与曲线相切，利用直线与圆的位置关系求解.
【详解】直线的方程可化为即为，所以，直线是过点，且斜率为的直线，
由可得，可得，
整理可得，即，
所以，曲线表示以点为圆心，
以为半径的圆的下半圆，如图所示：
其中，，
当直线与曲线相切时，
则圆心到直线的距离为，且，
整理可得，解得（舍去）或，
若直线与曲线有两个公共点，
由图象知：实数的取值范围是.
故答案为：.
16. 过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设直线，，，且，联立抛物线方程得关于的一元二次方程，从而可求得，，再利用抛物线的定义即可求得，再结合基本不等式即可得最小值．
【详解】依题意可得直线的斜率存在，
设直线，，，且，
联立，得，
则，
则，得，
所以，
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18~22题各12分，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17. 已知直线l和圆
（1）若直线l过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
（2）过点引直线与圆C相切，切点为N，求线段MN的长．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论所求直线是否过原点，分别求出对应方程即可；
（2）利用直线与圆相切的性质，结合两点距离公式与勾股定理即可得解.
【小问1详解】
当直线过原点时，直线的方程是，即.
当直线不过原点时，设直线的方程为，即，
把点代入方程得，则直线的方程是.
综上，所求直线的方程为或
【小问2详解】
因为圆可化为，
则圆的圆心为，半径为，如图，
因为直线相切于圆，所以，
又，，
所以.
18. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；
（2）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
（3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）应用条件概率公式求概率即可；
（2）由题设可能值为，结合表格数据及超几何分布概率公式求分布列，进而求期望；
（3）由，应用方差的性质判断的数量关系即可.
【小问1详解】
若事件表示抽到的学生获得一等奖，事件表示抽到的学生来自中学组，
所以抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为，
由表格知：，则.
【小问2详解】
由题意，可能值为，
，，，
的分布列如下：
所以.
【小问3详解】
由题设知，所以.
19. 已知二项式．
（1）若，，求二项式的值被7除的余数；
（2）若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，，将二项式转化为，利用二项式定理即可得解；
（2）先由题意求得，再利用二项展开通项公式得到关于系数最大的项的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
因为，，
，
显然能被7整除，，
所以二项式的值被7除的余数为.
【小问2详解】
因为的二项式系数之和为128，
，
则的展开通项公式为，
假设展开式中系数最大的项为第项，
则，即，
即，解得，
所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
即.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是熟练掌握组合数公式，从而得解.
20. 某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表．
（1）若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数）
（2）已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数）
参考公式与数据：①，.；
②若随机变量，则，，；
③，.
【答案】（1）约为人
（2）回归方程为；约为个.
【解析】
【分析】（1）利用原则求出的值，即可求得该地参与社区养老的老人人数为；
（2）计算出的值，可求出的值，可求得的值，利用参考数据可求得的值，由此可得出回归直线方程，然后将代入回归直线方程可得结果.
【小问1详解】
解：由题意可知，，，则，，
所以，
，
所以，估计该地参与社区养老的老人人数为.
【小问2详解】
解：由表格中的数据可得，
所以，，
由已知条件可得，
所以，，
所以，，
又因为，
显然，解得，则，
所以，关于的回归直线方程为，
当时，.
估计年时，该地区新建社区养老机构的数量约为个.
21. 在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点．
（1）求证：底面；
（2）是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，且
【解析】
【分析】（1）首先证明面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明面；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：在中，，，
所以.
在中，，，，
由余弦定理有：，
所以，，所以，所以，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
在中：，，，则，所以，，
因为，、平面，所以面.
【小问2详解】
解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有、、、、，
设，其中，
则，，，
设为面的法向量，
则有，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
由题意可得，
可得，因为，所以.
因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且.
22. 如图，椭圆和圆，已知椭圆C的离心率为，直线与圆O相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据题意得到，再根据离心率得到，即可得到答案.
（2）首先设直线，与椭圆联立得到，从而得到，即可得到，，从而得到，再利用基本不等式即可得到最大值.
【小问1详解】
直线与圆相切，则，
由椭圆的离心率，解得：，
椭圆的标准方程：；
【小问2详解】
由题意知直线，的斜率存在且不为0，，
不妨设直线的斜率为，则直线．
由，得，或，
所以.
用代替，得
则，
，
，
设，则．
当且仅当，即，即时取等号，
所以.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
类别
喜欢新能源汽车
不喜欢新能源汽车
小计
男生
女生
小计
.
.
.
1
2
3
奖项
组别
单人赛
PK赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
中学组
40
40
120
100
小学组
32
58
210
100
0
1
2
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
新建社区养老机构