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北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第3讲 线段的垂直平分线（原卷版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第3讲 线段的垂直平分线（原卷版+解析)，共59页。
2．能运用线段的垂直平分线的性质理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．
知识精讲
知识点01 线段的垂直平分线
定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
线段垂直平分线的尺规作图
求做线段AB的垂直平分线
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
线段的垂直平分线定理
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
【知识拓展1】已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于（ ）
A．95°B．15°C．95°或15°D．170°或30°
【即学即练1】如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC是（ ）
A．34°B．36°C．44°D．46°
【即学即练2】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
【知识拓展2】如图，在△ABC中，AB＝5，△ABD的周长是12，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则AC＝ ．
【即学即练1】如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长是 ．
【即学即练2】如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B＝42°，则∠A＝ ．
【知识拓展3】如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．
【即学即练1】如图，在ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE＝∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若∠CAE＝∠B，AD＝3，求AC的长．
【即学即练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
【即学即练3】如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；
（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．
知识点02 线段的垂直平分线逆定理
线段的垂直平分线逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．
【知识拓展1】如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证AD是线段BC的垂直平分线．
【即学即练1】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．
知识点03 线段的垂直平分线定理与逆定理综合应用
【知识拓展1】已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点． 求证：BE=CE．
【知识拓展2】如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB边上的点，AD的垂直平分线EF交AC于E，垂足为F，ED的延长线与CB的延长交于点G．求证：点E在GC的垂直平分线上．
知识点04实际应用问题
【知识拓展1】某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．
能力拓展
一．解答题（共4小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
2．已知：E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，垂足分别为C、D．求证：FE是CD的垂直平分线．
3．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于点D，∠C＝60°．
（1）△ACD是什么特殊三角形？请说明理由；
（2）若AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，求△ABC的周长．
4．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•平房区期末）到△ABC的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
2．（2021春•龙岗区期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A．26cmB．21cmC．28cmD．31cm
3．（2023春•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点处
B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处
D．三角形三条中线的交点处
4．（2023春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（ ）
A．12B．10C．8D．6
5．（2023秋•中山市期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，△ABC的周长为18，AE＝3，则△ABD的周长（ ）
A．12B．15C．18D．21
6．（2020秋•天宁区期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
7．（2023秋•抚顺县期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cmB．13cmC．19cmD．10cm
8．（2023秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若AC＝6，AB＝8，BC＝4，则△BEC的周长（ ）
A．10B．12C．8D．14
二．填空题（共7小题）
9．（2023•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 ．
10．（2023春•揭东区期末）如图，在△ABC中，AC垂直平分线DE分别与BC、AC交于D、E，△ABD的周长是13，AE＝5，△ABC的周长是 ．
11．（2023春•罗湖区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC＝2，则AC的长为 ．
12．（2023秋•大连期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4，AD＝5，则△ACD的周长为 ．
13．（2023秋•铁岭县期末）如图，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 °．
14．（2023秋•广州月考）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D，E，若∠A＝45°，∠C＝65°，则∠EBC的度数为 ．
15．（2023秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ的度数 ．
三．解答题（共7小题）
16．（2023秋•阳东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝20°，求∠C的度数．
17．（2019春•龙岗区期末）如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．
求证：（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
18．（2023秋•玉屏县期中）如图所示，已知AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于点D，若△EBC的周长为35cm，求BC的长．
19．（2023春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝65°，AD⊥BC，EF是边AB的垂直平分线，交BC于点E，交AB于点F，求∠DAE的度数．
20．（2020秋•番禺区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
21．（2023春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．
22．（2023春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2020秋•南沙区期末）如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
2．（2021•越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
3．（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
二．填空题（共4小题）
4．（2019秋•无锡期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为 cm．
5．（2021春•商河县校级期末）如图，在△ABC中，DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，且D点在BC边上，连接AD，则∠BAC＝ °．
6．（2020秋•连山区期末）如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为 ．
7．（2021秋•千山区期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于 ．
题组C 培优拔尖练
1．（2021春•叶县期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
2．（2021春•市南区期末）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．
求证：DF∥AC．
证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠ ＝∠ （角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴ ＝ （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（ ）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（ ）
3．（2020秋•遵化市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
4．（2021秋•东平县期中）如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B＝∠CAF．
5．（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
第3讲 线段的垂直平分线
目标导航
1．掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，会画已知线段的垂直平分线．
2．能运用线段的垂直平分线的性质理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．
知识精讲
知识点01 线段的垂直平分线
定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
线段垂直平分线的尺规作图
求做线段AB的垂直平分线
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
线段的垂直平分线定理
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
【知识拓展1】已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于（ ）
A．95°B．15°C．95°或15°D．170°或30°
【分析】分A、B在EF的同侧和A、B在EF的异侧两种情况，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：如图，若A、B在EF的同侧，
∵A和B两点在线段EF的中垂线上，
∴AE＝AF，BE＝BF，
∵∠EAF＝100°，∠EBF＝70°，
∴∠BEF＝40°，∠AEF＝55°，
∴∠AEB＝∠BEF﹣∠AEF＝15°；
