北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第4讲 角平分线（原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第4讲 角平分线（原卷版+解析)，共65页。试卷主要包含了如图，AD是△ABC的角平分线等内容，欢迎下载使用。

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
知识精讲
知识点01 角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【知识拓展1】（2021春•漳州期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
【即学即练1】（2021秋•黔西南州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【即学即练2】（2020秋•芝罘区期末）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③
【知识拓展2】（2021秋•盐池县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是 ．
【即学即练1】（2021秋•朝阳期中）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点．PE⊥BC于E点，则PE的长是 ．
【即学即练2】（2021秋•东莞市期中）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 cm2．
【即学即练3】（2021秋•千山区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于 ．
【知识拓展3】（2021秋•抚顺县期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
【即学即练1】（2019秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【即学即练2】（2021秋•龙门县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝50°．
（1）求∠AEC的度数．
（2）DE＝2，AC＝6，求△ACE的面积．
【即学即练3】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
【即学即练4】如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是
OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
知识点02 角的平分线的逆定理
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【知识拓展1】已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.
【即学即练1】如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．
知识点03 角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【知识拓展1】（2021春•济宁期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
知识点04轨迹
把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.
和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.
在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.
【知识拓展1】过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是________.
能力拓展
类型一、角的平分线的性质及判定
1、（新洲区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．
2.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.
求证：BE＝CF.
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则
△EDF的面积为：（ ）
A.11 B.5.5 C.7 D.3.5
4.如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．
类型二、角的平分线的性质综合应用
1.如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.
2.如图，已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点.问：
（1）点E在∠ABC的平分线上吗？
（2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明.
类型三、点的轨迹
1.到直线的距离等于2的点的轨迹是（ ）
A．半径为2的圆
B．与平行且到的距离等于2的一条直线
C．与平行且到的距离等于2的两条直线
D．与垂直的一条直线
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共6小题）
1．（2021春•威宁县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC交边BC于D点．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．15B．30C．10D．20
2．（2021春•铁西区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝2，则DE的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
3．（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cmB．2cmC．3cmD．4cm
4．（2021秋•黔西南州期中）如图，在△ABC中，AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且ID⊥BC，垂足为D．若△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．27B．30C．24D．18
5．（2021秋•徐闻县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．（2021秋•铁东区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3cm，则PD的长为（ ）
A．大于等于3cmB．大于3cm
C．小于等于3cmD．小于3cm
二．填空题（共6小题）
7．（2021春•丹东期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝9cm．则点D到AB的距离为 ．
8．（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 ．
9．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 ．
10．（2021秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，则CD的长为 ．
11．（2021•鞍山二模）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，则△ABC的面积为 ．
12．（2021春•大埔县期末）如图，△ABC中，AB＝5cm，AC＝12cm，BC＝13cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为 cm．
三．解答题（共4小题）
13．（2018秋•白云区期末）如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）
14．（2020秋•金乡县期中）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
15．（2019秋•武清区期中）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2020秋•花都区期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．（2020秋•中山市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．4B．6C．3D．12
3．（2021秋•铁西区期中）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共3小题）
4．（2021春•威宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝4cm，则D到AB的距离是 cm．
5．（2021春•织金县期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30，40，50，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ ．
6．（2021春•株洲期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 ．
三．解答题（共3小题）
7．（2021•章丘区模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
8．（2021秋•东莞市期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
9．（2020秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2020春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54°B．50°C．48°D．46°
二．填空题（共1小题）
2．（2021秋•高邮市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为 ．
三．解答题（共4小题）
3．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
4．（2020秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
5．（2020秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
6．（2019秋•临潼区期中）如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
第4讲 角平分线
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1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
知识精讲
知识点01 角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【知识拓展1】（2021春•漳州期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．
【即学即练1】（2021秋•黔西南州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE＝4，
∵AC＝10，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣4＝6．
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【即学即练2】（2020秋•芝罘区期末）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③
【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC＝EF＝BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF+FD＝AB+DC，∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，即可判断出正确的结论．
【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．
【知识拓展2】（2021秋•盐池县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是 5 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝2，
