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北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第11讲提公因式与公式法因式分解（原卷版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第11讲提公因式与公式法因式分解（原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了 把下列各式因式分解， 证明等内容，欢迎下载使用。
了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；
2. 会用提公因式法、运用公式法分解因式。
知识精讲
知识点01 因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
【知识拓展1】（2023秋•莱阳市期末）若4a4﹣（b﹣c）2分解因式时有一个因式是2a2+b﹣c，则另一个因式是（ ）
A．2a2﹣b+cB．2a2﹣b﹣cC．2a2+b﹣cD．2a2+b+c
【知识拓展2】（2022•沙坪坝区校级开学）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）B．2xy2＝2x•y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1D．x2+2x+2＝x（x+2）+2
知识点02 公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
【知识拓展1】（2023秋•巴彦县期末）多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ）
A．abcB．4ab2C．ab2D．4ab2c
【知识拓展2】（2023秋•广饶县期中）n为正整数，若2an﹣1﹣4an+1的公因式是M，则M等于（ ）
A．an﹣1B．2anC．2an﹣1D．2an+1
【即学即练1】（2023秋•莱阳市期末）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是 ．
【即学即练2】（2019春•邢台期末）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
知识点03 因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
【知识拓展1】（2023秋•淮阳区期末）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．x2+xy+x＝x（x+y）
【即学即练1】（2023秋•兴城市期末）多项式m2﹣4m分解因式的结果是（ ）
A．m（m﹣4）B．（m+2）（m﹣2）
C．m（m+2）（m﹣2）D．（m﹣2）2
【即学即练2】（2023秋•番禺区期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 ．
【即学即练3】（2023秋•启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ．
【知识拓展2】（2023秋•讷河市期末）因式分解：m（a﹣3）+2（3﹣a）．
【即学即练1】．（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式．
（1）﹣2a+32ab2； （2）x（y2+9）﹣6xy．
【即学即练2】（2023秋•梅里斯区期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4； （2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
知识点04因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
【知识拓展1】 （2023秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．
【即学即练1】（2023秋•博兴县期末）分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2； （2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．
【即学即练2】（2023秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．
【即学即练3】（2022•德城区校级开学）把下列各式分解因式：
（1）16﹣x4； （2）4x（y﹣x）﹣y2．
【知识拓展2】（2023秋•虹口区校级期末）已知，求ab．
【知识拓展3】（2023秋•虎林市校级期末）
（1）20032﹣1999×2001（公式法）； （2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2（分解因式）．
知识点05提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
【知识拓展1】 （2023秋•大余县期末）因式分解：
（1）a3b﹣ab3； （2）2a3+12a2+18a．
【即学即练1】（2023秋•鱼台县期末）分解因式：
（1）a3﹣2a2b+ab2． （2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【即学即练2】（2023秋•西平县期末）分解因式：
（1）a3﹣10a2b+25ab2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
能力拓展
例1. 把下列各式因式分解
（1） （2）
例2. 把下列各式因式分解
（1） （2）
例3. 已知多项式有一个因式是，求的值。
例4. 证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋•丰泽区校级期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）
A．mB．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x）D．（a﹣x）（b﹣x）
2．（2023秋•石狮市期末）下列多项式能用“两数和（差）的平方公式”进行因式分解的是（ ）
A．x2+y2B．x2﹣x+1C．x2+2x﹣1D．4x2﹣4x+1
3．（2023秋•临高县期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3
C．x2+6x﹣9＝（x﹣3）2D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3）
4．（2023春•昌图县期末）多项式2xy﹣4x2y+4xy2﹣8x2y2中，各项的公因式是（ ）
A．2xyB．2x2yC．2xy2D．2x2y2
5．（2023秋•鱼台县期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a+4＝2（a+2）
B．（a﹣b） m＝am﹣bm
C．x（x﹣y）+y（ x﹣y）＝（x﹣y）2
D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
6．（2023秋•龙岩期末）已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2﹣9，乙与丙相乘的积为x2﹣3x，则甲与丙相乘的积为（ ）
A．3x+3B．x2+3xC．3x﹣3D．x2﹣3x
二．填空题（共6小题）
7．（2023秋•越秀区期末）分解因式：2abc+4a2b＝ ．
8．（2023秋•建华区期末）若x2y+xy2＝30，xy＝6，则x﹣y的值为 ．
9．（2023秋•庆阳期末）分解因式：16x2+24x+9＝ ．
10．（2023秋•道里区期末）把多项式a3﹣9ab2分解因式的结果是 ．
11．（2023秋•九台区期末）下列因式分解正确的是 ．（填序号）
①x2﹣2x＝x（x﹣2）； ②x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1；
③x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）； ④4x2+4x+1＝（2x+1）2．
12．（2023秋•阳新县期末）分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝ ．
三．解答题（共10小题）
13．（2023秋•龙凤区期末）因式分解：（x2+9）2﹣36x2．
14．（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式．
（1）﹣2a+32ab2； （2）x（y2+9）﹣6xy．
15．（2023秋•云阳县期末）因式分解：
（1）a3﹣64a； （2）2a2b+16ab+32b．
16．（2023秋•铁西区期末）因式分解：xy3﹣6y2+9xy．
17．（2023秋•思明区校级期中）因式分解：
（1）8m2n+2mn； （2）2a2x2+4a2xy+2a2y2．
18．（2023秋•富裕县期末）因式分解：．
19．（2023秋•岚皋县期末）分解因式：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．
20．（2023秋•兴城市期末）因式分解：x2（m﹣n）+25（n﹣m）．
21．（2023秋•温岭市期末）计算：
（1）用简便方法计算：1012﹣992； （2）因式分解：2a2+12ab+18b2．
22．（2023秋•南召县期末）下面是某同学对多项式（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4进行因式分解的过程．
解：设a2﹣4a＝b
原式＝（b+2）（b+6）+4（第一步）
＝b2+8b+16（第二步）
＝（b+4）2（第三步）
＝（a2﹣4a+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提取公因式 B．两数和乘以两数差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解．
题组B 能力提升练
一．解答题（共14小题）
1．（2023秋•莱西市期中）问题提出：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6．
问题探究：
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6．
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
（1）1+a+a（1+a）
＝（1+a）+a（1+a）
＝（1+a）（1+a）
＝（1+a）2
（2）由（1）知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，
1+a+a（1+a）+a（1+a）2
＝（1+a）2+a（1+a）2
＝（1+a）2（1+a）
＝（1+a）3
（3）仿照（2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；
（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝ ；
发现规律：
1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝ ；
问题解决：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝ （结果用乘方表示）．
2．（2020秋•铜官区期末）分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
3．（2018秋•嘉定区期中）因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．
4．（2017春•平阴县校级期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是 ．
5．（2023春•灵石县期末）有四个式子：4a2，（x+y）2，x+y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果．
（1）利用提公因式法．
（2）利用公式法．
6．（2023•市南区校级开学）因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
7．（2023春•高明区校级期末）分解因式：x2﹣120x+3456
分析：由于常数项数值较大，则采用x2﹣120x变为差的平方形式进行分解：
x2﹣120x+3456＝x2﹣2×60x+3600﹣3600+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）
请按照上面的方法分解因式：x2+86x﹣651．
8．（2019春•邵阳县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求x2﹣6xy+9y2的值．
9．（2020秋•饶平县校级期末）因式分解：
（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）4ax2﹣48ax+128a；
（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2
10．（2019秋•天河区期末）先阅读下列材料：
分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1．
解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将M还原，得原式＝（a+b﹣1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，请你仿照上面的方法解答下列问题：
（1）分解因式：（a2+2a+2）（a2+2a）+1．
（2）化简：．
11．（2018秋•驻马店期中）认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3；
（3）猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是 ．
12．（2020春•郏县期末）阅读理解
我们知道：多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：
a2+6a+8＝（a+3）2﹣1＝（a+2）（a+4）．
请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣27；（2）a2+3a﹣28；（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n．
13．（2017秋•金乡县期末）阅读材料：把代数式x2﹣6x﹣7因式分解，可以如下分解：
x2﹣6x﹣7
＝x2﹣6x+9﹣9﹣7
＝（x﹣3）2﹣16
＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）
＝（x+1）（x﹣7）
（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解；
（2）拓展：把代数式x2+2xy﹣3y2因式分解：
当＝ 时，代数式x2+2xy﹣3y2＝0．
14．（2020秋•饶平县校级月考）
（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2； （2）m4﹣16n4；
（3）（x+y）2+10（x+y）+25； （4）2x2+2x+
（5）﹣12xy+x2+36y2 （6）（a2+b2）2﹣4a2b2．
题组C 培优拔尖练
一．解答题（共8小题）
1．（2016秋•松北区期末）已知：x、y满足：（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41；求x3y+xy3的值．
2．（2013春•赫章县校级月考）分解因式：3a2b﹣6ab2．
3．分解因式：
（1）x（x﹣y）+y（y﹣x）； （2）．
4．（2023•罗湖区校级模拟）请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”，请你依照苏菲•姬曼的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
5．（2017春•兴化市期中）（1）已知x＝﹣5，y＝﹣，求x2•x2n•（yn）2（n为正整数）的值；
（2）观察下列各式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性．
6．（2017秋•祁东县校级期中）因式分解．
（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y） （2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）
（3）．
7．（2015春•雅安校级期中）已知：（2x﹣y﹣1）2+＝0，
（1）求的值；
（2）求4x3y﹣4x2y2+xy3的值．
8．（2014秋•白城校级期中）已知：a+b＝3，ab＝4，计算a3b+2a2b2+ab3．
第11讲提公因式与公式法因式分解
目标导航
了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；
2. 会用提公因式法、运用公式法分解因式。
知识精讲
知识点01 因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