若A、B在EF的异侧，
∵A和B两点在线段EF的中垂线上，
∴AE＝AF，BE＝BF，
∵∠EAF＝100°，∠EBF＝70°，
∴∠BEF＝40°，∠A′EF＝55°，
∴∠A′EB＝∠BEF+∠A′EF＝95°．
∴∠AEB＝95°或15°．
故选：C．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【即学即练1】如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC是（ ）
A．34°B．36°C．44°D．46°
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABP＝∠CBP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
∴∠ABP＝32°，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∴∠PQC＝×（180°﹣32°﹣32°）﹣24°＝58°﹣24°＝34°，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【即学即练2】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式即可求出BC．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．
∴FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝△AEF的周长＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【知识拓展2】如图，在△ABC中，AB＝5，△ABD的周长是12，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则AC＝ 7 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再利用△ABD的周长是12和等线段代换得到AB+AC＝12，从而可求出AC的长．
【解答】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是12，
∴AB+AD+BD＝12，
∴AB+AD+DC＝12，
即AB+AC＝12，
而AB＝5，
∴AC＝12﹣5＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【即学即练1】如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长是 7m ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出DA＝DB，再通过等量代换可求出BD+CD的长，根据△BDC的周长即可解答．
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB．
又∵△BDC的周长为17m，AB＝AC＝10m，
∴BD+DC+BC＝17，
∴DA+DC+BC＝17，即AC+BC＝17
∴10+BC＝17，
∴BC＝7m．
故答案为：7m．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解决问题的关键．
【即学即练2】如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B＝42°，则∠A＝ 54° ．
【分析】由线段垂直平分线和角平分线的定义可得∠B＝∠ECB＝∠ACE＝40°，在△ABC中由三角形内角和定理可求得∠A．
【解答】解：∵E在线段BC的垂直平分线上，
∴BE＝CE，
∴∠ECB＝∠B＝42°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACD＝2∠ECB＝84°，
又∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠A＝180°−∠B−∠ACB＝54°，
故答案为：54°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【知识拓展3】如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠A＝30°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC，根据角平分线的定义证明结论．
【解答】证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【即学即练1】如图，在ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE＝∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若∠CAE＝∠B，AD＝3，求AC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，根据直角三角形的性质列式计算即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，即∠B+30°+∠B+∠B＝90°，
解得，∠B＝20°；
（2）∵∠CAE＝∠B，
∴3∠B＝90°，
解得，∠B＝30°，
∵DE垂直平分AB，AD＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝3．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【即学即练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠C＝40°，得到答案；
（2）根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【即学即练3】如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；
（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA＝MB，NA＝NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；
（3）根据（2）的解法得到∠MAN＝90°，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
同理，NA＝NC，
∵△AMN的周长为6，
∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；
（2）∵∠MON＝30°，
∴∠OMN+∠ONM＝150°，
∴∠BME+∠CNF＝150°，
∵MA＝MB，ME⊥AB，
∴∠BMA＝2∠BME，
同理，∠ANC＝2∠CNF，
∴∠BMA+∠ANC＝300°，
∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，
∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；
（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，
由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC
设MN＝x，
∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，
解得，x＝5，即MN＝5．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
知识点02 线段的垂直平分线逆定理
线段的垂直平分线逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．
【知识拓展1】如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证AD是线段BC的垂直平分线．
【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)
又∵∠ABD=∠ACD (已知)
∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)
即 ∠DBC=∠DCB
∴DB=DC （等角对等边）
∵AB=AC（已知）
DB=DC（已证）
∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∴AD是线段BC的垂直平分线。
【总结升华】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了两点才确定一条直线，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线．
【即学即练1】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．
【答案与解析】证明：∵OP是角平分线，
∴∠AOP=∠BOP
∵PA⊥OM,PB⊥ON,
∴∠OAP=∠OBP=90°
∴在△AOP 和△BOP中
∴△AOP≌△BOP（A．A．S）
∴OA=OB
∴PO垂直平分AB（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
知识点03 线段的垂直平分线定理与逆定理综合应用
【知识拓展1】已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点． 求证：BE=CE．
【答案与解析】证明：连结BC
∵AB＝AC，DB＝DC．
∴点A、D在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）．
【总结升华】本例综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线．
【知识拓展2】如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB边上的点，AD的垂直平分线EF交AC于E，垂足为F，ED的延长线与CB的延长交于点G．求证：点E在GC的垂直平分线上．
【答案与解析】证明：∵EF垂直平分AD
∴AE=DE
∴∠A=∠FDE=∠GDB
∵∠ABC=90°
∴∠C+∠A=90°
∠G+∠GDB=90°
∴∠G+∠A=90°
∴∠G=∠C
∴GE=CE
∴点E在GC的垂直平分线上
【总结升华】综此题同样是综合运用了线段垂直平分线的定理及逆定理，同时注意，在三角形中，当给出一个角是90°时，另外两角的和也是90°，是在直角三角形中推导角时经常用到的方法．
知识点04实际应用问题
【知识拓展1】某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．
【答案与解析】解：作AC的垂直平分线交AB于M点，
则点M为所求．
【总结升华】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
能力拓展
一．解答题（共4小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10cm，根据三角形的周长公式计算．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10cm，
∵△ABD的周长为17cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝17cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27cm．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．已知：E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，垂足分别为C、D．求证：FE是CD的垂直平分线．
【分析】根据角平分线的性质得到EC＝ED，根据全等三角形的性质得到FD＝FC，根据线段垂直平分线的判定定理证明即可．
【解答】证明：∵E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，
∴EC＝ED，
在△FDE和△FCE中，
，
∴△FDE≌△FCE，
∴FD＝FC，又EC＝ED，
∴FE是CD的垂直平分线．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握到线段的两个端点的距离相等在线段的垂直平分线上是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于点D，∠C＝60°．
（1）△ACD是什么特殊三角形？请说明理由；
（2）若AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，于是得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的定义得到AC＝2AE＝2×5＝10，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）△ACD是等边三角形，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵∠C＝60°，
