广东省广东实验中学2022-2023学年高三下学期第三次阶段考试数学试题

这是一份广东省广东实验中学2022-2023学年高三下学期第三次阶段考试数学试题，共15页。试卷主要包含了下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。

本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
第一部分选择题（共60分）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
2．若复数z满足,则z=( )
A． B． C．D．
3．经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为( )
A． 2 B． C．1 D．
4．设,且,且…等于( )
A． B． C． D．
5．以等边三角形ABC为底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球，并且正三棱锥P-ABC的侧面与底面ABC所成的角为45°，记正三棱锥P - ABC和正三棱锥Q-ABC的体积分别为V1和V2，则( )
A．1 B． C．D．
6．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度小于等于0.1mg/m3为安全范围，已知某新建文化娱乐场所施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为6.25mg/m3，3周后室内甲醛浓度为1 mg/m3，且室内甲醛浓度p(t)（单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式,则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为( )
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
7．设函数,,若函数g(x)在区间(-1,1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
8．己知均为锐角，且，则tana的最大值是( )
A．B．C．2D．4
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列结论正确的有( )
A．某班有40名学生，从中随机抽取10名去参加某项活动，则每4人中必有一人被抽中
B．己知，，，则
C．设随机变量服从正态分布N(1，4)，且，则
D．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数为3，90%分位数为9.5
10．如图，在棱长为2的正方体中，分别是
的中点，则( )
A．M，N，B，D1四点共面
B．异面直线PD1与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D．三棱锥P- MNB的体积为
11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是( )
A．为定值
B．的取值范围是
C．当时，为定值
D．时，的最大值为12
12．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数,存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：
若满足,则称为的次不动点.下列说法正确的是( )
A．定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
B．定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点
C．当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点
D．满足函数在区间上存在不动点的正整数a不存在
第二部分 非选择题(90分)
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．在的展开式中，的系数为 ．
14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
15．已知双曲线，若过点(2，2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e的取值范围为____．
16．某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃
栽植鲜花，该圆环区域被等分为n个部分（n≥4），每个
部分从红，黄，蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，
要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，将总的栽植方案数
用an表示，则a4=____，an=____．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知数列中，对任意的,都有
(1)若为等差数列，求的通项公式；
(2)若，求的通项公式．
18．（本小题12分）
如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为，边界的中间部分为长l千米的直线段CD，且.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧
(1)求曲线段FGBC的函数表达式；
(2)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区
OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径
OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且,求
平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值.
19．（本小题12分）
已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O 的位置，并证明直线平面EMC
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC
所成的角为60°;若存在，指出点M的位置，
若不存在，说明理由．
20．（本小题12分）
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与
人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，
一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，
假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
填写下面的2×2列联表，并根据列联表及
的独立性检验，判断能否认为注射疫
苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．
（单位：只）
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．
(i)用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
(ii)以(i)中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n．
参考公式：（其中n=a+b+c+d为样本容量）
21．（本小题12分）
已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合．
(1)求抛物线C和圆M的方程；
(2)设为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，且证明：点P在一条定曲线上．
22．（本小题12分）
已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
数学参考答案
一、单选1．C 2．A 3．A 4．D 5．D 6．B7．C 8．B
二、多选9．BCD 10．BCD 11．ACD 12．BC
三、填空13．-36014．15．16．18，
四、解答
17．解：方法一：(1)由条件，可得：， ……1分
因为为等差数列，设公差为d，由上式可得： ……3分
的通项公式为 ……5分
方法二：因为为等差数列，设，则
……1分
又，所以，，解得 ……3分
的通项公式为 ……5分
(2)由条件，可得：
两式相减得： ……7分
因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；
……8分
偶数项是首项为1公差为4的等差数列． ……9分
综上： ……10分
18．解：(1)由己知条件，得A=2，……1分 又，
……2分
又当时，有，且 ……3分
曲线段FGBC的解析式为，……5分（没有定义域扣1分）
(2)如图，, ……6分
作轴于P1点，在中：
在中，
……8分
……9分
……11分
当时，即时，平行四边形面积有最大值为（平方千米） ……l2分
19．解：(1)直线平面ABFE，故点O在平面ABFE
内也在平面ADE内，点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，延长FM交EA的延长线于O，……1分
,M为AB的中点，
,,所以点O在EA的延长线上，
且AO=2，……2分
连接DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形,
是FD的中点，连接MN，因为MN为△DOF
的中位线， ……3分
又平面EMC，平面EMC ……3分
直线平面EMC．……5分
(2)由己知可得，,
为二面角,D-EF-A的平面角,,平面ADE，又EF平面ABFE，
平面ABFE平面ADE.
