40，湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份40，湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知，且，则， 已知，则的大小关系为， 已知正实数满足， 已知，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
2024.1
本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合A、B，再求交集.
【详解】,
,
所以.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题.
【详解】命题“”的否定是“” .
故选：D
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先化简指数不等式和对数不等式，再去判断二者之间的逻辑关系即可
【详解】为R上单调递减函数，由，可得
为上单调递增函数，由，可得
则由“”可以得到“”；
由“” 不能得到“”
则“”是“”的必要不充分条件
故选：B
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】探讨函数的奇偶性，再由时的函数值正负判断即可.
【详解】函数的定义域为R，，即是奇函数，排除AC；
当时，，则，选项B不满足，D满足.
故选：D
5. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正切函数的定义求出，再利用诱导公式化简，结合齐次式法计算即得.
【详解】显然点都在直线上，由正切函数定义得，
所以
故选：B
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，结合同角公式求出即可得解.
【详解】由，得，解得，
由，得，则，于是，
解得，所以.
故选：C
7. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断，利用对数的运算性质以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，即可得答案.
【详解】由于，故，
，，
又，
故的大小关系为，
故选：A
8. 已知正实数满足：，，则的值是（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】将两边取对数化为，将两边加1化为，构造函数，可知，研究的单调性即可得到答案.
【详解】由两边取对数可得：，即，
由可得：，即，
构造函数，由和等价于和，即，
由于在上单调递增，在上单调递增，
则在上单调递增，所以等价于，故.
故选：C
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据不等式的性质及特殊值，可逐项判断求解.
【详解】对A：因为，当时，，故A错误；
对B：因为，所以，即，故B正确；
对C：不妨设，，所以，故C错误；
对D：因为，所以，所以，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的定义域为
C. 函数的图象的对称中心为
D. 函数的单调递增区间为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用整体代入法，由三角函数的周期公式可判断A;由正切函数的定义域可判断B; 由正切函数的对称中心可判断C;由正切函数的单调区间可判断D
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，由，得,
所以函数的定义域为，B正确；
对于C，由，得,
所以函数对称中心为，C错误；
对于D，由，得，
所以函数的单调递增区间为，D正确.
故选:ABD
11. 镇江五峰山长江大桥是世界首座千米级公铁两用悬索桥，其两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”，“悬链线”的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数为，则（ ）
A. 双曲正切函数是偶函数
B.
C.
D. 若时，恒成立，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义可判断A；利用指数的运算性质可逐一判断B，C；恒成立，即，将函数解析式代入，通过换元，分离常数，转化为二次函数即可判断D.
【详解】对于A，由题意，令，其定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，A错误；
对于B，
，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由题意，
因为，令，
则，
令，则，
所以函数在上单调递减，且，
即当时，，
因为当时，恒成立，所以，D正确.
故选：BCD
12. 已知函数是定义域为的奇函数，直线是函数的图象的一条对称轴，当时，，则（ ）
A. B.
C. 在上单调递减D. 方程恰有10个解
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，结合给定区间上的函数式计算判断ABC；作出函数及的部分图象判断D.
【详解】由直线是函数图象的一条对称轴，得，
由函数是上的奇函数，得，则，
即，，函数是周期函数，周期为4，A正确；
当时，，则，B错误；
显然函数在上单调递增，由奇函数的性质知，在上单调递增，
因此函数在上单调递增，又的图象关于直线对称，则在上单调递减，C正确；
方程的根，即函数与函数图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与函数的部分图象，如图，
观察图象知，函数与函数的图象共有9个交点，
所以方程恰有9个解，D错误
故选：AC
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. __________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用指数运算及指数式与对数式的互化关系求解即得.
【详解】.
故答案为：6
14. 函数满足，请写出一个符合题意的函数的解析式__________.
【答案】 (答案不唯一)
【解析】
【详解】取，
则，满足题意.
故答案为：(答案不唯一)
15. 酒驾新规来了，2024年3月1日起实施，新国标将酒驾的上限从降低到了，也就是说，只要驾驶员血液中酒精含量超过了，就属于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量会以每小时的速度减少，则按照新规他至少经过__________小时后才能开车.（参考数据：）
【答案】7
【解析】
【分析】设他至少经过x小时后才能开车，由题意列出不等式，结合对数运算，即可求得答案.
【详解】设他至少经过x小时后才能开车，
则，即，
故（小时），
即他至少经过7小时后才能开车，
故答案为：7
16. 已知函数，若⫋，则__________，的取值范围为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意可推出，结合，即可求得m的值；由此确定，要满足⫋，需满足有解，由此列不等式求出n的范围，即可求得答案.