【知识拓展1】（2023秋•莱阳市期末）若4a4﹣（b﹣c）2分解因式时有一个因式是2a2+b﹣c，则另一个因式是（ ）
A．2a2﹣b+cB．2a2﹣b﹣cC．2a2+b﹣cD．2a2+b+c
【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．
【解答】解：4a4﹣（b﹣c）2＝（2a2）2﹣（b﹣c）2＝（2a2+b﹣c）（2a2﹣b+c），
故选：A．
【点评】本题考查了公式法分解因式，是平方差的形式，所以考虑利用平方差公式分解因式．
【知识拓展2】（2022•沙坪坝区校级开学）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）B．2xy2＝2x•y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1D．x2+2x+2＝x（x+2）+2
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、2xy2＝2x•y不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、x2+2x+2＝x（x+2）+2右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
知识点02 公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
【知识拓展1】（2023秋•巴彦县期末）多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ）
A．abcB．4ab2C．ab2D．4ab2c
【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案．
【解答】解：多项式8a3b2+12ab3c的公因式是：4ab2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了公因式，正确把握定义是解题关键．
【知识拓展2】（2023秋•广饶县期中）n为正整数，若2an﹣1﹣4an+1的公因式是M，则M等于（ ）
A．an﹣1B．2anC．2an﹣1D．2an+1
【分析】根据多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式，可得答案．
【解答】解：因为2an﹣1﹣4an+1＝2an﹣1（1﹣2a2），
所以2an﹣1﹣4an+1的公因式是2an﹣1，即M＝2an﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
【即学即练1】（2023秋•莱阳市期末）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是 3x2y2 ．
【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式的即可．
【解答】解：∵3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3＝3x2y2（1﹣4y2﹣2xy）
∴3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2．
【点评】本题考查公因式，掌握公因式的确定方法是解决问题的关键．
【即学即练2】（2019春•邢台期末）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
【分析】分别将多项式A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【解答】解：多项式A、B、C有公因式．
∵A＝3x2﹣12＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2），
B＝5x2y3+10xy3＝5xy3（x+2），
C＝（x+1）（x+3）+1＝x2+4x+3+1＝x2+4x+4＝（x+2）2．
∴多项式A、B、C的公因式是：x+2．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
知识点03 因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
【知识拓展1】（2023秋•淮阳区期末）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．x2+xy+x＝x（x+y）
【分析】直接分别找出各选项内的公因式，进而提取公因式分解因式即可．
【解答】解：A．x2﹣1＝（x﹣1）（x+1），故此选项不合题意；
B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣y）＝（x﹣y）2，故此选项符合题意；
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项不合题意；
D．x2+xy+x＝x（x+y+1），故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•兴城市期末）多项式m2﹣4m分解因式的结果是（ ）
A．m（m﹣4）B．（m+2）（m﹣2）
C．m（m+2）（m﹣2）D．（m﹣2）2
【分析】利用提公因式法分解即可．
【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4），
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
【即学即练2】（2023秋•番禺区期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 10 ．
【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y＝10，xy＝1即可求解．
【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝1×10
＝10．
【点评】此题考查了代数式求值，因式分解﹣提公因式法．注意整体思想在解题中的应用．
【即学即练3】（2023秋•启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ （y﹣z）（2a+3b） ．
【分析】利用提公因式法分解即可．
【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
【知识拓展2】（2023秋•讷河市期末）因式分解：m（a﹣3）+2（3﹣a）．
【分析】利用提公因式法进行分解即可．
【解答】解：m（a﹣3）+2（3﹣a）
＝m（a﹣3）﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（m﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
【即学即练1】．（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式．
（1）﹣2a+32ab2；
（2）x（y2+9）﹣6xy．
【分析】（1）直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式，进而得出答案；
（2）直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2a（16b2﹣1）
＝2a（4b+1）（4b﹣1）；
（2）原式＝x（y2﹣6y+9）
＝x（y﹣3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
【即学即练2】（2023秋•梅里斯区期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先利用相反数把（b﹣a）转化为（a﹣b），再提取公因式．
【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2；
（2）原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）
＝3（a﹣b）（x+2y）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的方法是解决本题的关键．
知识点04因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
【知识拓展1】 （2023秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．
【分析】先去括号，然后再合并同类项，最后对化简后的式子进行分解即可解答．
【解答】解：（a+2b）（a+4b）+b2
＝a2+6ab+8b2+b2
＝a2+6ab+9b2
＝（a+3b）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【即学即练1】（2023秋•博兴县期末）分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．
【分析】（1）利用平方差公式分解即可；
（2）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]
＝（5x+5）（x﹣9）
＝5（x+1）（x﹣9）；
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9
＝[（x2+2）﹣3]2
＝[（x+1）（x﹣1）]2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，一定要注意把多项式的每一项分解到不能再分解为止．
【即学即练2】（2023秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．
【分析】先对多项式进行化简整理，然后再运用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（a+2）（a+4）+1
＝a2+6a+9
＝（a+3）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，先对多项式进行化简整理是解题的关键．
【即学即练3】（2022•德城区校级开学）把下列各式分解因式：
（1）16﹣x4；
（2）4x（y﹣x）﹣y2．
【分析】（1）逆用平方差公式进行因式分解．
（2）先变形，再逆用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：（1）16﹣x4
＝（4+x2）（4﹣x2）
＝（4+x2）（2+x）（2﹣x）．
（2）4x（y﹣x）﹣y2
＝4xy﹣4x2﹣y2
＝﹣（﹣4xy+4x2+y2）
＝﹣（2x﹣y）2．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．
【知识拓展2】（2023秋•虹口区校级期末）已知，求ab．
【分析】利用完全平方公式求得（a+b）2，（a﹣b）2的值，再将两式相减后变形代入计算可求解．
【解答】解：，
，
所以：．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，利用完全平方公式求解（a+b）2，（a﹣b）2的值是解题的关键．
【知识拓展3】（2023秋•虎林市校级期末）（1）20032﹣1999×2001（公式法）；
（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2（分解因式）．
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式，平方差公式化简即可得到结果；
（2）利用平方差公式分解因式后化简可求解．
【解答】解：（1）20032﹣1999×2001
＝（2000+3）2﹣（2000﹣1）（2000+1）
＝20002+2×2000×3+9﹣（20002﹣12）
＝20002+2×2000×3+9﹣20002+12
＝12010；
（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
＝[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]
＝（4a﹣4b+3a+3b）（4a﹣4b﹣3a﹣3b）
＝（7a﹣b）（a﹣7b）．
【点评】此题考查了公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
知识点05提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
【知识拓展1】 （2023秋•大余县期末）因式分解：
（1）a3b﹣ab3；
（2）2a3+12a2+18a．
【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
【解答】（1）解：原式＝ab（a²﹣b²）
＝ab（a+b）（a﹣b）；
（2）解：原式＝2a（a²+6a+9）
＝2a（a+3）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•鱼台县期末）分解因式：
（1）a3﹣2a2b+ab2．
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；
【解答】解：（1）a3﹣2a2b+ab2
＝a（a2﹣2ab+b2）
＝a（a﹣b）2；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
【即学即练2】（2023秋•西平县期末）分解因式：
（1）a3﹣10a2b+25ab2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）a3﹣10a2b+25ab2
＝a（a2﹣10ab+25b2）
＝a（a﹣5b）2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
能力拓展
例1. 把下列各式因式分解
（1） （2）
解：（1）
（2）
提公因式要注意：
（1）当第一项的系数为负数时，首先要提出“-”号，多项式的各项都变号
（2）多项式的每一项与公因式做除法，所得的商为这项的余因式
（3）余因式中不能再有公因式，余因式的项数与原多项式的项数相等
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例2. 把下列各式因式分解
（1） （2）
解：（1）
（2）
例3. 已知多项式有一个因式是，求的值。
解：根据已知条件，设
则
由此可得
由（1）得
把代入（2），得
把代入（3），得
例4. 证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
对任意自然数n，和都是10的倍数。
一定是10的倍数
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋•丰泽区校级期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）
A．mB．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x）D．（a﹣x）（b﹣x）
【分析】首先把式子进行变形，可变为m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），进而可得到公因式m（a﹣x）（b﹣x）．
【解答】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），
＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），
＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）
＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），
故选：C．
【点评】此题主要考查了找公因式的方法，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
2．（2023秋•石狮市期末）下列多项式能用“两数和（差）的平方公式”进行因式分解的是（ ）
A．x2+y2B．x2﹣x+1C．x2+2x﹣1D．4x2﹣4x+1
【分析】由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得，4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，据此判断即可．
【解答】解：A．x2+y2不能利用完全平方公式进行分解，故本选项不合题意；
B．x2﹣x+1不能利用完全平方公式进行分解，故本选项不合题意；
C．x2+2x﹣1不能利用完全平方公式进行分解，故本选项不合题意；
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解答本题的关键．
3．（2023秋•临高县期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3
C．x2+6x﹣9＝（x﹣3）2D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：A．是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
B．没把一个多项式转化成几个整式积，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C．因式分解错误，故此选项不符合题意；
D．把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