∴△ACD是等边三角形；
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝2×5＝10，AD＝CD，
∵C△ABD＝AB+BD+AD＝16，
∴C△ABC＝AB+BC+AC，
＝AB+（BD+CD）+AC
＝AB+BD+AD+AC
＝C△ABD+AC
＝16+10＝26，
答：△ABC的周长是26cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，三角形周长的计算，正确的理解题意是解题的关键．
4．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；
（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．
【解答】解：
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线及轴对称的运用，需用仔细分析题意结合图形才能解决问题．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•平房区期末）到△ABC的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理解答．
【解答】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解题的关键．
2．（2023春•龙岗区期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A．26cmB．21cmC．28cmD．31cm
【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长为16，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16+10＝26（cm），
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．（2023春•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点处
B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处
D．三角形三条中线的交点处
【分析】根据性的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．（2023春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（ ）
A．12B．10C．8D．6
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据△BCE的周长等于18，求出AC的长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
由题意得，BC+CE+BE＝18，
则BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，
∴AC＝10，
故选：B．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2023秋•中山市期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，△ABC的周长为18，AE＝3，则△ABD的周长（ ）
A．12B．15C．18D．21
【分析】据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABC的周长是18，
∴AB+BC+AC＝18，
∴AB+BC＝12，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝12，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（2020秋•天宁区期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、GB＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∵FG是BC边的垂直平分线，
∴GB＝GC，
∵△BEG的周长为16，
∴GB+GE+EB＝16，
∴AE+GE+GC＝16，
∴AC+GE+GE＝16，
∵GE＝1，
∴AC＝16﹣2＝14，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（2023秋•抚顺县期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cmB．13cmC．19cmD．10cm
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝DC，求出AC和AB+BC的长，即可求出答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6cm，AD＝DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝13cm+6cm＝19cm，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
8．（2023秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若AC＝6，AB＝8，BC＝4，则△BEC的周长（ ）
A．10B．12C．8D．14
【分析】由线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，则△BCE的周长＝EB+EC+BC＝AC+BC，代入数值即可．
【解答】解：从作法可知：DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝EB+EC+BC＝AC+BC＝6+4＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，能灵活运用线段垂直平分线性质是解此题的关键．
二．填空题（共7小题）
9．（2023•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 12 ．
【分析】依据垂直平分线的性质得DB＝DC．△ABD周长转化为AB+AC即可求解．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC．
∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．
∴△ABD的周长是12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查中垂线性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等．将所求周长转化为AB+AC的和即可．
10．（2023春•揭东区期末）如图，在△ABC中，AC垂直平分线DE分别与BC、AC交于D、E，△ABD的周长是13，AE＝5，△ABC的周长是 23 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长是13，
∴AB+BD+DA＝13，
∴AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝23，
故答案为：23．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．（2023春•罗湖区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC＝2，则AC的长为 2 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到CE＝CB，∠BDC＝90°，再根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACB＝30°，则∠A＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：∵CD垂直平分BE，
∴CE＝CB，∠BDC＝90°，
∴CD平分∠BCE，即∠BCD＝∠ECD，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
而∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
12．（2023秋•大连期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4，AD＝5，则△ACD的周长为 18 ．
【分析】由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD＝5，AC＝2AE＝2×4＝8，继而求得△ADC的周长．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD＝5，AC＝2AE＝2×4＝8，
∴△ADC的周长是：AD+CD+AC＝18．
故答案为：18．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
13．（2023秋•铁岭县期末）如图，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 160 °．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝100°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝160°，
故答案为：160°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2023秋•广州月考）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D，E，若∠A＝45°，∠C＝65°，则∠EBC的度数为 25° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，得到∠EBA＝∠A＝50°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵A＝45°，∠C＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝50°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝70°﹣45°＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．（2023秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ的度数 72° ．
【分析】先根据三角形内角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ＝54°，再根据线段垂直平分线的性质∠PAB＝∠ABP，∠QAC＝∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC＝54°，便不难求出∠PAQ的度数为72°．
【解答】解：∵∠BAC＝126°，
∴∠ABP+∠ACQ＝180°﹣126°＝54°，
∵MP、NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PB＝PA，QC＝QA．
∴∠PAB＝∠ABP，∠QAC＝∠ACQ，
∴∠PAB+∠QAC＝∠ABP+∠ACQ＝54°，
∴∠PAQ＝126°﹣54°＝72°．
故答案为：72°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共7小题）
16．（2023秋•阳东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝20°，求∠C的度数．
【分析】由线段垂直平分线的性质可求得∠EAC＝∠C，再结合三角形内角和定理可求得∠C；
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠CAB＝∠EAC+20°＝∠C+20°，
∵∠C+∠CAB＝90°，
∴2∠C+20°＝90°，
∴∠C＝35°；
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
17．（2019春•龙岗区期末）如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．
求证：（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
【分析】（1）由CB＝CA，推出∠CBA＝∠CAB，由AF∥BC交DE于点F，推出∠BAF＝∠CBA，可得∠BAF＝∠CAB．
（2）由∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，可得∠E＝∠FAD．