作于H，则平面AEFB，易得H为AE中点 ……6分
以H为坐标原点，以HA，HD所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,,,,所以,
设,则
设平面EMC的法向量，则
取y=﹣2，则，，所以 ……8分
与平面EMC所成的角为60°，
……10分
，得或，
即M为线段AB的三等分点． ……11分
存在线段AB的三等分点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°． ……12分
20．解：(1)由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有0.0025×20×200=10(只)；在内有 0.00625×20×200 = 25(只)；
在内有 0.00875 ×20×200 = 35(只)；在内有 0.025×20×200 = 100(只)
在内有0.0075×20×200=30（只）．
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只 ……2分
零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．
根据列联表中数据，得 ……4分
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05……5分
(2)(i)令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”
记事件A，B，C发生的概率分别为
则，……6分
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率……8分
(ii)由题意，知随机变量，
因为最大，所以 ……9分
解得……11分
是整数，所以或
接受接种试验的人数为109或110．……12分
21．解：(1)由题设得……1分抛物线C的方程为……2分
因此，抛物线的焦点为，即圆M的圆心为M
由圆M与y轴相切，所以圆M半径为1，所以圆M的方程为 ……4分
(2)证明：由于,每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则
故设过点P且与圆M相切的切线方程为,即
依题意得……5分
整理得①；……6分
设直线PA，PQ的斜率分别为，则是方程①的两个实根，
故，②，……7分
由，得③
因为点，
则④，⑤，……9分
由②，④，⑤三式得
……1 0分
即，
则即
所以点P在圆……l 2分
22．解：(1)由题意的定义域为，又……1分
当a<0时，因为x>0，所以，故在上单调递减；……2分
当a>0时，令，解得：
当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，……3分
综上所述，当a<0时，函数的单调递减区间为
当a>0时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为……4分
(2)
……6分
设，其中，则
设则
当时，，且等号不同时成立，则恒成立；……7分
当时，，则恒成立，则在上单调递增，
又因为，，所以，存在使得
当时，；当时，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且 ……9分
作出函数的图象如下图所示：
由(1)中函数的单调性可知，
①当a<0时，在上单调递减，
当，，当时，
所以，，此时不合乎题意；……10分
②当a>0时，,且当时，
此时函数的值域为，即
(i)当时，即当时，恒成立，合乎题意；……11分
(ii)当时，即当时，取，结合图象可知
，不合乎题意.综上所述，实数a的取值范围是……l2分
● 部分选填解析
6．解：由题意可知，,,
，因为，所以解得
设该文化娱乐场所竣工后放置t0周后甲醛浓度达到安企开放标准，
则
整理得，设因为
所以，即，则，即，至少需要放置的时间为6周．
7．解：令，则
令，即，故
，作出函数的图象如图所示：
函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数，直线过定点
当直线过点时，，
当直线与曲线相切时，
设切点坐标为，由，故切线的斜率为
所以，解得，则，解得
结合图象可知，当或时，函数的图象与直线只有一个交点，即函数在区间上有且仅有一个零点，所以实数m的取值范围是
8．解：均为锐角，，
，由均为锐角，得
当且仅当时等号成立．
10．解：对于A，易知MN与BD1为异面直线，所以M，N，B，D1不可能四点共面，故A错误；对于B，连接CD1，CP，易得，所以为异面直线PD1与MN所成角，则,
所以异面直线与MN所成角的余弦值为,故B正确.
对于C，连接，易得,所以平面BMN截正方体所得，
截面为梯形故C正确；
对于D，易得,因为平面MNB，平面MNB，所以平面MNB，
所以故D正确．
11．解：如图，设直线PO与圆O于E，F．则
故A正确．
取AC的中点为M，连接OM，
则
,而
故的取值范围是故B错误；
当时,
,故C正确．
当时，圆O半径取AC中点为M，BD中点为N，则
最后等号成立是因为,不等式等号成立当且仅当,故D正确．
12．解：对于选项A:取函数，0既是的不动点，又是
的次不动点，故选项A错；对于选项B，定义在R上的奇函数满足
故选项B正确；
对于选项C:当时，即
令，，在区间单调递增，
在单调递增，
满足有唯一解，则
当时，，即
令，在区间单调递增，在
单调递增，满足有唯一解，则，于是
故选项C正确；对于选项D:
函数在区间上存在不动点，则在上有解，
则在上有解，令，则
再令，则，解得
在上单调递减，在上单调递增，
在上恒成立，所以在上单调递增，
，
实数a满足（e为自然对数的底数），正整数,故选项D错误
15．解：过(2，2)能作两条切线说明该点在双曲线外部，故，故
，又点不在该双曲线渐近线上，故，即
综上，
16．解：①当n=4时，第1区域有3种选择，第2区域有2种选择，
第4区域要与第1区域颜色不同，故对第3区域的选择分类讨论：
当第3区域与第1区域颜色相同时，第4区域有2种选择；
当第3区域与第1区域颜色不同时，第4区域仅有1种选择，
②当将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色时，第1区域有3种染色方案，
第2区域至第n－1区域有2种染色方案，此时考虑第n区域也有2种涂色方案，在此情况下有两种情况：
情况一：第n区域与第1区域同色，此时相当于将这两区域重合，这时问题转化为用3种不同颜色给圆上n－1个区域涂色，且相邻区域颜色互异，即为种染色方案；
情况二：第n区域与第1区域不同色，此时问题就转化为用3种不同颜色给圆上n个区域染色，且相邻区域颜色互异，即此时的情况就是an，
根据分类原理可知,且满足初始条件：
即递推公式为，，变形得
数列是以－1为公比的等比数列，
即，故答案为：18,；
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200