4．（2023春•昌图县期末）多项式2xy﹣4x2y+4xy2﹣8x2y2中，各项的公因式是（ ）
A．2xyB．2x2yC．2xy2D．2x2y2
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2xy，即可求解．
【解答】解：∵多项式2xy﹣4x2y+4xy2﹣8x2y2系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂是x和y，
∴该多项式的公因式为2xy，
故选：A．
【点评】本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键．
5．（2023秋•鱼台县期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a+4＝2（a+2）
B．（a﹣b） m＝am﹣bm
C．x（x﹣y）+y（ x﹣y）＝（x﹣y）2
D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
【分析】直接利用因式分解的定义进而分别分析得出答案．
【解答】解：A、2a+4＝2（a+2），正确；
B、（a﹣b） m＝am﹣bm，是整式乘法，不是因式分解，故此选项错误；
C、x（x﹣y）+y（ x﹣y）＝（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
D、a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握相关定义是解题关键．
6．（2023秋•龙岩期末）已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2﹣9，乙与丙相乘的积为x2﹣3x，则甲与丙相乘的积为（ ）
A．3x+3B．x2+3xC．3x﹣3D．x2﹣3x
【分析】把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相乘即可．
【解答】解：∵甲与乙相乘的积为x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），乙与丙相乘的积为x2﹣3x＝x（x﹣3），
∴甲为x+3，乙为x﹣3，丙为x，
则甲与丙相乘的积为x（x+3）＝x2+3x，
故选：B．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．（2023秋•越秀区期末）分解因式：2abc+4a2b＝ 2ab（c+2a） ．
【分析】通过提公因式法求解．
【解答】解：2abc+4a2b＝2ab（c+2a）．
故答案为：2ab（c+2a）．
【点评】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握提公因式法因式分解．
8．（2023秋•建华区期末）若x2y+xy2＝30，xy＝6，则x﹣y的值为 1或﹣1 ．
【分析】直接利用已知得出x2+y2的值，再利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案．
【解答】解：∵x2y+xy2＝30，
∴xy（x+y）＝30，
∵xy＝6，
∴x+y＝5，
∴（x+y）2＝25，
∴x2+2xy+y2＝25，
∴x2+y2＝25﹣2×6＝13，
∴x2+y2﹣2xy＝13﹣12＝1，
∴（x﹣y）2＝1，
∴x﹣y的值为1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及代数式求值，正确利用完全平方公式计算是解题关键．
9．（2023秋•庆阳期末）分解因式：16x2+24x+9＝ （4x+3）2 ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：16x2+24x+9
＝（4x+3）2．
故答案为：（4x+3）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
10．（2023秋•道里区期末）把多项式a3﹣9ab2分解因式的结果是 a（a+3b）（a﹣3b） ．
【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣9ab2
＝a（a2﹣9b2）
＝a（a+3b）（a﹣3b）．
故答案为：a（a+3b）（a﹣3b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
11．（2023秋•九台区期末）下列因式分解正确的是 ①④ ．（填序号）
①x2﹣2x＝x（x﹣2）；
②x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1；
③x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）；
④4x2+4x+1＝（2x+1）2．
【分析】①利用提公因式法分解因式即可；②根据因式分解的概念判断即可；③根据平方差公式判断即可；④利用完全平方公式判断即可．
【解答】解：①x2﹣2x＝x（x﹣2），正确；
②x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1，不正确；
③x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），不正确；
④4x2+4x+1＝（2x+1）2，正确．
故答案为：①④．
【点评】此题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解决此题关键．
12．（2023秋•阳新县期末）分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝ ﹣y（x﹣3）2 ．
【分析】先提公因式﹣y，再应用完全平方公式．
【解答】解：原式＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2．
故答案为：﹣y（x﹣3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
三．解答题（共10小题）
13．（2023秋•龙凤区期末）因式分解：（x2+9）2﹣36x2．
【分析】首先利用平方差公式进行分解，再次利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）＝（x+3）2（x﹣3）2．
【点评】此题主要考查了因式分解，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
14．（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式．
（1）﹣2a+32ab2；
（2）x（y2+9）﹣6xy．
【分析】（1）直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式，进而得出答案；
（2）直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2a（16b2﹣1）
＝2a（4b+1）（4b﹣1）；
（2）原式＝x（y2﹣6y+9）
＝x（y﹣3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
15．（2023秋•云阳县期末）因式分解：
（1）a3﹣64a；
（2）2a2b+16ab+32b．
【分析】（1）直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣64）
＝a（a+8）（a﹣8）；
（2）原式＝2b（a2+8a+16）
＝2b（a+4）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
16．（2023秋•铁西区期末）因式分解：xy3﹣6y2+9xy．
【分析】原式提取公因式分解即可．
【解答】解：原式＝y（xy2﹣6y+9x）．
【点评】此题考查了分解因式﹣提公因式法，熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键．
17．（2023秋•思明区校级期中）因式分解：
（1）8m2n+2mn；
（2）2a2x2+4a2xy+2a2y2．
【分析】（1）用提取公因式法因式分解；
（2）用提取公因式法因式分解，再利用完全平方公式因式分解．
【解答】解：（1）8m2n+2mn
＝2mn（4m+1）；
（2）2a2x2+4a2xy+2a2y2
＝2a2（x2+2xy+y2）
＝2a2（x+y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，掌握提公因式法及完全平方公式是解决本题的关键．
18．（2023秋•富裕县期末）因式分解：．
【分析】用平方差公式分解因式．
【解答】解：原式＝（5+m）（5﹣m）．
【点评】本题主要考查了因式分解，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．
19．（2023秋•岚皋县期末）分解因式：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．
【分析】先逆用平方差公式，再运用提公因式法进行因式分解．
【解答】解：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2
＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）
＝（4a﹣4b）•（﹣2a）
＝﹣8a（a﹣b）．
【点评】本题主要考查运用公式法、提公因式法进行因式分解，熟练掌握公式法、提公因式法是解决本题的关键．
20．（2023秋•兴城市期末）因式分解：x2（m﹣n）+25（n﹣m）．
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：x2（m﹣n）+25（n﹣m）
＝x2（m﹣n）﹣25（m﹣n）
＝（m﹣n）（x2﹣25）
＝（m﹣n）（x+5）（x﹣5）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
21．（2023秋•温岭市期末）计算：
（1）用简便方法计算：1012﹣992；
（2）因式分解：2a2+12ab+18b2．
【分析】（1）利用平方差公式分解进行计算即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：（1）1012﹣992
＝（101+99）×（101﹣99）
＝200×2
＝400；
（2）2a2+12ab+18b2．
＝2（a2+6ab+9b2）
＝2（a+3b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
22．（2023秋•南召县期末）下面是某同学对多项式（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4进行因式分解的过程．
解：设a2﹣4a＝b
原式＝（b+2）（b+6）+4（第一步）
＝b2+8b+16（第二步）
＝（b+4）2（第三步）
＝（a2﹣4a+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A．提取公因式 B．两数和乘以两数差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （a﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解．
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将（a2﹣2a）看作整体进而分解因式即可．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）这个结果没有分解到最后，
原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；
故答案为：不彻底；（a﹣2）4；
（3）设 a2﹣2a＝b，
原式＝（b﹣1）（b+3）+4
＝b2+2b﹣3+4
＝（b+1）2
＝（a2﹣2a+1）2
＝（a﹣1）4．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．
题组B 能力提升练
一．解答题（共14小题）
1．（2023秋•莱西市期中）问题提出：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6．
问题探究：
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6．
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
（1）1+a+a（1+a）
＝（1+a）+a（1+a）
＝（1+a）（1+a）
＝（1+a）2
（2）由（1）知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，
1+a+a（1+a）+a（1+a）2
＝（1+a）2+a（1+a）2
＝（1+a）2（1+a）
＝（1+a）3
（3）仿照（2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；
（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝ （1+a）5 ；
发现规律：
1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝ （1+a）n+1 ；
问题解决：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝ （1+3）7 （结果用乘方表示）．
【分析】（3）通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
（4）通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
发现规律：是根据（2）（3）（4）的结果写出结论；
问题解决：通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式．
【解答】解：（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3
＝（1+a）3+a（1+a）3
＝（1+a）3（1+a）
＝（1+a）4；
（4）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4
＝（1+a）4+a（1+a）4
＝（1+a）4（1+a）
＝（1+a）5；
故答案为：（1+a）5；
发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；
故答案为：（1+a）n+1；
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6
＝（1+3）6（1+3）
＝（1+3）7
＝47．
故答案为：47．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣提公因式法、有理数混合运算、规律型：数字的变化类，掌握这三个知识点的综合应用，将问题“一般化”，发现规律是解题关键．
2．（2020秋•铜官区期末）分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
【分析】直接找出公因式，进而提取公因式得出答案．
【解答】解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]
＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
3．（2018秋•嘉定区期中）因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．
【分析】首先找出各项的公公因式，提取公因式后再合并同类项即可得出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]（2分），
＝（x﹣y）（3x+3y﹣x+y）（3分），
＝（x﹣y）（2x+4y）（4分），
＝2（x﹣y）（x+2y）（5分）．
【点评】此题主要考查了提取公因式因式分解，找出公因式是解决问题的关键．
4．（2017春•平阴县校级期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014，则需应用上述方法 2014 次，结果是 （x+1）2015 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是 （x+1）n+1 ．
【分析】（1）直接利用已知解题方法分析得出答案；
（2）结合（1）中解题方法得出答案；
（3）结合（1）中解题方法得出答案．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次；
故答案为：提公因式法； 2；
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014，
则需应用上述方法2014次，结果是（x+1）2015；
故答案为：2014；（x+1）2015；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n＝（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及数字变换规律，正确得出次数变化规律是解题关键．
5．（2023春•灵石县期末）有四个式子：4a2，（x+y）2，x+y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果．
