44，陕西省西安铁一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份44，陕西省西安铁一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：120分
第I卷（选择题共48分）
一、单选题（共8小题，每小题4分，共计32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用量词命题的否定即可得解.
【详解】因为量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”，
所以“”的否定为.
故选：B.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先化简集合，然后求出交集即可.
【详解】，
，
.
故选：A
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性可知函数为偶函数，结合赋值法和排除法即可求解.
【详解】由题可知，，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除A，C；
又，排除B．
故选：D．
4. 若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先将化为，再将该式与相乘，变为积定的形式，利用基本不等式可以求出最小值.
【详解】先将化为，
因为且，所以，
当且仅当即时取等号，
又解得，，因此等号能取到，
所以的最小值为.
故选：B
5. 已知，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角公式求解即可.
【详解】
，
故选：B
6 设，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数值域求出a、c范围，根据对数函数值域求出b的范围，由此即可比较a、b、c的大小关系．
【详解】，则；
，，则；
且，则；
故．
故选：D．
7. 设且，若函数的值域是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当时，检验满足.当时，分类讨论的范围，依据对数函数的单调性，求得的范围，综合可得结论.
【详解】由于函数且的值域是，
故当时，满足.
若在它的定义域上单调递增，
当时，由，.
若在它的定义域上单调递减， ，不满足的值域是.
综上可得，.
故选：C.
8. 函数满足，且当时，，则函数与函数的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知关于点中心对称，函数关于点中心对称，作出函数与函数的图象，利用对称性与周期性可求得结果.
【详解】由于，所以函数周期函数，且周期为.
令，则，
对任意的，，
所以函数关于点中心对称.
设，则
，
所以，函数关于点中心对称.
画出函数与函数的图象如下图所示，
由图可知，函数与函数的图象有四个交点，
不妨设这四个交点分别为、、、，
设，由图可知，点与点关于点对称，
点与点关于点对称，
所以.
同理可知，函数与函数的图象也有四个交点，
设这四个交点分别为、、、，由两函数周期都为2，两函数关于点(1,1)对称，故这四个点关于点(3,1)对称，
可得，
所以，函数与函数的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查两函数交点横坐标与纵坐标之和，解题的关键在于分析出两函数的对称性，然后利用图形找出两函数图象的交点个数，结合对称性来计算.
二、多选题（共4小题，每小题4分，共计16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 最小值是4
B. “”是“"的充分不必要条件
C. 若，则
D. 函数（且 ）的图象恒过定点
【答案】BD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断A；解不等式，由充分必要条件可判断B；利用特殊值验证可判断C；利用对数函数性质可判断D.
【详解】对于A，当时，（当且仅当时取等号），
当时，（当且仅当时取等号），
所以没有最小值，故A错误；
对于B，由得或，所以“”是“"的充分不必要条件，故B正确；
对于C，当时，，但 ，故C错误；
对于D，当时，，所以函数（且 ）的图象恒过定点，故D正确.
故选:BD.`
10. 已知函数（），下列结论错误的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上是减函数
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为，
所以的最小正周期为，故A正确；
当时，，
的图象不关于点对称，故B错误；
当时，，因为在上不单调，
所以函数在区间上不是减函数，故C错误；
当时，为最大值，
的图象关于对称，故D正确．
故选：BC．
11. 下列选项中正确的有（ ）
A. 若 是第二象限角，则
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，可利用同角三角函数基本关系化简；对于B，可利用及同角三角函数基本关系化简；对于C，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；对于D，可利用二倍角的正切公式化简.
【详解】对于A，因为是第二象限角，所以，
从而，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABC.
12. 已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】将方程的实数解个数问题转换为两个函数的交点问题，即可求出k的取值范围，并得到，，，之间的关系，其中，是方程的实数根，根据二元一次方程和韦达定理即可找到关系；，满足等式.
【详解】当时，，在单调递减，，在单调递增，；
当时，，在单调递减，，在单调递增，，若有四个不同的实数解，则，A正确；
因为，所以，，所以，B错误；
，根据韦达定理可知中，C正确；
，，所以，D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分． 把答案写在答题卡中的横线上）
13. 设函数，则_________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的解析式，依次代入即可得解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
14. 己知函数在区间上单调，则实数m的取值范围是_________．
【答案】或
【解析】
【分析】求出二次函数的对称轴，结合函数的单调性得到不等式解出即可．
【详解】函数的对称轴为，
若函数在区间上单调，则或，解得或．
故答案为：或.