∴DE＝CD＝2，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×5×2＝5，
故答案为5．
【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【即学即练1】（2021秋•朝阳期中）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点．PE⊥BC于E点，则PE的长是 1 ．
【分析】连接PA，过点P作PF⊥AB于F，PH⊥AC于H，根据勾股定理求出BC，根据角平分线的性质得到PE＝PF＝PH，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接PA，过点P作PF⊥AB于F，PH⊥AC于H，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
则BC＝＝＝5，
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于P点．PE⊥BC，PF⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PF＝PH，
则S△ABC＝AB•PF+AC•PH+CB•PE＝AB•AC，
∴×（3+4+5）•PE＝×3×4，
解得：PE＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【即学即练2】（2021秋•东莞市期中）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 5 cm2．
【分析】过P作PG⊥AB于点G，依据角平分线的性质，即可得到PG的长，再根据三角形面积计算公式，即可得到△APB的面积．
【解答】解：如图所示，过P作PG⊥AB于点G，
∵∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，EF⊥AD，
∴PF＝PG，
又∵AD∥BC，
∴PF⊥BC，
∴PG＝PF，
∴PG＝PE＝PF＝EF＝2（cm），
又∵AB＝5cm，
∴△APB的面积＝AB•PG＝×5×2＝5（cm2）．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【即学即练3】（2021秋•千山区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于 10cm ．
【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CE，求出AE+DE＝AC，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝CE，
∵AC＝10cm，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC＝10cm，
故答案为：10cm．
【点评】本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
【知识拓展3】（2021秋•抚顺县期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【即学即练1】（2019秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．
【即学即练2】（2021秋•龙门县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝50°．
（1）求∠AEC的度数．
（2）DE＝2，AC＝6，求△ACE的面积．
【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠C、∠DAC的度数；然后由角平分线的性质得到∠DAE的度数；最后，利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线的性质求得点E到AC的距离为2；然后由三角形的面积公式求得答案．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝40°，
在△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝40°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝25°，
在△DAE中，
∵∠ADE＝90°，∠DAE＝25°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝65°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣65°＝115°；
（2）∵DE＝2，AE平分∠DAC，
∴点E到AC的距离为：2．
∴三角形AEC的面积为：×6×2＝6．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，是基础题，熟记概念与定理并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
【即学即练3】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【答案与解析】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．
【即学即练4】如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是
OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
【答案与解析】：解：DF=EF．
理由如下：
∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，
∴PD=PE，
由HL定理易证△OPD≌△OPE，
∴∠OPD=∠OPE，∴∠DPF=∠EPF．
在△DPF与△EPF中，
，
∴△DPF≌△EPF，
∴DF=EF.
【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相
等，是证明三角形全等的关键.
知识点02 角的平分线的逆定理
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【知识拓展1】已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.
【答案与解析】证明： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）
∴∠CDF＝∠BEF＝90°
∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)
∵ BF＝CF(已知)
∴△DFC≌△EFB(AAS)
∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)
∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）
∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
即AF为∠BAC的平分线
【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”
条件在证明结论的必要性.
【即学即练1】如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．
【答案】证明：作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，如图，
在△MOE和△NOD中，
OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，
∴△MOE≌△NOD（SAS）．
∴S△MOE=S△NOD．
∴S△MOE﹣S四边形ODCE=S△NOD﹣S四边形ODCE，
∴S△MDC=S△NEC，
∵OM=ON，OD=OE，
∴MD=NE，
由三角形面积公式得：DM×CG=×EN×CF，
∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上．
知识点03 角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【知识拓展1】（2021春•济宁期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．
【解答】解：如图，点P为所作．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
知识点04轨迹
把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.
和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.
在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.
【知识拓展1】过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是________.
【答案】以A为圆心，半径为的圆．
【解析】求圆心的轨迹实际上是求距A点三厘米能画一个什么图形．
【总结升华】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．
能力拓展
类型一、角的平分线的性质及判定
1、（新洲区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．
【思路点拨】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可．
【答案与解析】证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，
∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ=PT，PS=PT，
∴PQ=PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°，
在△AED和△AEC中
∴△AED≌△AEC，
∴CE=ED．
【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
2.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.
求证：BE＝CF.
【答案】证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°
在Rt△BDE与Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE＝CF
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则
△EDF的面积为：（ ）
A.11 B.5.5 C.7 D.3.5
【答案】 B；
【解析】解： 过D点作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF＝DH
在Rt△EDF和Rt△GDH中
DE＝DG，DF＝DH
∴Rt△EDF≌Rt△GDH
同理可证RtADF和Rt△ADH
∴
∴＝50－39＝11，
∴△EDF的面积为5.5
【总结升华】本题求△EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG和△AED的面积
来表示△EDF面积.
4.如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．
【答案与解析】证明：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N
，，且
∴
又∵AC＝BD
∴PM＝PN
又∵PM⊥OA，PN⊥OB
∴OP平分∠AOB
【总结升华】观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于
是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用
面积会取得意想不到的效果.
类型二、角的平分线的性质综合应用
1.如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.
【答案与解析】证明：①当点P与点A不重合时，在BA延长线上取一点D，使AD＝AC，连结PD.
∵P为△ABC的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2
∵在△PAD和△PAC中
∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC
∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD
∴PB＋PC＞AB＋AC.
