45，江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期末模拟数学试卷

这是一份45，江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期末模拟数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求.
1. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的( )
A. 既不充分也不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.充分不必要条件
2. 已知等比数列单调递增，且成等差数列，则当取最小值时，集合中的元素之和为（ ）
A．36B．42C．54D．61
3.在△ABC中，，且△ABC的面积为1，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
4. 已知m，n为两个相互垂直的单位向量，，则2m+n+m+4p+23m+2n-p的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5. 图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径(器物圆口的直径)抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面(抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线(x轴)距离为125m，则点到该抛物线焦点F的距离为( )
A.275mB.225mC.330mD.380m
6.设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C.D.
7.已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2B．函数关于直线对称
C．函数关于点中心对称D．
8.已知0＜α＜β＜2π，函数f(x)＝5sin，若f(α)＝f(β)＝1，则cs(β－α)＝( )
A.B.C.－D.－
二、多选题
9.设数列前项和为，满足，且，则下列选项正确的是（ ）
A．an=-2n-21
B．数列为等差数列
C．当时有最大值
D．设，则当或时数列的前项和取最大值
10. 已知实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
11. 如图，长方体中，，点是半圆弧A1D1上的动点（不包括端点），点是半圆弧BC上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若与平面所成的角为，则
C．的最小值为
D．若三棱锥的外接球表面积为，则
12. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13.若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为 .
14. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ．
15.在△ABC中，，且△ABC的面积为1，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16.已知和是两个等差数列，且是常值，若，则的通项公式为 ．
四、解答题
17. 已知不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合B={x│x2-mx-3<0}
（1）求集合A；
（2）若___________，求实数m的取值范围．
在 eq \\ac(○,1)AUB=B eq \\ac(○,2)”X∈A”是”X∈B”的充分条件； eq \\ac(○,3)X∈”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分
18. 已知∆ABC中,角A, B,C所对的边分别是a,b,c，向量m=(b+a+c,3b)，n=(3c,b-a +c)且m∕∕n
(1)若tanB=23，求A及tanC的值:
(2)若△ABC为锐角三角形，且a=3，求△ABC周长的取值范围.
19. 如图，平面五边形中，△是边长为2的等边三角形，，，，将△沿翻折，使点翻折到点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
20.为了解某市区高中学生阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
21. 如图，A，B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点，AB=5，直线AB的斜率为-12，M是椭圆C长轴上的一个动点，设点Mm,0.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l：x=-2y+m与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于C，D.证明：△OCM的面积等于的面积.
（3）在（2）的条件下证明：CM2+MD2为定值
22. 已知函数.
（Ⅰ）若当时，，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：.
参考答案
1 D 2 D 3 C 4B 5 B 6A 7C 8 C 9 BD 10 AD 11 BCD 12 ACD
13. 14. 15. 16.
17. 解：（1）当时，成立
当时，解得
则，
故集合
选则有,即在恒成立，
令，则
解得
所以的取值范围为
（选答案也一样）
18. (1)因为m//n，所以(b+c+a) (b+c-a) -3bc=0, 所以(b+c) 2-a22=3bc,所以b2+c2-a2 =bc,
所以2bccs.4=bc.所以csA=12
因为0<4<π,所以A=π3
所以tanC=- tan(A+ B)=-tanA+tanB1-tanAtanB =353
(2)由正弦定理得bsinB=CsinC=332=23
所以b= 23sinB, c=23sinC=233sin (B+π3),
所以三角形的周长为3+b+c=3+ 23sinB+23sin (B+π3)=3+6(.sinB+π6)
因为0所以三角形的周长的取值范围为(6, 9].
19. 在平面图形中取中点，连接，，
∵△是边长为2的等边三角形，
∴，，故翻折后有，
又，则，，，
所以△△，即，则，
由，、平面，故平面，
∵，则，
∴平面，又平面，
∴．
【小问2详解】
在面内作，交于，由平面，平面，
所以，故两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由（1）得，四边形为矩形，
在△中，，由余弦定理得，故，
所以这里是隐藏文字：这里是隐藏文字： eyurp :uId: eyurp ，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，令，则，
设直线与平面所成角为，则．
20.
由可得．
【2解】
由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
∴10人中，周平均阅读时间在的人数为人，在的人数为人，在的人数为人.
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
∴，，
，.
∴X的分布列为：
∴数学期望．
【3解】
用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率，
设周平均阅读时间在内的学生有名，则
，
所以．
令，解得，
所以当或，最大．
所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名．
21. （1）∵､是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为，
由，，得，
又，解得，，
∴椭圆的方程为；
（2）证明：直线l的方程为，即，将其代入，
消去，整理得.
设，.
∴，.
记的面积是，的面积是.
由题意，，
∵，
∴，
∵，.
∴的面积等于的面积；
（3）证明：由（2）知，，，，
∴，
，
，
22. （Ⅰ）由题可知
令，其图象的对称轴为直线.
当即时，在单调递增，
又，
所以当时，恒成立，从而恒成立，
所以在单调递增，
又，所以恒成立.
当即时，在单调递减，在单调递增，又，
所以当时，恒成立，从而恒成立，在单调递减，
又，所以当时，，与已知矛盾，舍去.
综上所述，的取值范围为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，，
从而，
于是.X
0
1
2
3
P