15. 已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为________.
【答案】
【解析】
分析】确定，根据零点个数得到，解得答案.
【详解】，则，函数有且仅有2个不同的零点，
则，解得.
故答案为：
16. 设正实数满足等式若恒成立，则实数t的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知变形得，由基本不等式结合二次函数的性质可得的最大值，从而可得结论.
【详解】因为，所以，，
，则，
设，则，
，
对称轴为，在处，上式取得最大值，且最大值为，
若恒成立，则，得，
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共56分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17. 已知函数的定义域为集合，集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接代入计算，再根据交集含义即可；
（2）由题得到，再对分类讨论即可.
【小问1详解】
由题意得集合，
当时，，
所以．
【小问2详解】
因为“”是“”的必要条件，则，
因为不等式等价于，所以：
当时，，因此，即；
当时，，结论显然成立；
当时，，结论显然成立，
综上，的取值范围是．
18. 已知函的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用五点作图法，结合正弦函数的性质即可得解；
（2）由题意求得，再结合的取值范围求得，从而利用正弦函数的和差公式即可得解.
【小问1详解】
由图象知，又，所以，
将代入，得，
因为，所以，即，
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以，即，
因为，所以，
所以，
所以
.
19. 已知幂函数为偶函数，．
（1）求的解析式；
（2）若对于恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可.
（2）将题意转化为对于恒成立，再利用基本不等式即可得解.
【小问1详解】
因为幂函数为偶函数，
所以，解得或，
当时，，定义域为R，，
所以为偶函数，符合条件；
当时，，定义域为R，，
所以为奇函数，舍去；
所以.
【小问2详解】
因为，
所以对于恒成立，即对于恒成立，
等价于对于恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，故，则.
20. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若方程在内有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】先化简解析式.（1）直接求出最小正周期；（2）利用复合函数单调性法则列不等式即可求出；（3）利用图像法求解：
【小问1详解】
所以函数的最小正周期为.
【小问2详解】
要求的单调递增区间，
只需，解得：，
所以函数的单调递增区间为.
【小问3详解】
由（2）可知：在单调递增，值域为.
令，则.
要使方程在内有两个不同的解，
只需在上有两个解，
即函数与函数的图像有两个交点.
如图示：
只需.
所以实数m的取值范围为
21. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中k为工厂工人的复工率().A公司生产t万件防护服还需投入成本(万元).
（1）将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
（2）对任意的(万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01).
【答案】（1），；（2）工人的复工率达到0.65时，公司不亏损.
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可；
（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到在x∈[0，10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．
【详解】（1）依题意，，；
（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，则在恒成立，
∴，，，
设在上递增，∴，∴.
即当工人的复工率达到0.65时，公司不亏损.
【点睛】本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
22. 已知函数为定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）（i）证明：为单调递增函数；
（ii），若不等式恒成立，求非零实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）方法一：通过奇函数的性质求出再验证其为奇函数即可；
方法二：利用奇函数的定义求出即可；
（2）（i）利用函数单调性的定义进行证明即可；
（ii）方法一：将原不等式进行换元与化简，转化为对恒成立，结合一元二次不等式恒成立的求解方法进行计算即可；
方法二：将原不等式进行换元与化简，转化为对恒成立，进而参变分离转化为求函数最值问题即可.
【小问1详解】
方法一：
为定义在上的奇函数，
，即，
，
，显然有
为奇函数符合题意，
实数的值为1.
方法二：
为定义在上的奇函数，
，
，此时为奇函数，符合题设
【小问2详解】
（i）任取实数，且，
则
，
，
又
，即，
为单调递增函数.
（ii），
令，则，且，
只需不等式恒成立，
即不等式恒成立，
，
为单调递增函数，
，即，
方法一：
不等式（*）即，
欲使不等式成立，则，
解得实数的取值范围为.
方法二：
①若，欲使不等式（*）成立，可为任意非零实数；
②若，则不等式等价于，
欲使恒成立，只需即可，，
综上所述，实数的取值范围为
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．