②当点P与点A重合时，PB＋PC＝AB＋AC.
综上，PB＋PC≥AB＋AC.
【总结升华】本题利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把
分散的线段集中到同一个三角形中.
2.如图，已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点.问：
（1）点E在∠ABC的平分线上吗？
（2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明.
【答案】证明：（1）连接BE，作EH⊥AB于H，如图
∵EA平分∠BAD，DC⊥AD， EH⊥AB
∴ED=EH，
∵点E为CD的中点，
∴ED=EC，
∴EC=EH，
∵AD∥BC，DC⊥AD
∴EC⊥BC
∴BE平分∠ABC，即点E在∠ABC的平分线上；
（2）AD+BC=AB.理由如下：
在Rt△ADE和Rt△AHE中，，
∴Rt△ADE≌Rt△AHE（HL），
∴AD=AH，
同理可证明Rt△BCE≌Rt△BHE，
∴BC=BH，
∴AD+BC=AH+BH=AB.
类型三、点的轨迹
1.到直线的距离等于2的点的轨迹是（ ）
A．半径为2的圆
B．与平行且到的距离等于2的一条直线
C．与平行且到的距离等于2的两条直线
D．与垂直的一条直线
【答案】C；
【解析】到直线距离相等的点的集合是它的平行线，因为在直线两侧都可以做，所以有两条这样的直线．
【总结升华】本题考查两平行线间的距离，两条这样的直线可能有些同学考虑不到，导致误选B．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共6小题）
1．（2021春•威宁县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC交边BC于D点．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．15B．30C．10D．20
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×10×3＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．
2．（2021春•铁西区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝2，则DE的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
【分析】直接根据角平分线的性质求解．
【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，DB⊥AB，
∴DE＝DB＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cmB．2cmC．3cmD．4cm
【分析】直接利用角平分线的性质求解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴EC＝ED＝3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．（2021秋•黔西南州期中）如图，在△ABC中，AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且ID⊥BC，垂足为D．若△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．27B．30C．24D．18
【分析】过I点作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到IE＝IF＝ID＝3，然后根据三角形面积公式得到S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC＝（AB+BC+AC）．
【解答】解：过I点作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如图，
∵AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴IE＝IF＝ID＝3，
∴S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC
＝×AB×3+×BC×3+×AC×3
＝（AB+BC+AC）
＝×18
＝27．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．
5．（2021秋•徐闻县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】作DE⊥AB于E，根据三角形的面积公式求出DE，根据角平分线的性质求出CD．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：
则×AB×DE＝16，即×8×DE＝16，
解得，DE＝4，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝4，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．（2021秋•铁东区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3cm，则PD的长为（ ）
A．大于等于3cmB．大于3cm
C．小于等于3cmD．小于3cm
【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PC＝1cm，然后根据垂线段最短求解．
【解答】解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PC＝3cm，
∵点D是OB上的动点，
∴PD的最小值为3cm．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．求出P点到OB的距离为解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．（2021春•丹东期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝9cm．则点D到AB的距离为 3cm ．
【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DC，再利用BD＝2CD，BC＝9cm计算出DC，从而得到DE的长．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∵BD＝2CD，BC＝9cm，
∴CD＝BC＝3cm，
∴DE＝3cm，
即点D到AB的距离为3cm．
故答案为3cm．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 ．
【分析】由角平分线的性质可求DE＝BD＝，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝，
∴点D到AC的距离为，
故答案为．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
9．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 2.4 ．
【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝1.6，得出BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝1.6，
∴CD＝1.6，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
10．（2021秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，则CD的长为 ．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∵S△ACB＝S△ABD+S△BCD，
∴×3×4＝×4×CD+×5×DE，
解得：CD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．（2021•鞍山二模）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，则△ABC的面积为 8 ．
【分析】根据角平分线的性质可得DE、DF的长，然后根据三角形面积公式可得答案．
【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，
∴DE＝DF＝2，
∵AB＝5，AC＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD
＝AB•DE+AC•DF
＝×5×2+×3×2
＝5+3
＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解决此题关键．
12．（2021春•大埔县期末）如图，△ABC中，AB＝5cm，AC＝12cm，BC＝13cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为 2 cm．
【分析】过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接AP，如图，根据角平分线的性质得到PD＝PE＝PF，利用面积法得到•AB•PE+•BC•PD+•PF•AC＝•AB•AC，即×5×PE+×13×PD+×12×PF＝×5×12，然后解方程即可．
【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接AP，如图，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PD＝PE＝PF，
∵S△PAB+S△PBC+S△PAC＝S△ABC，
∴•AB•PE+•BC•PD+•PF•AC＝•AB•AC，
即×5×PE+×13×PD+×12×PF＝×5×12，
∴（5+12+13）PD＝60，解得PD＝2（cm）．
故答案为2．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
三．解答题（共4小题）
13．（2018秋•白云区期末）如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）
【分析】作∠AOB的平分线交MN于P点，则P点满足条件．
【解答】解：如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了角平分线的性质．
14．（2020秋•金乡县期中）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
【分析】先根据等腰三角形的判定得到PA＝PB，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到距离．
【解答】证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴P点在∠MON的平分线上，
∴OP平分∠MON．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
15．（2019秋•武清区期中）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
【分析】根据DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，可知∠CAD＝∠BAD，然后根据SAS证明△ADC≌△ADB即可证明结论．