【解答】证明：（1）∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∴CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵AF∥BC交DE于点F，
∴∠BAF＝∠CBA，
∴∠BAF＝∠CAB．
即 AB是∠CAF的角平分线．
（2）∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，
∴∠E＝∠FAD．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2023秋•玉屏县期中）如图所示，已知AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于点D，若△EBC的周长为35cm，求BC的长．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得EA＝EB，进而得到BE+EC＝AC＝20cm．又由△EBC的周长为35cm，可得BC+AC＝35cm，继而求得BC长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵AC＝20cm，
∴BE+EC＝AE+EC＝AC＝20cm，
∵△EBC的周长为35cm，即BE+EC+BC＝35cm，
∴BC＝15cm．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质证得EA＝EB是解决问题的关键．
19．（2023春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝65°，AD⊥BC，EF是边AB的垂直平分线，交BC于点E，交AB于点F，求∠DAE的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据直角三角形的性质求出∠DAC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠BAE＝∠B＝25°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝25°，
∵EF是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝25°，
∴∠DAE＝90°﹣25°﹣25°＝40°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20．（2020秋•番禺区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝76°，根据等腰三角形的性质求出∠EAB+∠GAC，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵△AEG的周长为10，
∴AE+EG+AG＝10，
∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10；
（2）∵∠BAC＝104°，
∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．（2023春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．
【分析】（1）连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，根据等腰三角形的三线合一得到∠3＝∠4，同理得到∠1＝∠2，证明结论；
（2）根据四边形的内角和等于360°求出∠BCD，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵M是CD的中点，AM⊥CD，
∴AM是线段CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，又AM⊥CD，
∴∠3＝∠4，
同理，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN；
（2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°，
∠BAD＝2∠MAN＝140°，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝20°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．（2023春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2020秋•南沙区期末）如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA＝PB，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠B，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可．
【解答】解：∵直线PC是线段AB的垂直平分线，
∴PC⊥AB，PA＝PB，
∴∠B＝∠A，∠PCA＝90°，
∵∠APC＝50°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣∠APC＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
2．（2021•越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，求出∠BAD＝∠B＝5x°，根据直角三角形的性质得出∠CAB+∠B＝90°，求出x，再求出∠B和∠BAD，根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】解：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B，
即∠B＝5x°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴2x+5x+5x＝90，
解得：x＝，
即∠B＝∠BAD＝（）°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（）°+（）°＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
3．（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．
【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
【点评】本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二．填空题（共4小题）
4．（2019秋•无锡期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为 3 cm．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到NB＝NA，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴NB＝NA，
△BCN的周长＝BC+CN+BN＝7cm，
∴BC+AC＝7cm，又AC＝4cm，
∴BC＝3cm，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2021春•商河县校级期末）如图，在△ABC中，DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，且D点在BC边上，连接AD，则∠BAC＝ 90 °．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【解答】解：∵DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，
∴BD＝AD，AD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠C+BAC＝180°，
∴2∠BAD+2∠CAD＝180°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
即∠BAC＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
6．（2020秋•连山区期末）如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为 65° ．
【分析】根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线的性质得出FA＝FD，推出∠FDA＝∠FAD，根据三角形的外角性质得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入求出即可．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能求出∠FDA＝∠FAD是解此题的关键．
7．（2021秋•千山区期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于 8 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
则△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝8，
故答案为8．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
题组C 培优拔尖练
1．（2021春•叶县期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求．
（2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2021春•市南区期末）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．
求证：DF∥AC．
证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠ BAD ＝∠ DAC （角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴ FD ＝ FA （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（ 等边对等角 ）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（ 内错角相等两直线平行 ）
【分析】根据角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角解决问题即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAC（角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴FD＝FA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（等边对等角）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（内错角相等两直线平行）．
故答案为：BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2020秋•遵化市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC＝7cm，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝7cm，
即2DE+2EC＝7cm，
∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
4．（2021秋•东平县期中）如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B＝∠CAF．
【分析】EF垂直平分AD，则可得AF＝DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的平衡转化，最终得出结论．
【解答】证明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF，
∵∠ADF＝∠B+∠BAD，
∠DAF＝∠CAF+∠CAD，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠B＝∠CAF．
【点评】熟练掌握线段垂直平分线的性质及角平分线的性质．
5．（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝∠BAM，根据角平分线的定义求出∠DAM＝∠CAD，求出∠BAD＝∠ADB，得出△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∴∠C＝∠BAM，
∵AD平分∠MAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵BE平分∠ABC，
∴BF⊥AD，AF＝FD，
即线段BF垂直平分线段AD．