（1）利用提公因式法．
（2）利用公式法．
【分析】（1）能用提公因式法分解因式的，选取的两项必须有公因式，只能选（x+y）2，x+y，进行加减运算均可；
（2）能用公式法，根据代数式的特点，只能用平方差公式，因此选取两项的平方差．
【解答】解：（1）选取：（x+y）2与（x+y），
（x+y）2﹣（x+y）＝（x+y）（x+y﹣1）；
（2）选取：4a2与9b2，
4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b）．
（答案不唯一：（x+y）2、4a2、9b2任意两项的差均可）
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，理解公因式的意义，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．
6．（2023•市南区校级开学）因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
【分析】首先利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9
＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9
＝（x2﹣1﹣3）2
＝（x﹣2）2（x+2）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
7．（2023春•高明区校级期末）分解因式：x2﹣120x+3456
分析：由于常数项数值较大，则采用x2﹣120x变为差的平方形式进行分解：
x2﹣120x+3456＝x2﹣2×60x+3600﹣3600+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）
请按照上面的方法分解因式：x2+86x﹣651．
【分析】按照原题解题方法，进而借助完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x2+86x﹣651
＝（x+43）2﹣2500
＝（x+43+50）（x+43﹣50）
＝（x+93）（x﹣7）．
【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，熟练利用平方差和完全平方公式是解题关键．
8．（2019春•邵阳县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求x2﹣6xy+9y2的值．
【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵x2+y2﹣4x+6y+13＝（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，即x＝2，y＝﹣3，
则原式＝（x﹣3y）2＝112＝121．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
9．（2020秋•饶平县校级期末）因式分解：
（1）x2y﹣2xy2+y3
（2）4ax2﹣48ax+128a；
（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2
【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式根据十字相乘法分解因式；
（3）先根据平方差公式分解因式，再采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：（1）x2y﹣2xy2+y3
＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2；
（2）4ax2﹣48ax+128a
＝4a（x2﹣12x+32）
＝4a（x﹣4）（x﹣8）；
（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2
＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）
＝（x+4y）2（x﹣4y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10．（2019秋•天河区期末）先阅读下列材料：
分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1．
解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将M还原，得原式＝（a+b﹣1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，请你仿照上面的方法解答下列问题：
（1）分解因式：（a2+2a+2）（a2+2a）+1．
（2）化简：．
【分析】（1）运用“整体思想”设a2+2a＝M，代入原式运用完全平方式进行因式分解即可；
（2）先将原式变形，设n2+3n＝M，代入原式运用完全平方分解因式后，再约分即可．
【解答】解：（1）设a2+2a＝M，
原式＝（M+2）M+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
将M还原得，原式＝（a2+2a+1）2＝（a+1）4；
（2）设n2+3n＝M，
原式＝＝，
将M还原得，原式＝n2+3n+1．
【点评】本题考查了完全平方公式和因式分解，能灵活准确进行运用“整体思想”进行分解因式是解此题的关键．
11．（2018秋•驻马店期中）认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3；
（3）猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是 （1+x）n+1 ．
【分析】（1）直接利用已知解题方法分析得出答案；
（2）结合题干解题方法提取公因式得出答案；
（3）结合（2）中解题方法得出规律求出答案．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法；
故答案为：提公因式法；
（2）方法一：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）（1+x）（1+x）[1+x]
＝（1+x）4；
方法二：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）3+x（1+x）3
＝（1+x）3（1+x）
＝（1+x）4；
（3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是：（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及数字变换规律，正确得出次数变化规律是解题关键．
12．（2020春•郏县期末）阅读理解
我们知道：多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：
a2+6a+8＝（a+3）2﹣1＝（a+2）（a+4）．
请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣27；（2）a2+3a﹣28；（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n．
【分析】根据题目的条件，先将多项式凑成完全平方的形式，再根据实际情况解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣27，
＝x2﹣6x+9﹣36，
＝（x﹣3）2﹣62，
＝（x﹣3﹣6）（x﹣3+6），
＝（x+3）（x﹣9）；
（2）a2+3a﹣28，
＝a2+3a+（）2﹣（）2﹣28，
＝（a+）2﹣，
＝（a+﹣）（a++），
＝（a﹣4）（a+7）；
（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n，
＝x2﹣（2n+1）x+（n+）2﹣（n+）2+n2+n，
＝（x﹣n﹣）2﹣（）2，
＝（x﹣n﹣﹣）（x﹣n+），
＝（x﹣n﹣1）（x﹣n）．
【点评】本题考查了公式法分解因式，是信息给予题，主要渗透配方思想，读懂题目信息是解题的关键．
13．（2017秋•金乡县期末）阅读材料：把代数式x2﹣6x﹣7因式分解，可以如下分解：
x2﹣6x﹣7
＝x2﹣6x+9﹣9﹣7
＝（x﹣3）2﹣16
＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）
＝（x+1）（x﹣7）
（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解；
（2）拓展：把代数式x2+2xy﹣3y2因式分解：
当＝ ﹣3或1 时，代数式x2+2xy﹣3y2＝0．
【分析】（1）模仿例题，利用配方法因式分解即可；
（2）模仿例题，利用配方法因式分解即可；利用因式分解的结果，转化为方程即可解决问题；
【解答】解：（1）x2﹣8x+7
＝x2﹣8x+16﹣16+7
＝（x﹣4）2﹣32
＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）
＝（x﹣1）（x﹣7）
（2）x2+2xy﹣3y2
＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2
＝（x+y）2﹣4y2
＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）
＝（x+3y）（x﹣y），
当＝﹣3或1时，x2+2xy﹣3y2的值为0．
【点评】本题考查因式分解﹣配方法，解题的关键是理解题意，学会由配方法因式分解，属于中考常考题型．
14．（2020秋•饶平县校级月考）（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2；
（2）m4﹣16n4；
（3）（x+y）2+10（x+y）+25；
（4）2x2+2x+
（5）﹣12xy+x2+36y2
（6）（a2+b2）2﹣4a2b2．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式利用完全平方公式分解即可；
（4）令原式为0求出x的值，即可确定出分解结果；
（5）原式利用完全平方公式分解即可；
（6）原式利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2＝[3（m+n）+4（m﹣n）][3（m+n）﹣4（m﹣n）]＝（7m﹣n）（﹣m+7n）；
（2）m4﹣16n4＝（m2+4n2）（m2﹣4n2）＝（m2+4n2）（m+2n）（m﹣2n）；
（3）（x+y）2+10（x+y）+25＝（x+y+5）2；
（4）令2x2+2x+＝0，
解得：x＝，
则原式＝2（x+﹣）（x++）；
（5）﹣12xy+x2+36y2＝（x﹣6y）2；
（6）（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）＝（a+b）2（a﹣b）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
题组C 培优拔尖练
一．解答题（共8小题）
1．（2016秋•松北区期末）已知：x、y满足：（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41；求x3y+xy3的值．
【分析】直接利用已知将原式变形得出x2+y2＝23，xy＝﹣9，进而求出答案．
【解答】解：∵（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝46，
则x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝46，
2（x2+y2）＝46，
故x2+y2＝23，
（x+y）2﹣（x﹣y）2＝﹣36，
则x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝﹣36，
故4xy＝﹣36，
则xy＝﹣9，
x3y+xy3＝xy（x2+y2）
＝﹣9×23
＝﹣207．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确将已知变形是解题关键．
2．（2013春•赫章县校级月考）分解因式：3a2b﹣6ab2．
【分析】直接提公因式3ab即可．
【解答】解：原式＝3ab（a﹣2b）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
3．分解因式：
（1）x（x﹣y）+y（y﹣x）；
（2）．
【分析】（1）把第二项整理为含（x﹣y）的式子，提取公因式（x﹣y），进而整理为完全平方公式即可；
（2）把第二个括号内的式子整理为（x+y）﹣1，进而整理用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）x（x﹣y）+y（y﹣x），
＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y），
＝（x﹣y）（x﹣y），
＝（x﹣y）2；
（2）原式＝（x+y）[（x+y）﹣1]+，
＝（x+y）2﹣（x+y）+，
＝（x+y﹣）2．
【点评】（1）考查了提公因式法分解因式，两个因式互为相反数，公因式应是其中的一个，另一个的系数的符号与原符号相反；（2）考查了利用完全平方公式分解因式，注意运用整体思想与公式法结合进行因式分解．
4．（2023•罗湖区校级模拟）请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”，请你依照苏菲•姬曼的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【分析】这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．
【解答】解：（1）x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，
＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，
＝（x﹣a）2﹣（a+b）2，
＝（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．
【点评】本题考查了添项法因式分解，难度比较大．
5．（2017春•兴化市期中）（1）已知x＝﹣5，y＝﹣，求x2•x2n•（yn）2（n为正整数）的值；
（2）观察下列各式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性．
【分析】（1）代入计算，并运用积的乘方的逆运算得出结论；
（2）发现被减数和减数都是一个数的平方的形式，且两个底数都是奇数，相差2，结论都是8的倍数，根据此规律写出式子：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，并利用平方差公式分解后化简．
【解答】解：（1）原式＝（﹣5）2×（﹣5）2n×（﹣）2n＝25[（﹣5）×（﹣）]2n，
＝25；
（2）规律：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
验证：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝4n×2＝8n．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算及因式分解、积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
6．（2017秋•祁东县校级期中）因式分解．
（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）
（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）
（3）．
【分析】（1）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式；
（2）利用提公因式分解因式；
（3）把分子分母利用因式分解变形，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）
＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；
（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）
＝p（a﹣1）（p﹣1）；
（3）原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：灵活运用公式法．
7．（2015春•雅安校级期中）已知：（2x﹣y﹣1）2+＝0，
（1）求的值；
（2）求4x3y﹣4x2y2+xy3的值．
【分析】先根据平方与二次根式的非负性得出2x﹣y＝1，xy＝2，再利用提公因式法与公式法分解因式代入求值即可．
【解答】解：∵（2x﹣y﹣1）2+＝0，
∴2x﹣y﹣1＝0，xy﹣2＝0
2x﹣y＝1，xy＝2，
（1）y﹣2x＝﹣1，xy＝2，
＝；
（2）4x3y﹣4x2y2+xy3
＝xy（4x2﹣4xy+y2）
＝xy（2x﹣y）2
＝2×12
＝2．
【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法分解因式．本题用到平方与二次根式的非负性．
8．（2014秋•白城校级期中）已知：a+b＝3，ab＝4，计算a3b+2a2b2+ab3．
【分析】直接提取公因式ab，进而利用完全平方公式分解因式，进而将已知代入求出答案．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝4