【详解】设，则，由题意知，
即，故，
则，则，
当时，，
此时的解均为，不满足⫋，故；
故要使得⫋，
需满足有解，且显然其解不是0和n，()，
故，解或，结合，可得或，
故，即的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：注意到，从而0和n不是的解，故要满足题意，需有解，进而结合判别式求解即可.
四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）化简集合，利用集合的运算性质计算即可；
（2）由得到，分和两种情况讨论即可.
【小问1详解】
由题意：，则或，
当时，，
所以.
【小问2详解】
若时，则.
当时，则①，解得；
当时，则②解得.
综上所述：的取值范围是.
18. 已知幂函数为偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义求出的值，由偶函数性质求出符合题意的，得到解析式；
（2）由一元二次不等式的解法对分，，三种情况讨论得到不等式的解集.
【小问1详解】
由题意，因为为幂函数，
所以，解得或.
当时，，定义域为，关于原点对称，
显然成立，故为偶函数，符合题意；
当时，，
此时的定义域为，不关于原点对称，
故不是偶函数，不符合题意.
故函数.
【小问2详解】
因为，则不等式等价于，即.
当时，有，不等式解集为；
当时，有，不等式的解集为；
当时，有，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
19. 已知函数，且函数在区间上的值域为.
（1）求函数的解析式；
（2）令函数，求函数的单调递增区间.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由函数在区间内的值域，列方程组求出的值，得函数解析式；
（2）由复合函数的单调性和余弦函数的性质，求的单调递增区间.
【小问1详解】
当时，，则，
所以，由题意，解得
故.
【小问2详解】
函数在定义域内单调递增，
则在函数的单调递增区间内，单调递增且，
所以有，得，
即当时，此时单调递增，
故函数的单调增区间为.
20. 已知，函数，.
（1）判断函数的单调性，并用定义证明；
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出的定义域，并证明为偶函数，再用定义法判断在单调性，利用偶函数的性质判断在上的单调性即可；
（2）结合（1）将等价于，分别求出的最大值以及的最小值即可得到答案.
【小问1详解】
.
令，解得：，则的定义域为，关于原点对称，
当时，，所以为偶函数.
任取，且，
则
因为，所以，则，
又因为，则，所以，所以在上单调递减.
由偶函数的性质知在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
不等式等价于.
由（1）得，当时，在时取得最大值0.
又，当且仅当时，取得最小值2，
所以当时，取得最大值，
所以实数的取值范围为.
21. 随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示：
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.
（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.若不充电，该电动汽车能否到达地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.
【答案】（1）选择函数模型①，
（2）需要，最少用时为小时.
【解析】
【分析】（1）由表格中的数据，由增长速度可知，选择函数模型①，代入数据计算系数可得函数解析式；
（2）计算行驶耗电量，判断是否需要充电，表示出总时间，利用基本不等式求所用时间的最小值.
【小问1详解】
与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型①，
由题意有：解得：
所以.
【小问2详解】
设耗电量为，则，
任取，
，
由，，，，
则有，即，
所以函数在区间单调递增， ，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达地.
又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达地，
则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，
即，解得，
所以总时间，
当且仅当，即时取等，所以该汽车到达地的最少用时为小时.
【点睛】方法点睛：
函数模型的选择有：
一、观察法寻找自变量与函数值的变化规律，如线性关系较明确的，可直接待定系数法求出解析式；
二、对于规律不明显的，则要先作出散点图（作图要恰当选择单位等），再观察散点图的特征，看这些点的分布最近接哪类初等函数，一般有直线型的，指数型的，正（余）弦波型的等，选一个或2个模型带入比较，最后确定一个误差较小的． 在解决一般应试题时，一定要仔细研读题意，并且注意联系实际生活常识（或现有理论）等，一步到位的选择模型．
22. 已知函数，函数与互为反函数.
（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；
（2）求证：函数仅有1个零点，且.
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由反函数定义可得，从而结合的值域为，讨论m的取值，结合解不等式，求得答案；
（2）利用零点存在定理，并结合函数的单调性可证明函数仅有1个零点，从而得到，进而将要证明的不等式等价转化为，由此构造函数，利用函数的单调性证明结论.
【小问1详解】
因为函数与互为反函数，所以.
因为的值域为，所以能取遍的所有值，
当时，能取遍的所有值，符合题意；
当时，则只需，解得，
综上所述：实数的取值范围为；
【小问2详解】
由（1）可得，定义域为，
因为，，
（）
由零点存在定理有，存在零点，使得，
又因为在上单调递增，所以仅有1个零点，
且.
等价于，
令，显然函数在定义域上单调递增，
因为，所以，
因为，所以，则.
所以，故，得证.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于函数不等式的证明，解答时要结合函数存在零点，得到关于零点的等式，进而结合该等式化简，从而构造函数，结合函数的单调性，证明结论.
60
70
80
90
100
8.8
11
13.6
16.6
20