【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质和三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
2．能运用线段的垂直平分线的性质理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．
知识精讲
知识点01 线段的垂直平分线
定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
线段垂直平分线的尺规作图
求做线段AB的垂直平分线
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
线段的垂直平分线定理
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
【知识拓展1】已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于（ ）
A．95°B．15°C．95°或15°D．170°或30°
【即学即练1】如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC是（ ）
A．34°B．36°C．44°D．46°
【即学即练2】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
【知识拓展2】如图，在△ABC中，AB＝5，△ABD的周长是12，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则AC＝ ．
【即学即练1】如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长是 ．
【即学即练2】如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B＝42°，则∠A＝ ．
【知识拓展3】如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．
【即学即练1】如图，在ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE＝∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若∠CAE＝∠B，AD＝3，求AC的长．
【即学即练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
【即学即练3】如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；
（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．
知识点02 线段的垂直平分线逆定理
线段的垂直平分线逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．
【知识拓展1】如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证AD是线段BC的垂直平分线．
【即学即练1】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．
知识点03 线段的垂直平分线定理与逆定理综合应用
【知识拓展1】已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点． 求证：BE=CE．
【知识拓展2】如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB边上的点，AD的垂直平分线EF交AC于E，垂足为F，ED的延长线与CB的延长交于点G．求证：点E在GC的垂直平分线上．
知识点04实际应用问题
【知识拓展1】某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．
能力拓展
一．解答题（共4小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
2．已知：E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，垂足分别为C、D．求证：FE是CD的垂直平分线．
3．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于点D，∠C＝60°．
（1）△ACD是什么特殊三角形？请说明理由；
（2）若AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，求△ABC的周长．
4．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•平房区期末）到△ABC的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
2．（2021春•龙岗区期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A．26cmB．21cmC．28cmD．31cm
3．（2023春•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点处
B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处
D．三角形三条中线的交点处
4．（2023春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（ ）
A．12B．10C．8D．6
5．（2023秋•中山市期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，△ABC的周长为18，AE＝3，则△ABD的周长（ ）
A．12B．15C．18D．21
6．（2020秋•天宁区期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
7．（2023秋•抚顺县期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cmB．13cmC．19cmD．10cm
8．（2023秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若AC＝6，AB＝8，BC＝4，则△BEC的周长（ ）
A．10B．12C．8D．14
二．填空题（共7小题）
9．（2023•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 ．
10．（2023春•揭东区期末）如图，在△ABC中，AC垂直平分线DE分别与BC、AC交于D、E，△ABD的周长是13，AE＝5，△ABC的周长是 ．
11．（2023春•罗湖区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC＝2，则AC的长为 ．
12．（2023秋•大连期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4，AD＝5，则△ACD的周长为 ．
13．（2023秋•铁岭县期末）如图，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 °．
14．（2023秋•广州月考）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D，E，若∠A＝45°，∠C＝65°，则∠EBC的度数为 ．
15．（2023秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ的度数 ．
三．解答题（共7小题）
16．（2023秋•阳东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝20°，求∠C的度数．
17．（2019春•龙岗区期末）如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．
求证：（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
18．（2023秋•玉屏县期中）如图所示，已知AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于点D，若△EBC的周长为35cm，求BC的长．
19．（2023春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝65°，AD⊥BC，EF是边AB的垂直平分线，交BC于点E，交AB于点F，求∠DAE的度数．
20．（2020秋•番禺区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
21．（2023春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．
22．（2023春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2020秋•南沙区期末）如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
2．（2021•越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
3．（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
二．填空题（共4小题）
4．（2019秋•无锡期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为 cm．
5．（2021春•商河县校级期末）如图，在△ABC中，DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，且D点在BC边上，连接AD，则∠BAC＝ °．
6．（2020秋•连山区期末）如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为 ．
7．（2021秋•千山区期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于 ．
题组C 培优拔尖练
1．（2021春•叶县期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
2．（2021春•市南区期末）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．
求证：DF∥AC．
证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠ ＝∠ （角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴ ＝ （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（ ）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（ ）
3．（2020秋•遵化市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
4．（2021秋•东平县期中）如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B＝∠CAF．
5．（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
第3讲 线段的垂直平分线
目标导航
1．掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，会画已知线段的垂直平分线．
2．能运用线段的垂直平分线的性质理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．
知识精讲
知识点01 线段的垂直平分线
定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
线段垂直平分线的尺规作图
求做线段AB的垂直平分线
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
线段的垂直平分线定理
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
【知识拓展1】已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于（ ）
A．95°B．15°C．95°或15°D．170°或30°
【分析】分A、B在EF的同侧和A、B在EF的异侧两种情况，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：如图，若A、B在EF的同侧，
∵A和B两点在线段EF的中垂线上，
∴AE＝AF，BE＝BF，
∵∠EAF＝100°，∠EBF＝70°，
∴∠BEF＝40°，∠AEF＝55°，
∴∠AEB＝∠BEF﹣∠AEF＝15°；
若A、B在EF的异侧，
∵A和B两点在线段EF的中垂线上，
∴AE＝AF，BE＝BF，
∵∠EAF＝100°，∠EBF＝70°，
∴∠BEF＝40°，∠A′EF＝55°，
∴∠A′EB＝∠BEF+∠A′EF＝95°．
∴∠AEB＝95°或15°．