∴a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝4×32
＝4×9
＝36．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；
2. 会用提公因式法、运用公式法分解因式。
知识精讲
知识点01 因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
【知识拓展1】（2023秋•莱阳市期末）若4a4﹣（b﹣c）2分解因式时有一个因式是2a2+b﹣c，则另一个因式是（ ）
A．2a2﹣b+cB．2a2﹣b﹣cC．2a2+b﹣cD．2a2+b+c
【知识拓展2】（2022•沙坪坝区校级开学）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）B．2xy2＝2x•y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1D．x2+2x+2＝x（x+2）+2
知识点02 公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
【知识拓展1】（2023秋•巴彦县期末）多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ）
A．abcB．4ab2C．ab2D．4ab2c
【知识拓展2】（2023秋•广饶县期中）n为正整数，若2an﹣1﹣4an+1的公因式是M，则M等于（ ）
A．an﹣1B．2anC．2an﹣1D．2an+1
【即学即练1】（2023秋•莱阳市期末）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是 ．
【即学即练2】（2019春•邢台期末）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
知识点03 因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
【知识拓展1】（2023秋•淮阳区期末）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．x2+xy+x＝x（x+y）
【即学即练1】（2023秋•兴城市期末）多项式m2﹣4m分解因式的结果是（ ）
A．m（m﹣4）B．（m+2）（m﹣2）
C．m（m+2）（m﹣2）D．（m﹣2）2
【即学即练2】（2023秋•番禺区期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 ．
【即学即练3】（2023秋•启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ．
【知识拓展2】（2023秋•讷河市期末）因式分解：m（a﹣3）+2（3﹣a）．
【即学即练1】．（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式．
（1）﹣2a+32ab2； （2）x（y2+9）﹣6xy．
【即学即练2】（2023秋•梅里斯区期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4； （2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
知识点04因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
【知识拓展1】 （2023秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．
【即学即练1】（2023秋•博兴县期末）分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2； （2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．
【即学即练2】（2023秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．
【即学即练3】（2022•德城区校级开学）把下列各式分解因式：
（1）16﹣x4； （2）4x（y﹣x）﹣y2．
【知识拓展2】（2023秋•虹口区校级期末）已知，求ab．
【知识拓展3】（2023秋•虎林市校级期末）
（1）20032﹣1999×2001（公式法）； （2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2（分解因式）．
知识点05提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
【知识拓展1】 （2023秋•大余县期末）因式分解：
（1）a3b﹣ab3； （2）2a3+12a2+18a．
【即学即练1】（2023秋•鱼台县期末）分解因式：
（1）a3﹣2a2b+ab2． （2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【即学即练2】（2023秋•西平县期末）分解因式：
（1）a3﹣10a2b+25ab2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
能力拓展
例1. 把下列各式因式分解
（1） （2）
例2. 把下列各式因式分解
（1） （2）
例3. 已知多项式有一个因式是，求的值。
例4. 证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋•丰泽区校级期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）
A．mB．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x）D．（a﹣x）（b﹣x）
2．（2023秋•石狮市期末）下列多项式能用“两数和（差）的平方公式”进行因式分解的是（ ）
A．x2+y2B．x2﹣x+1C．x2+2x﹣1D．4x2﹣4x+1
3．（2023秋•临高县期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3
C．x2+6x﹣9＝（x﹣3）2D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3）
4．（2023春•昌图县期末）多项式2xy﹣4x2y+4xy2﹣8x2y2中，各项的公因式是（ ）
A．2xyB．2x2yC．2xy2D．2x2y2
5．（2023秋•鱼台县期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a+4＝2（a+2）
B．（a﹣b） m＝am﹣bm
C．x（x﹣y）+y（ x﹣y）＝（x﹣y）2
D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
6．（2023秋•龙岩期末）已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2﹣9，乙与丙相乘的积为x2﹣3x，则甲与丙相乘的积为（ ）
A．3x+3B．x2+3xC．3x﹣3D．x2﹣3x
二．填空题（共6小题）
7．（2023秋•越秀区期末）分解因式：2abc+4a2b＝ ．
8．（2023秋•建华区期末）若x2y+xy2＝30，xy＝6，则x﹣y的值为 ．
9．（2023秋•庆阳期末）分解因式：16x2+24x+9＝ ．
10．（2023秋•道里区期末）把多项式a3﹣9ab2分解因式的结果是 ．
11．（2023秋•九台区期末）下列因式分解正确的是 ．（填序号）
①x2﹣2x＝x（x﹣2）； ②x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1；
③x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）； ④4x2+4x+1＝（2x+1）2．
12．（2023秋•阳新县期末）分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝ ．
三．解答题（共10小题）
13．（2023秋•龙凤区期末）因式分解：（x2+9）2﹣36x2．
14．（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式．
（1）﹣2a+32ab2； （2）x（y2+9）﹣6xy．
15．（2023秋•云阳县期末）因式分解：
（1）a3﹣64a； （2）2a2b+16ab+32b．
16．（2023秋•铁西区期末）因式分解：xy3﹣6y2+9xy．
17．（2023秋•思明区校级期中）因式分解：
（1）8m2n+2mn； （2）2a2x2+4a2xy+2a2y2．
18．（2023秋•富裕县期末）因式分解：．
19．（2023秋•岚皋县期末）分解因式：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．
20．（2023秋•兴城市期末）因式分解：x2（m﹣n）+25（n﹣m）．
21．（2023秋•温岭市期末）计算：
（1）用简便方法计算：1012﹣992； （2）因式分解：2a2+12ab+18b2．
22．（2023秋•南召县期末）下面是某同学对多项式（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4进行因式分解的过程．
解：设a2﹣4a＝b
原式＝（b+2）（b+6）+4（第一步）
＝b2+8b+16（第二步）
＝（b+4）2（第三步）
＝（a2﹣4a+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提取公因式 B．两数和乘以两数差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解．
题组B 能力提升练
一．解答题（共14小题）
1．（2023秋•莱西市期中）问题提出：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6．
问题探究：
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6．
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
（1）1+a+a（1+a）
＝（1+a）+a（1+a）
＝（1+a）（1+a）
＝（1+a）2
（2）由（1）知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，
1+a+a（1+a）+a（1+a）2
＝（1+a）2+a（1+a）2
＝（1+a）2（1+a）
＝（1+a）3
（3）仿照（2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；
（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝ ；
发现规律：
1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝ ；
问题解决：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝ （结果用乘方表示）．
2．（2020秋•铜官区期末）分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
3．（2018秋•嘉定区期中）因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．
4．（2017春•平阴县校级期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是 ．
5．（2023春•灵石县期末）有四个式子：4a2，（x+y）2，x+y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果．
（1）利用提公因式法．
（2）利用公式法．
6．（2023•市南区校级开学）因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
7．（2023春•高明区校级期末）分解因式：x2﹣120x+3456
分析：由于常数项数值较大，则采用x2﹣120x变为差的平方形式进行分解：
x2﹣120x+3456＝x2﹣2×60x+3600﹣3600+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）
请按照上面的方法分解因式：x2+86x﹣651．
8．（2019春•邵阳县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求x2﹣6xy+9y2的值．
9．（2020秋•饶平县校级期末）因式分解：
（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）4ax2﹣48ax+128a；
（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2
10．（2019秋•天河区期末）先阅读下列材料：
分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1．
解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将M还原，得原式＝（a+b﹣1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，请你仿照上面的方法解答下列问题：
（1）分解因式：（a2+2a+2）（a2+2a）+1．
（2）化简：．
11．（2018秋•驻马店期中）认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3；
（3）猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是 ．
12．（2020春•郏县期末）阅读理解
我们知道：多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：
a2+6a+8＝（a+3）2﹣1＝（a+2）（a+4）．
请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣27；（2）a2+3a﹣28；（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n．
13．（2017秋•金乡县期末）阅读材料：把代数式x2﹣6x﹣7因式分解，可以如下分解：
x2﹣6x﹣7
＝x2﹣6x+9﹣9﹣7
＝（x﹣3）2﹣16
＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）
＝（x+1）（x﹣7）
（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解；
（2）拓展：把代数式x2+2xy﹣3y2因式分解：
当＝ 时，代数式x2+2xy﹣3y2＝0．
14．（2020秋•饶平县校级月考）
（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2； （2）m4﹣16n4；
（3）（x+y）2+10（x+y）+25； （4）2x2+2x+
（5）﹣12xy+x2+36y2 （6）（a2+b2）2﹣4a2b2．
题组C 培优拔尖练
一．解答题（共8小题）
1．（2016秋•松北区期末）已知：x、y满足：（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41；求x3y+xy3的值．
2．（2013春•赫章县校级月考）分解因式：3a2b﹣6ab2．
3．分解因式：
（1）x（x﹣y）+y（y﹣x）； （2）．
4．（2023•罗湖区校级模拟）请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”，请你依照苏菲•姬曼的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
5．（2017春•兴化市期中）（1）已知x＝﹣5，y＝﹣，求x2•x2n•（yn）2（n为正整数）的值；
（2）观察下列各式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性．
6．（2017秋•祁东县校级期中）因式分解．
（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y） （2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）
（3）．
7．（2015春•雅安校级期中）已知：（2x﹣y﹣1）2+＝0，
（1）求的值；
（2）求4x3y﹣4x2y2+xy3的值．
8．（2014秋•白城校级期中）已知：a+b＝3，ab＝4，计算a3b+2a2b2+ab3．
第11讲提公因式与公式法因式分解
目标导航
了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；
2. 会用提公因式法、运用公式法分解因式。
知识精讲
知识点01 因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
【知识拓展1】（2023秋•莱阳市期末）若4a4﹣（b﹣c）2分解因式时有一个因式是2a2+b﹣c，则另一个因式是（ ）
A．2a2﹣b+cB．2a2﹣b﹣cC．2a2+b﹣cD．2a2+b+c
【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．
【解答】解：4a4﹣（b﹣c）2＝（2a2）2﹣（b﹣c）2＝（2a2+b﹣c）（2a2﹣b+c），