【解答】证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2020秋•花都区期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据垂线段最短得出当DF⊥OB时，DF的值最小，根据角平分线的性质得出DF＝DE，再求出答案即可．
【解答】解：当DF⊥OB时，DF的值最小，
∵DE⊥OA，OD平分∠AOB，
∴DE＝DF，
∵DE＝4，
∴DF的最小值是4，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
2．（2020秋•中山市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．4B．6C．3D．12
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝6，即可得出选项．
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝6，
∴DP的最小值是6，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小是解此题的关键．
3．（2021秋•铁西区期中）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ＝PN，PQ＝PM，求出PQ＝PM＝PN，求出∠PMA＝∠PNC＝∠PQA＝∠PQC＝90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐个判断即可．
【解答】解：过P作PQ⊥AC于Q，
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PQ，PQ＝PN，
∴PM＝PN，
∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
，
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA＝∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴∠QPC＝∠NPC，
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，
∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，
又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
二．填空题（共3小题）
4．（2021春•威宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝4cm，则D到AB的距离是 4 cm．
【分析】结合已知条件在图形上的位置，由角平分线的性质可得点D到AB的距离是4cm．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴D到AB的距离是＝CD，
∵CD＝4cm，
∴D到AB的距离是4cm．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查角平分线的性质．解题的关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5．（2021春•织金县期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30，40，50，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ 3：4：5 ．
【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30，40，50，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5，
故答案为：3：4：5．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．（2021春•株洲期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 4 ．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，依据AD＝8，进而求出PE＝4．
【解答】解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
7．（2021•章丘区模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝28，
即DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
【点评】本题考查了角平分线的性质的应用，能根据角平分线性质得出DE＝DF是解此题的关键．
8．（2021秋•东莞市期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
【分析】求出∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，根据全等三角形的判定得出△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质得出DE＝DF，再推出答案即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，
∴点D在∠BAC的角平分线上，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能求出DE＝DF是解此题的关键．
9．（2020秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝EF，从而求出EF＝BE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，
∴EC＝EF，
∵EB＝EC，
∴EF＝BE，
又∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB平分线．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记两个性质并作出辅助线是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2020春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54°B．50°C．48°D．46°
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
二．填空题（共1小题）
2．（2021秋•高邮市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为 4 ．
【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH，DF＝DH，则DE＝DF，再证明四边形BEDF为正方形得到BE＝BF＝DE＝DF，接着证明Rt△ADE≌Rt△ADH得到AE＝AH，证明Rt△CDF≌Rt△CDH得到CP＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，所以5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，证明△DEM≌△DFP得到DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，然后证明△DMN≌△DPN得到MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，最后利用等线段代换得到△BMN的周长＝BE+BF．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵DA平分∠BAC，
∴DE＝DH，
同理可得DF＝DH，
∴DE＝DF，
∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形BEDF为正方形，
∴BE＝BF＝DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADH中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AE＝AH，
同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），
∴CF＝CH，
设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，
∵AH+CH＝AC，
∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，
即BE＝2，
在FC上截取FP＝EM，如图，
∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，
∴△DEM≌△DFP（SAS），
∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，
∴∠MDP＝∠EDF＝90°，
∵∠MDN＝45°，
∴∠PDN＝45°，
在△DMN和△DPN中，
，
∴△DMN≌△DPN（SAS），
∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，
∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
三．解答题（共4小题）
3．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；
（2）根据全等三角形的性质定理得到AC＝AE，根据（1）的结论得到答案．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．
4．（2020秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
【分析】此题容易根据条件证明△BED≌△CFD，然后利用全等三角形的性质和角平分线的性质就可以证明结论．
【解答】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
【点评】常用主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．由全等等到DE＝DF是解答本题的关键．
5．（2020秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ 1：1 ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ 9 ．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
6．（2019秋•临潼区期中）如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
【分析】利用角平分线性质作垂线得到线段相等，再利用角平分线的逆定理得到所证结果．
【解答】证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴BP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
【点评】本题考查角平分线性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．