故选：C．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【即学即练1】如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC是（ ）
A．34°B．36°C．44°D．46°
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABP＝∠CBP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
∴∠ABP＝32°，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∴∠PQC＝×（180°﹣32°﹣32°）﹣24°＝58°﹣24°＝34°，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【即学即练2】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式即可求出BC．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．
∴FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝△AEF的周长＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【知识拓展2】如图，在△ABC中，AB＝5，△ABD的周长是12，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则AC＝ 7 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再利用△ABD的周长是12和等线段代换得到AB+AC＝12，从而可求出AC的长．
【解答】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是12，
∴AB+AD+BD＝12，
∴AB+AD+DC＝12，
即AB+AC＝12，
而AB＝5，
∴AC＝12﹣5＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【即学即练1】如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长是 7m ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出DA＝DB，再通过等量代换可求出BD+CD的长，根据△BDC的周长即可解答．
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB．
又∵△BDC的周长为17m，AB＝AC＝10m，
∴BD+DC+BC＝17，
∴DA+DC+BC＝17，即AC+BC＝17
∴10+BC＝17，
∴BC＝7m．
故答案为：7m．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解决问题的关键．
【即学即练2】如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B＝42°，则∠A＝ 54° ．
【分析】由线段垂直平分线和角平分线的定义可得∠B＝∠ECB＝∠ACE＝40°，在△ABC中由三角形内角和定理可求得∠A．
【解答】解：∵E在线段BC的垂直平分线上，
∴BE＝CE，
∴∠ECB＝∠B＝42°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACD＝2∠ECB＝84°，
又∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠A＝180°−∠B−∠ACB＝54°，
故答案为：54°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【知识拓展3】如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠A＝30°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC，根据角平分线的定义证明结论．
【解答】证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【即学即练1】如图，在ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE＝∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若∠CAE＝∠B，AD＝3，求AC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，根据直角三角形的性质列式计算即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，即∠B+30°+∠B+∠B＝90°，
解得，∠B＝20°；
（2）∵∠CAE＝∠B，
∴3∠B＝90°，
解得，∠B＝30°，
∵DE垂直平分AB，AD＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝3．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【即学即练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠C＝40°，得到答案；
（2）根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【即学即练3】如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；
（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA＝MB，NA＝NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；
（3）根据（2）的解法得到∠MAN＝90°，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
同理，NA＝NC，
∵△AMN的周长为6，
∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；
（2）∵∠MON＝30°，
∴∠OMN+∠ONM＝150°，
∴∠BME+∠CNF＝150°，
∵MA＝MB，ME⊥AB，
∴∠BMA＝2∠BME，
同理，∠ANC＝2∠CNF，
∴∠BMA+∠ANC＝300°，
∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，
∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；
（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，
由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC
设MN＝x，
∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，
解得，x＝5，即MN＝5．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
知识点02 线段的垂直平分线逆定理
线段的垂直平分线逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．
【知识拓展1】如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证AD是线段BC的垂直平分线．
【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)
又∵∠ABD=∠ACD (已知)
∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)
即 ∠DBC=∠DCB
∴DB=DC （等角对等边）
∵AB=AC（已知）
DB=DC（已证）
∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∴AD是线段BC的垂直平分线。
【总结升华】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了两点才确定一条直线，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线．
【即学即练1】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．
【答案与解析】证明：∵OP是角平分线，
∴∠AOP=∠BOP
∵PA⊥OM,PB⊥ON,
∴∠OAP=∠OBP=90°
∴在△AOP 和△BOP中
∴△AOP≌△BOP（A．A．S）
∴OA=OB
∴PO垂直平分AB（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
知识点03 线段的垂直平分线定理与逆定理综合应用
【知识拓展1】已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点． 求证：BE=CE．
【答案与解析】证明：连结BC
∵AB＝AC，DB＝DC．
∴点A、D在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）．
【总结升华】本例综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线．
【知识拓展2】如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB边上的点，AD的垂直平分线EF交AC于E，垂足为F，ED的延长线与CB的延长交于点G．求证：点E在GC的垂直平分线上．
【答案与解析】证明：∵EF垂直平分AD
∴AE=DE
∴∠A=∠FDE=∠GDB
∵∠ABC=90°
∴∠C+∠A=90°
∠G+∠GDB=90°
∴∠G+∠A=90°
∴∠G=∠C
∴GE=CE
∴点E在GC的垂直平分线上
【总结升华】综此题同样是综合运用了线段垂直平分线的定理及逆定理，同时注意，在三角形中，当给出一个角是90°时，另外两角的和也是90°，是在直角三角形中推导角时经常用到的方法．
知识点04实际应用问题
【知识拓展1】某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．
【答案与解析】解：作AC的垂直平分线交AB于M点，
则点M为所求．
【总结升华】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
能力拓展
一．解答题（共4小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10cm，根据三角形的周长公式计算．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10cm，
∵△ABD的周长为17cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝17cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27cm．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．已知：E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，垂足分别为C、D．求证：FE是CD的垂直平分线．
【分析】根据角平分线的性质得到EC＝ED，根据全等三角形的性质得到FD＝FC，根据线段垂直平分线的判定定理证明即可．
【解答】证明：∵E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，
∴EC＝ED，
在△FDE和△FCE中，
，
∴△FDE≌△FCE，
∴FD＝FC，又EC＝ED，
∴FE是CD的垂直平分线．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握到线段的两个端点的距离相等在线段的垂直平分线上是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于点D，∠C＝60°．
（1）△ACD是什么特殊三角形？请说明理由；
（2）若AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，于是得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的定义得到AC＝2AE＝2×5＝10，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）△ACD是等边三角形，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵∠C＝60°，
∴△ACD是等边三角形；
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝2×5＝10，AD＝CD，