故选：A．
【点评】本题考查了公式法分解因式，是平方差的形式，所以考虑利用平方差公式分解因式．
【知识拓展2】（2022•沙坪坝区校级开学）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）B．2xy2＝2x•y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1D．x2+2x+2＝x（x+2）+2
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、2xy2＝2x•y不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、x2+2x+2＝x（x+2）+2右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
知识点02 公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
【知识拓展1】（2023秋•巴彦县期末）多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ）
A．abcB．4ab2C．ab2D．4ab2c
【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案．
【解答】解：多项式8a3b2+12ab3c的公因式是：4ab2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了公因式，正确把握定义是解题关键．
【知识拓展2】（2023秋•广饶县期中）n为正整数，若2an﹣1﹣4an+1的公因式是M，则M等于（ ）
A．an﹣1B．2anC．2an﹣1D．2an+1
【分析】根据多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式，可得答案．
【解答】解：因为2an﹣1﹣4an+1＝2an﹣1（1﹣2a2），
所以2an﹣1﹣4an+1的公因式是2an﹣1，即M＝2an﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
【即学即练1】（2023秋•莱阳市期末）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是 3x2y2 ．
【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式的即可．
【解答】解：∵3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3＝3x2y2（1﹣4y2﹣2xy）
∴3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2．
【点评】本题考查公因式，掌握公因式的确定方法是解决问题的关键．
【即学即练2】（2019春•邢台期末）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
【分析】分别将多项式A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【解答】解：多项式A、B、C有公因式．
∵A＝3x2﹣12＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2），
B＝5x2y3+10xy3＝5xy3（x+2），
C＝（x+1）（x+3）+1＝x2+4x+3+1＝x2+4x+4＝（x+2）2．
∴多项式A、B、C的公因式是：x+2．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
知识点03 因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
【知识拓展1】（2023秋•淮阳区期末）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．x2+xy+x＝x（x+y）
【分析】直接分别找出各选项内的公因式，进而提取公因式分解因式即可．
【解答】解：A．x2﹣1＝（x﹣1）（x+1），故此选项不合题意；
B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣y）＝（x﹣y）2，故此选项符合题意；
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项不合题意；
D．x2+xy+x＝x（x+y+1），故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•兴城市期末）多项式m2﹣4m分解因式的结果是（ ）
A．m（m﹣4）B．（m+2）（m﹣2）
C．m（m+2）（m﹣2）D．（m﹣2）2
【分析】利用提公因式法分解即可．
【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4），
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
【即学即练2】（2023秋•番禺区期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 10 ．
【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y＝10，xy＝1即可求解．
【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝1×10
＝10．
【点评】此题考查了代数式求值，因式分解﹣提公因式法．注意整体思想在解题中的应用．
【即学即练3】（2023秋•启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ （y﹣z）（2a+3b） ．
【分析】利用提公因式法分解即可．
【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
【知识拓展2】（2023秋•讷河市期末）因式分解：m（a﹣3）+2（3﹣a）．
【分析】利用提公因式法进行分解即可．
【解答】解：m（a﹣3）+2（3﹣a）
＝m（a﹣3）﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（m﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
【即学即练1】．（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式．
（1）﹣2a+32ab2；
（2）x（y2+9）﹣6xy．
【分析】（1）直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式，进而得出答案；
（2）直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2a（16b2﹣1）
＝2a（4b+1）（4b﹣1）；
（2）原式＝x（y2﹣6y+9）
＝x（y﹣3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
【即学即练2】（2023秋•梅里斯区期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先利用相反数把（b﹣a）转化为（a﹣b），再提取公因式．
【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2；
（2）原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）
＝3（a﹣b）（x+2y）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的方法是解决本题的关键．
知识点04因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
【知识拓展1】 （2023秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．
【分析】先去括号，然后再合并同类项，最后对化简后的式子进行分解即可解答．
【解答】解：（a+2b）（a+4b）+b2
＝a2+6ab+8b2+b2
＝a2+6ab+9b2
＝（a+3b）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【即学即练1】（2023秋•博兴县期末）分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．
【分析】（1）利用平方差公式分解即可；
（2）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]
＝（5x+5）（x﹣9）
＝5（x+1）（x﹣9）；
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9
＝[（x2+2）﹣3]2
＝[（x+1）（x﹣1）]2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，一定要注意把多项式的每一项分解到不能再分解为止．
【即学即练2】（2023秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．
【分析】先对多项式进行化简整理，然后再运用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（a+2）（a+4）+1
＝a2+6a+9
＝（a+3）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，先对多项式进行化简整理是解题的关键．
【即学即练3】（2022•德城区校级开学）把下列各式分解因式：
（1）16﹣x4；
（2）4x（y﹣x）﹣y2．
【分析】（1）逆用平方差公式进行因式分解．
（2）先变形，再逆用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：（1）16﹣x4
＝（4+x2）（4﹣x2）
＝（4+x2）（2+x）（2﹣x）．
（2）4x（y﹣x）﹣y2
＝4xy﹣4x2﹣y2
＝﹣（﹣4xy+4x2+y2）
＝﹣（2x﹣y）2．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．
【知识拓展2】（2023秋•虹口区校级期末）已知，求ab．
【分析】利用完全平方公式求得（a+b）2，（a﹣b）2的值，再将两式相减后变形代入计算可求解．
【解答】解：，
，
所以：．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，利用完全平方公式求解（a+b）2，（a﹣b）2的值是解题的关键．
【知识拓展3】（2023秋•虎林市校级期末）（1）20032﹣1999×2001（公式法）；
（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2（分解因式）．
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式，平方差公式化简即可得到结果；
（2）利用平方差公式分解因式后化简可求解．
【解答】解：（1）20032﹣1999×2001
＝（2000+3）2﹣（2000﹣1）（2000+1）
＝20002+2×2000×3+9﹣（20002﹣12）
＝20002+2×2000×3+9﹣20002+12
＝12010；
（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
＝[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]
＝（4a﹣4b+3a+3b）（4a﹣4b﹣3a﹣3b）
＝（7a﹣b）（a﹣7b）．
【点评】此题考查了公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
知识点05提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
【知识拓展1】 （2023秋•大余县期末）因式分解：
（1）a3b﹣ab3；
（2）2a3+12a2+18a．
【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
【解答】（1）解：原式＝ab（a²﹣b²）
＝ab（a+b）（a﹣b）；
（2）解：原式＝2a（a²+6a+9）
＝2a（a+3）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•鱼台县期末）分解因式：
（1）a3﹣2a2b+ab2．
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；
【解答】解：（1）a3﹣2a2b+ab2
＝a（a2﹣2ab+b2）
＝a（a﹣b）2；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
【即学即练2】（2023秋•西平县期末）分解因式：
（1）a3﹣10a2b+25ab2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）a3﹣10a2b+25ab2
＝a（a2﹣10ab+25b2）
＝a（a﹣5b）2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
能力拓展
例1. 把下列各式因式分解
（1） （2）
解：（1）
（2）
提公因式要注意：
（1）当第一项的系数为负数时，首先要提出“-”号，多项式的各项都变号
（2）多项式的每一项与公因式做除法，所得的商为这项的余因式
（3）余因式中不能再有公因式，余因式的项数与原多项式的项数相等
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例2. 把下列各式因式分解
（1） （2）
解：（1）
（2）
例3. 已知多项式有一个因式是，求的值。
解：根据已知条件，设
则
由此可得
由（1）得
把代入（2），得
把代入（3），得
例4. 证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
对任意自然数n，和都是10的倍数。
一定是10的倍数
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋•丰泽区校级期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）
A．mB．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x）D．（a﹣x）（b﹣x）
【分析】首先把式子进行变形，可变为m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），进而可得到公因式m（a﹣x）（b﹣x）．
【解答】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），
＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），
＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）
＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），
故选：C．
【点评】此题主要考查了找公因式的方法，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
2．（2023秋•石狮市期末）下列多项式能用“两数和（差）的平方公式”进行因式分解的是（ ）
A．x2+y2B．x2﹣x+1C．x2+2x﹣1D．4x2﹣4x+1
【分析】由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得，4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，据此判断即可．
【解答】解：A．x2+y2不能利用完全平方公式进行分解，故本选项不合题意；
B．x2﹣x+1不能利用完全平方公式进行分解，故本选项不合题意；
C．x2+2x﹣1不能利用完全平方公式进行分解，故本选项不合题意；
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解答本题的关键．
3．（2023秋•临高县期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3
C．x2+6x﹣9＝（x﹣3）2D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：A．是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
B．没把一个多项式转化成几个整式积，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C．因式分解错误，故此选项不符合题意；
D．把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
4．（2023春•昌图县期末）多项式2xy﹣4x2y+4xy2﹣8x2y2中，各项的公因式是（ ）
A．2xyB．2x2yC．2xy2D．2x2y2
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2xy，即可求解．