∵C△ABD＝AB+BD+AD＝16，
∴C△ABC＝AB+BC+AC，
＝AB+（BD+CD）+AC
＝AB+BD+AD+AC
＝C△ABD+AC
＝16+10＝26，
答：△ABC的周长是26cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，三角形周长的计算，正确的理解题意是解题的关键．
4．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；
（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．
【解答】解：
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线及轴对称的运用，需用仔细分析题意结合图形才能解决问题．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•平房区期末）到△ABC的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理解答．
【解答】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解题的关键．
2．（2023春•龙岗区期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A．26cmB．21cmC．28cmD．31cm
【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长为16，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16+10＝26（cm），
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．（2023春•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点处
B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处
D．三角形三条中线的交点处
【分析】根据性的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．（2023春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（ ）
A．12B．10C．8D．6
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据△BCE的周长等于18，求出AC的长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
由题意得，BC+CE+BE＝18，
则BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，
∴AC＝10，
故选：B．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2023秋•中山市期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，△ABC的周长为18，AE＝3，则△ABD的周长（ ）
A．12B．15C．18D．21
【分析】据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABC的周长是18，
∴AB+BC+AC＝18，
∴AB+BC＝12，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝12，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（2020秋•天宁区期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、GB＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∵FG是BC边的垂直平分线，
∴GB＝GC，
∵△BEG的周长为16，
∴GB+GE+EB＝16，
∴AE+GE+GC＝16，
∴AC+GE+GE＝16，
∵GE＝1，
∴AC＝16﹣2＝14，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（2023秋•抚顺县期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cmB．13cmC．19cmD．10cm
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝DC，求出AC和AB+BC的长，即可求出答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6cm，AD＝DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝13cm+6cm＝19cm，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
8．（2023秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若AC＝6，AB＝8，BC＝4，则△BEC的周长（ ）
A．10B．12C．8D．14
【分析】由线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，则△BCE的周长＝EB+EC+BC＝AC+BC，代入数值即可．
【解答】解：从作法可知：DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝EB+EC+BC＝AC+BC＝6+4＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，能灵活运用线段垂直平分线性质是解此题的关键．
二．填空题（共7小题）
9．（2023•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 12 ．
【分析】依据垂直平分线的性质得DB＝DC．△ABD周长转化为AB+AC即可求解．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC．
∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．
∴△ABD的周长是12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查中垂线性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等．将所求周长转化为AB+AC的和即可．
10．（2023春•揭东区期末）如图，在△ABC中，AC垂直平分线DE分别与BC、AC交于D、E，△ABD的周长是13，AE＝5，△ABC的周长是 23 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长是13，
∴AB+BD+DA＝13，
∴AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝23，
故答案为：23．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．（2023春•罗湖区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC＝2，则AC的长为 2 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到CE＝CB，∠BDC＝90°，再根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACB＝30°，则∠A＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：∵CD垂直平分BE，
∴CE＝CB，∠BDC＝90°，
∴CD平分∠BCE，即∠BCD＝∠ECD，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
而∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
12．（2023秋•大连期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4，AD＝5，则△ACD的周长为 18 ．
【分析】由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD＝5，AC＝2AE＝2×4＝8，继而求得△ADC的周长．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD＝5，AC＝2AE＝2×4＝8，
∴△ADC的周长是：AD+CD+AC＝18．
故答案为：18．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
13．（2023秋•铁岭县期末）如图，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 160 °．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝100°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝160°，
故答案为：160°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2023秋•广州月考）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D，E，若∠A＝45°，∠C＝65°，则∠EBC的度数为 25° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，得到∠EBA＝∠A＝50°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵A＝45°，∠C＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝50°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝70°﹣45°＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．（2023秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ的度数 72° ．
【分析】先根据三角形内角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ＝54°，再根据线段垂直平分线的性质∠PAB＝∠ABP，∠QAC＝∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC＝54°，便不难求出∠PAQ的度数为72°．
【解答】解：∵∠BAC＝126°，
∴∠ABP+∠ACQ＝180°﹣126°＝54°，
∵MP、NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PB＝PA，QC＝QA．
∴∠PAB＝∠ABP，∠QAC＝∠ACQ，
∴∠PAB+∠QAC＝∠ABP+∠ACQ＝54°，
∴∠PAQ＝126°﹣54°＝72°．
故答案为：72°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共7小题）
16．（2023秋•阳东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝20°，求∠C的度数．
【分析】由线段垂直平分线的性质可求得∠EAC＝∠C，再结合三角形内角和定理可求得∠C；
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠CAB＝∠EAC+20°＝∠C+20°，
∵∠C+∠CAB＝90°，
∴2∠C+20°＝90°，
∴∠C＝35°；
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
17．（2019春•龙岗区期末）如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．
求证：（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
【分析】（1）由CB＝CA，推出∠CBA＝∠CAB，由AF∥BC交DE于点F，推出∠BAF＝∠CBA，可得∠BAF＝∠CAB．
（2）由∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，可得∠E＝∠FAD．
【解答】证明：（1）∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∴CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵AF∥BC交DE于点F，
∴∠BAF＝∠CBA，
∴∠BAF＝∠CAB．
即 AB是∠CAF的角平分线．
（2）∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，
∴∠E＝∠FAD．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2023秋•玉屏县期中）如图所示，已知AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于点D，若△EBC的周长为35cm，求BC的长．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得EA＝EB，进而得到BE+EC＝AC＝20cm．又由△EBC的周长为35cm，可得BC+AC＝35cm，继而求得BC长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵AC＝20cm，
∴BE+EC＝AE+EC＝AC＝20cm，
∵△EBC的周长为35cm，即BE+EC+BC＝35cm，
∴BC＝15cm．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质证得EA＝EB是解决问题的关键．
19．（2023春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝65°，AD⊥BC，EF是边AB的垂直平分线，交BC于点E，交AB于点F，求∠DAE的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据直角三角形的性质求出∠DAC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠BAE＝∠B＝25°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝25°，
∵EF是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝25°，
∴∠DAE＝90°﹣25°﹣25°＝40°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20．（2020秋•番禺区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝76°，根据等腰三角形的性质求出∠EAB+∠GAC，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵△AEG的周长为10，
∴AE+EG+AG＝10，
∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10；
（2）∵∠BAC＝104°，
∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．（2023春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．
【分析】（1）连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，根据等腰三角形的三线合一得到∠3＝∠4，同理得到∠1＝∠2，证明结论；
（2）根据四边形的内角和等于360°求出∠BCD，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵M是CD的中点，AM⊥CD，
∴AM是线段CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，又AM⊥CD，
∴∠3＝∠4，
同理，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN；
（2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°，
∠BAD＝2∠MAN＝140°，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝20°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．（2023春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2020秋•南沙区期末）如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA＝PB，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠B，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可．
【解答】解：∵直线PC是线段AB的垂直平分线，
∴PC⊥AB，PA＝PB，
∴∠B＝∠A，∠PCA＝90°，
∵∠APC＝50°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣∠APC＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
2．（2021•越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，求出∠BAD＝∠B＝5x°，根据直角三角形的性质得出∠CAB+∠B＝90°，求出x，再求出∠B和∠BAD，根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】解：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B，
即∠B＝5x°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴2x+5x+5x＝90，
解得：x＝，
即∠B＝∠BAD＝（）°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（）°+（）°＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
3．（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．
【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
【点评】本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二．填空题（共4小题）
4．（2019秋•无锡期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为 3 cm．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到NB＝NA，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴NB＝NA，
△BCN的周长＝BC+CN+BN＝7cm，
∴BC+AC＝7cm，又AC＝4cm，
∴BC＝3cm，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2021春•商河县校级期末）如图，在△ABC中，DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，且D点在BC边上，连接AD，则∠BAC＝ 90 °．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【解答】解：∵DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，
∴BD＝AD，AD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠C+BAC＝180°，
∴2∠BAD+2∠CAD＝180°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
即∠BAC＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
6．（2020秋•连山区期末）如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为 65° ．
【分析】根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线的性质得出FA＝FD，推出∠FDA＝∠FAD，根据三角形的外角性质得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入求出即可．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能求出∠FDA＝∠FAD是解此题的关键．
7．（2021秋•千山区期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于 8 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
则△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝8，
故答案为8．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
题组C 培优拔尖练
1．（2021春•叶县期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求．
（2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2021春•市南区期末）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．
求证：DF∥AC．
证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠ BAD ＝∠ DAC （角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴ FD ＝ FA （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（ 等边对等角 ）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（ 内错角相等两直线平行 ）
【分析】根据角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角解决问题即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAC（角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴FD＝FA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（等边对等角）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（内错角相等两直线平行）．
故答案为：BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2020秋•遵化市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC＝7cm，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝7cm，
即2DE+2EC＝7cm，
∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
4．（2021秋•东平县期中）如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B＝∠CAF．
【分析】EF垂直平分AD，则可得AF＝DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的平衡转化，最终得出结论．
【解答】证明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF，
∵∠ADF＝∠B+∠BAD，
∠DAF＝∠CAF+∠CAD，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠B＝∠CAF．
【点评】熟练掌握线段垂直平分线的性质及角平分线的性质．
5．（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝∠BAM，根据角平分线的定义求出∠DAM＝∠CAD，求出∠BAD＝∠ADB，得出△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∴∠C＝∠BAM，
∵AD平分∠MAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵BE平分∠ABC，
∴BF⊥AD，AF＝FD，
即线段BF垂直平分线段AD．
【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质和三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
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