【解答】解：∵多项式2xy﹣4x2y+4xy2﹣8x2y2系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂是x和y，
∴该多项式的公因式为2xy，
故选：A．
【点评】本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键．
5．（2023秋•鱼台县期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a+4＝2（a+2）
B．（a﹣b） m＝am﹣bm
C．x（x﹣y）+y（ x﹣y）＝（x﹣y）2
D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
【分析】直接利用因式分解的定义进而分别分析得出答案．
【解答】解：A、2a+4＝2（a+2），正确；
B、（a﹣b） m＝am﹣bm，是整式乘法，不是因式分解，故此选项错误；
C、x（x﹣y）+y（ x﹣y）＝（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
D、a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握相关定义是解题关键．
6．（2023秋•龙岩期末）已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2﹣9，乙与丙相乘的积为x2﹣3x，则甲与丙相乘的积为（ ）
A．3x+3B．x2+3xC．3x﹣3D．x2﹣3x
【分析】把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相乘即可．
【解答】解：∵甲与乙相乘的积为x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），乙与丙相乘的积为x2﹣3x＝x（x﹣3），
∴甲为x+3，乙为x﹣3，丙为x，
则甲与丙相乘的积为x（x+3）＝x2+3x，
故选：B．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．（2023秋•越秀区期末）分解因式：2abc+4a2b＝ 2ab（c+2a） ．
【分析】通过提公因式法求解．
【解答】解：2abc+4a2b＝2ab（c+2a）．
故答案为：2ab（c+2a）．
【点评】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握提公因式法因式分解．
8．（2023秋•建华区期末）若x2y+xy2＝30，xy＝6，则x﹣y的值为 1或﹣1 ．
【分析】直接利用已知得出x2+y2的值，再利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案．
【解答】解：∵x2y+xy2＝30，
∴xy（x+y）＝30，
∵xy＝6，
∴x+y＝5，
∴（x+y）2＝25，
∴x2+2xy+y2＝25，
∴x2+y2＝25﹣2×6＝13，
∴x2+y2﹣2xy＝13﹣12＝1，
∴（x﹣y）2＝1，
∴x﹣y的值为1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及代数式求值，正确利用完全平方公式计算是解题关键．
9．（2023秋•庆阳期末）分解因式：16x2+24x+9＝ （4x+3）2 ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：16x2+24x+9
＝（4x+3）2．
故答案为：（4x+3）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
10．（2023秋•道里区期末）把多项式a3﹣9ab2分解因式的结果是 a（a+3b）（a﹣3b） ．
【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣9ab2
＝a（a2﹣9b2）
＝a（a+3b）（a﹣3b）．
故答案为：a（a+3b）（a﹣3b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
11．（2023秋•九台区期末）下列因式分解正确的是 ①④ ．（填序号）
①x2﹣2x＝x（x﹣2）；
②x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1；
③x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）；
④4x2+4x+1＝（2x+1）2．
【分析】①利用提公因式法分解因式即可；②根据因式分解的概念判断即可；③根据平方差公式判断即可；④利用完全平方公式判断即可．
【解答】解：①x2﹣2x＝x（x﹣2），正确；
②x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1，不正确；
③x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），不正确；
④4x2+4x+1＝（2x+1）2，正确．
故答案为：①④．
【点评】此题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解决此题关键．
12．（2023秋•阳新县期末）分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝ ﹣y（x﹣3）2 ．
【分析】先提公因式﹣y，再应用完全平方公式．
【解答】解：原式＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2．
故答案为：﹣y（x﹣3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
三．解答题（共10小题）
13．（2023秋•龙凤区期末）因式分解：（x2+9）2﹣36x2．
【分析】首先利用平方差公式进行分解，再次利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）＝（x+3）2（x﹣3）2．
【点评】此题主要考查了因式分解，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
14．（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式．
（1）﹣2a+32ab2；
（2）x（y2+9）﹣6xy．
【分析】（1）直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式，进而得出答案；
（2）直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2a（16b2﹣1）
＝2a（4b+1）（4b﹣1）；
（2）原式＝x（y2﹣6y+9）
＝x（y﹣3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
15．（2023秋•云阳县期末）因式分解：
（1）a3﹣64a；
（2）2a2b+16ab+32b．
【分析】（1）直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣64）
＝a（a+8）（a﹣8）；
（2）原式＝2b（a2+8a+16）
＝2b（a+4）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
16．（2023秋•铁西区期末）因式分解：xy3﹣6y2+9xy．
【分析】原式提取公因式分解即可．
【解答】解：原式＝y（xy2﹣6y+9x）．
【点评】此题考查了分解因式﹣提公因式法，熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键．
17．（2023秋•思明区校级期中）因式分解：
（1）8m2n+2mn；
（2）2a2x2+4a2xy+2a2y2．
【分析】（1）用提取公因式法因式分解；
（2）用提取公因式法因式分解，再利用完全平方公式因式分解．
【解答】解：（1）8m2n+2mn
＝2mn（4m+1）；
（2）2a2x2+4a2xy+2a2y2
＝2a2（x2+2xy+y2）
＝2a2（x+y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，掌握提公因式法及完全平方公式是解决本题的关键．
18．（2023秋•富裕县期末）因式分解：．
【分析】用平方差公式分解因式．
【解答】解：原式＝（5+m）（5﹣m）．
【点评】本题主要考查了因式分解，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．
19．（2023秋•岚皋县期末）分解因式：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．
【分析】先逆用平方差公式，再运用提公因式法进行因式分解．
【解答】解：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2
＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）
＝（4a﹣4b）•（﹣2a）
＝﹣8a（a﹣b）．
【点评】本题主要考查运用公式法、提公因式法进行因式分解，熟练掌握公式法、提公因式法是解决本题的关键．
20．（2023秋•兴城市期末）因式分解：x2（m﹣n）+25（n﹣m）．
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：x2（m﹣n）+25（n﹣m）
＝x2（m﹣n）﹣25（m﹣n）
＝（m﹣n）（x2﹣25）
＝（m﹣n）（x+5）（x﹣5）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
21．（2023秋•温岭市期末）计算：
（1）用简便方法计算：1012﹣992；
（2）因式分解：2a2+12ab+18b2．
【分析】（1）利用平方差公式分解进行计算即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：（1）1012﹣992
＝（101+99）×（101﹣99）
＝200×2
＝400；
（2）2a2+12ab+18b2．
＝2（a2+6ab+9b2）
＝2（a+3b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
22．（2023秋•南召县期末）下面是某同学对多项式（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4进行因式分解的过程．
解：设a2﹣4a＝b
原式＝（b+2）（b+6）+4（第一步）
＝b2+8b+16（第二步）
＝（b+4）2（第三步）
＝（a2﹣4a+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A．提取公因式 B．两数和乘以两数差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （a﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解．
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将（a2﹣2a）看作整体进而分解因式即可．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）这个结果没有分解到最后，
原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；
故答案为：不彻底；（a﹣2）4；
（3）设 a2﹣2a＝b，
原式＝（b﹣1）（b+3）+4
＝b2+2b﹣3+4
＝（b+1）2
＝（a2﹣2a+1）2
＝（a﹣1）4．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．
题组B 能力提升练
一．解答题（共14小题）
1．（2023秋•莱西市期中）问题提出：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6．
问题探究：
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6．
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
（1）1+a+a（1+a）
＝（1+a）+a（1+a）
＝（1+a）（1+a）
＝（1+a）2
（2）由（1）知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，
1+a+a（1+a）+a（1+a）2
＝（1+a）2+a（1+a）2
＝（1+a）2（1+a）
＝（1+a）3
（3）仿照（2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；
（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝ （1+a）5 ；
发现规律：
1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝ （1+a）n+1 ；
问题解决：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝ （1+3）7 （结果用乘方表示）．
【分析】（3）通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
（4）通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
发现规律：是根据（2）（3）（4）的结果写出结论；
问题解决：通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式．
【解答】解：（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3
＝（1+a）3+a（1+a）3
＝（1+a）3（1+a）
＝（1+a）4；
（4）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4
＝（1+a）4+a（1+a）4
＝（1+a）4（1+a）
＝（1+a）5；
故答案为：（1+a）5；
发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；
故答案为：（1+a）n+1；
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6
＝（1+3）6（1+3）
＝（1+3）7
＝47．
故答案为：47．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣提公因式法、有理数混合运算、规律型：数字的变化类，掌握这三个知识点的综合应用，将问题“一般化”，发现规律是解题关键．
2．（2020秋•铜官区期末）分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
【分析】直接找出公因式，进而提取公因式得出答案．
【解答】解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]
＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
3．（2018秋•嘉定区期中）因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．
【分析】首先找出各项的公公因式，提取公因式后再合并同类项即可得出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]（2分），
＝（x﹣y）（3x+3y﹣x+y）（3分），
＝（x﹣y）（2x+4y）（4分），
＝2（x﹣y）（x+2y）（5分）．
【点评】此题主要考查了提取公因式因式分解，找出公因式是解决问题的关键．
4．（2017春•平阴县校级期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014，则需应用上述方法 2014 次，结果是 （x+1）2015 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是 （x+1）n+1 ．
【分析】（1）直接利用已知解题方法分析得出答案；
（2）结合（1）中解题方法得出答案；
（3）结合（1）中解题方法得出答案．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次；
故答案为：提公因式法； 2；
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014，
则需应用上述方法2014次，结果是（x+1）2015；
故答案为：2014；（x+1）2015；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n＝（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及数字变换规律，正确得出次数变化规律是解题关键．
5．（2023春•灵石县期末）有四个式子：4a2，（x+y）2，x+y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果．
（1）利用提公因式法．
（2）利用公式法．
【分析】（1）能用提公因式法分解因式的，选取的两项必须有公因式，只能选（x+y）2，x+y，进行加减运算均可；
（2）能用公式法，根据代数式的特点，只能用平方差公式，因此选取两项的平方差．
【解答】解：（1）选取：（x+y）2与（x+y），
（x+y）2﹣（x+y）＝（x+y）（x+y﹣1）；
（2）选取：4a2与9b2，
4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b）．
（答案不唯一：（x+y）2、4a2、9b2任意两项的差均可）
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，理解公因式的意义，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．
6．（2023•市南区校级开学）因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
【分析】首先利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9
＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9
＝（x2﹣1﹣3）2
＝（x﹣2）2（x+2）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
7．（2023春•高明区校级期末）分解因式：x2﹣120x+3456
分析：由于常数项数值较大，则采用x2﹣120x变为差的平方形式进行分解：
x2﹣120x+3456＝x2﹣2×60x+3600﹣3600+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）
请按照上面的方法分解因式：x2+86x﹣651．
【分析】按照原题解题方法，进而借助完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x2+86x﹣651
＝（x+43）2﹣2500
＝（x+43+50）（x+43﹣50）
＝（x+93）（x﹣7）．
【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，熟练利用平方差和完全平方公式是解题关键．
8．（2019春•邵阳县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求x2﹣6xy+9y2的值．
【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵x2+y2﹣4x+6y+13＝（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，即x＝2，y＝﹣3，
则原式＝（x﹣3y）2＝112＝121．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
9．（2020秋•饶平县校级期末）因式分解：
（1）x2y﹣2xy2+y3
（2）4ax2﹣48ax+128a；
（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2
【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式根据十字相乘法分解因式；
（3）先根据平方差公式分解因式，再采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：（1）x2y﹣2xy2+y3
＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2；
（2）4ax2﹣48ax+128a
＝4a（x2﹣12x+32）
＝4a（x﹣4）（x﹣8）；
（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2
＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）
＝（x+4y）2（x﹣4y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10．（2019秋•天河区期末）先阅读下列材料：
分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1．
解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将M还原，得原式＝（a+b﹣1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，请你仿照上面的方法解答下列问题：
（1）分解因式：（a2+2a+2）（a2+2a）+1．
（2）化简：．
【分析】（1）运用“整体思想”设a2+2a＝M，代入原式运用完全平方式进行因式分解即可；
（2）先将原式变形，设n2+3n＝M，代入原式运用完全平方分解因式后，再约分即可．
【解答】解：（1）设a2+2a＝M，
原式＝（M+2）M+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
将M还原得，原式＝（a2+2a+1）2＝（a+1）4；
（2）设n2+3n＝M，
原式＝＝，
将M还原得，原式＝n2+3n+1．
【点评】本题考查了完全平方公式和因式分解，能灵活准确进行运用“整体思想”进行分解因式是解此题的关键．
11．（2018秋•驻马店期中）认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3；
（3）猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是 （1+x）n+1 ．
【分析】（1）直接利用已知解题方法分析得出答案；
（2）结合题干解题方法提取公因式得出答案；
（3）结合（2）中解题方法得出规律求出答案．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法；
故答案为：提公因式法；
（2）方法一：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）（1+x）（1+x）[1+x]
＝（1+x）4；
方法二：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）3+x（1+x）3
＝（1+x）3（1+x）
＝（1+x）4；
（3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是：（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及数字变换规律，正确得出次数变化规律是解题关键．
12．（2020春•郏县期末）阅读理解
我们知道：多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：
a2+6a+8＝（a+3）2﹣1＝（a+2）（a+4）．
请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣27；（2）a2+3a﹣28；（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n．
【分析】根据题目的条件，先将多项式凑成完全平方的形式，再根据实际情况解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣27，
＝x2﹣6x+9﹣36，
＝（x﹣3）2﹣62，
＝（x﹣3﹣6）（x﹣3+6），
＝（x+3）（x﹣9）；
（2）a2+3a﹣28，
＝a2+3a+（）2﹣（）2﹣28，
＝（a+）2﹣，
＝（a+﹣）（a++），
＝（a﹣4）（a+7）；
（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n，
＝x2﹣（2n+1）x+（n+）2﹣（n+）2+n2+n，
＝（x﹣n﹣）2﹣（）2，
＝（x﹣n﹣﹣）（x﹣n+），
＝（x﹣n﹣1）（x﹣n）．
【点评】本题考查了公式法分解因式，是信息给予题，主要渗透配方思想，读懂题目信息是解题的关键．
13．（2017秋•金乡县期末）阅读材料：把代数式x2﹣6x﹣7因式分解，可以如下分解：
x2﹣6x﹣7
＝x2﹣6x+9﹣9﹣7
＝（x﹣3）2﹣16
＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）
＝（x+1）（x﹣7）
（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解；
（2）拓展：把代数式x2+2xy﹣3y2因式分解：
当＝ ﹣3或1 时，代数式x2+2xy﹣3y2＝0．
【分析】（1）模仿例题，利用配方法因式分解即可；
（2）模仿例题，利用配方法因式分解即可；利用因式分解的结果，转化为方程即可解决问题；
【解答】解：（1）x2﹣8x+7
＝x2﹣8x+16﹣16+7
＝（x﹣4）2﹣32
＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）
＝（x﹣1）（x﹣7）
（2）x2+2xy﹣3y2
＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2
＝（x+y）2﹣4y2
＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）
＝（x+3y）（x﹣y），
当＝﹣3或1时，x2+2xy﹣3y2的值为0．
【点评】本题考查因式分解﹣配方法，解题的关键是理解题意，学会由配方法因式分解，属于中考常考题型．
14．（2020秋•饶平县校级月考）（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2；
（2）m4﹣16n4；
（3）（x+y）2+10（x+y）+25；
（4）2x2+2x+
（5）﹣12xy+x2+36y2
（6）（a2+b2）2﹣4a2b2．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式利用完全平方公式分解即可；
（4）令原式为0求出x的值，即可确定出分解结果；
（5）原式利用完全平方公式分解即可；
（6）原式利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2＝[3（m+n）+4（m﹣n）][3（m+n）﹣4（m﹣n）]＝（7m﹣n）（﹣m+7n）；
（2）m4﹣16n4＝（m2+4n2）（m2﹣4n2）＝（m2+4n2）（m+2n）（m﹣2n）；
（3）（x+y）2+10（x+y）+25＝（x+y+5）2；
（4）令2x2+2x+＝0，
解得：x＝，
则原式＝2（x+﹣）（x++）；
（5）﹣12xy+x2+36y2＝（x﹣6y）2；
（6）（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）＝（a+b）2（a﹣b）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
题组C 培优拔尖练
一．解答题（共8小题）
1．（2016秋•松北区期末）已知：x、y满足：（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41；求x3y+xy3的值．
【分析】直接利用已知将原式变形得出x2+y2＝23，xy＝﹣9，进而求出答案．
【解答】解：∵（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝46，
则x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝46，
2（x2+y2）＝46，
故x2+y2＝23，
（x+y）2﹣（x﹣y）2＝﹣36，
则x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝﹣36，
故4xy＝﹣36，
则xy＝﹣9，
x3y+xy3＝xy（x2+y2）
＝﹣9×23
＝﹣207．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确将已知变形是解题关键．
2．（2013春•赫章县校级月考）分解因式：3a2b﹣6ab2．
【分析】直接提公因式3ab即可．
【解答】解：原式＝3ab（a﹣2b）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
3．分解因式：
（1）x（x﹣y）+y（y﹣x）；
（2）．
【分析】（1）把第二项整理为含（x﹣y）的式子，提取公因式（x﹣y），进而整理为完全平方公式即可；
（2）把第二个括号内的式子整理为（x+y）﹣1，进而整理用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）x（x﹣y）+y（y﹣x），
＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y），
＝（x﹣y）（x﹣y），
＝（x﹣y）2；
（2）原式＝（x+y）[（x+y）﹣1]+，
＝（x+y）2﹣（x+y）+，
＝（x+y﹣）2．
【点评】（1）考查了提公因式法分解因式，两个因式互为相反数，公因式应是其中的一个，另一个的系数的符号与原符号相反；（2）考查了利用完全平方公式分解因式，注意运用整体思想与公式法结合进行因式分解．
4．（2023•罗湖区校级模拟）请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”，请你依照苏菲•姬曼的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【分析】这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．
【解答】解：（1）x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，
＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，
＝（x﹣a）2﹣（a+b）2，
＝（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．
【点评】本题考查了添项法因式分解，难度比较大．
5．（2017春•兴化市期中）（1）已知x＝﹣5，y＝﹣，求x2•x2n•（yn）2（n为正整数）的值；
（2）观察下列各式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性．
【分析】（1）代入计算，并运用积的乘方的逆运算得出结论；
（2）发现被减数和减数都是一个数的平方的形式，且两个底数都是奇数，相差2，结论都是8的倍数，根据此规律写出式子：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，并利用平方差公式分解后化简．
【解答】解：（1）原式＝（﹣5）2×（﹣5）2n×（﹣）2n＝25[（﹣5）×（﹣）]2n，
＝25；
（2）规律：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
验证：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝4n×2＝8n．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算及因式分解、积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
6．（2017秋•祁东县校级期中）因式分解．
（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）
（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）
（3）．
【分析】（1）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式；
（2）利用提公因式分解因式；
（3）把分子分母利用因式分解变形，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）
＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；
（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）
＝p（a﹣1）（p﹣1）；
（3）原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：灵活运用公式法．
7．（2015春•雅安校级期中）已知：（2x﹣y﹣1）2+＝0，
（1）求的值；
（2）求4x3y﹣4x2y2+xy3的值．
【分析】先根据平方与二次根式的非负性得出2x﹣y＝1，xy＝2，再利用提公因式法与公式法分解因式代入求值即可．
【解答】解：∵（2x﹣y﹣1）2+＝0，
∴2x﹣y﹣1＝0，xy﹣2＝0
2x﹣y＝1，xy＝2，
（1）y﹣2x＝﹣1，xy＝2，
＝；
（2）4x3y﹣4x2y2+xy3
＝xy（4x2﹣4xy+y2）
＝xy（2x﹣y）2
＝2×12
＝2．
【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法分解因式．本题用到平方与二次根式的非负性．
8．（2014秋•白城校级期中）已知：a+b＝3，ab＝4，计算a3b+2a2b2+ab3．
【分析】直接提取公因式ab，进而利用完全平方公式分解因式，进而将已知代入求出答案．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝4
∴a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝4×32
＝4×9
＝36．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
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