北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第6讲 一元一次不等式的应用（原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第6讲 一元一次不等式的应用（原卷版+解析)，共80页。
实际问题会列一元一次不等式
能够利用观察一次函数图象直接求出不等式的解。
有关一元一次不等式与一次函数的实际应用方案问题，必须熟练掌握。
知识精讲
知识点01 由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
【知识拓展1】（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（ ）
A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80
C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜80
【即学即练1】（2021春•高新区期末）一次环保知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为（ ）
A．5x﹣（20﹣x）＞88B．5x﹣（20﹣x）＜88
C．5x﹣x≥88D．5x﹣（20﹣x）≥88
【即学即练2】（2021春•宜州区期末）在“建党百年”知识抢答赛中，共有20道题，对于每一题，答对得10分，答错或不答扣5分，则至少答对多少题，得分才不低于95分？设答对x题，则可列不等式为（ ）
A．10x﹣5（20﹣x）≥95B．10x+5（20﹣x）≥95
C．10x﹣5（20﹣x）＞95D．10x+5（20﹣x）＞95
【即学即练3】（2021•桂林模拟）某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（ ）
A．6x﹣2（16﹣1﹣x）≥60B．6x﹣2（16﹣1﹣x）＞60
C．6x﹣2（16﹣x）≥60D．6x﹣2（16﹣x）＞60
知识点02 一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
【知识拓展1】（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ）
A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户
【即学即练1】（2021•梁园区校级一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
【即学即练2】（2021秋•虎林市期末）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对（ ）道题．
A．12B．13C．14D．15
【即学即练3】（2021秋•永定区期末）某商店为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购买该商品（ ）
A．9件B．10件C．11件D．12件
【知识拓展2】（2021秋•盐田区校级期末）超市要到厂家采购甲、乙两种工艺品共100个，付款总额不超过11800元．已知厂家批发价与超市零售价如表：
（1）最多可采购甲种工艺品多少个？
（2）若把100个工艺品全部以零售价售出，为使利润不低于2580元，则最少采购甲种工艺品多少个？
【即学即练1】（2021秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．到商场购买了甲、乙两种文具作为奖品，若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元；
（1）求购买一个甲种、一个乙种文具各需多少元？
（2）班主任决定购买甲、乙两种文具共30个，如果班主任此次购买甲、乙两种文具的总费用不超过500元，求至多需要购买多少个甲种文具？
【即学即练2】（2021秋•澧县期末）2021年冬季即将来临，德强学校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为160元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”．
（1）求参观学生为多少人时，两种方案费用一样．
（2）学校准备租车送学生去冰雪大世界，如果单独租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，求我校七年级共有多少学生参观冰雪大世界？（司机不占用客车座位数）
（3）在（2）的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？
【知识拓展3】（2021秋•上城区校级期中）我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题，抢答规定，抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分，小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，那么小军至少要答对（ ）道题？
A．17B．18C．19D．20
【即学即练1】（2021秋•滨江区校级期中）某种商品进价为700元，标价1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打（ ）折．
A．9B．8C．7D．6
【即学即练2】（2021•嵊州市模拟）随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：
（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ）
A．240mB．300mC．320mD．360m
知识点03 一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
【知识拓展1】（2021秋•瑶海区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
【即学即练1】（2021秋•蜀山区期末）一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0）的图象如图所示，且经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集为 ．
【即学即练2】（2021秋•槐荫区期末）如图，一次函数y＝2x+8的图象经过点A（﹣2，4），则不等式2x+8＞4的解集是（ ）
A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜0D．x＞0
【即学即练3】（2021秋•龙凤区期末）一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的解集是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤3
【即学即练4】直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
【知识拓展2】（2021•滨江区校级三模）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）若a＞0，当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
【即学即练1】（2021•龙岩模拟）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：若M（1，3），N（4，3），则点P（5，4）为线段MN的一个覆盖的特征点．已知A（1，4），B（4，1），C（2，4），求解下列问题：
（1）在P1（2，4），P2（4，4），P3（5，5）中，是△ABC的覆盖特征点的有 P2，P3 ；
（2）若在一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．
【即学即练2】（2020秋•丰都县期末）问题：探究函数y＝|x+1|﹣2的图象和性质．
小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
表格中m的值为 ，n的值为 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；（提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图）
（3）进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论：
①当自变量 时，函数y随x的增大而增大；
②当自变量x的值为 时，y＝3；
③解不等式|x+1|﹣2＜0的结果为 ．
能力拓展
例1．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级一模）2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品．爱民药店库存一批N95和普通医用两种类型口罩，N95口罩进价是普通医用口罩进价的5倍，药店把N95口罩和普通医用口罩在进价基础上分别加价40%、50%做为零售价．某人在爱民药店用84元购买一种口罩，发现买普通医用口罩的数量恰好比买N95口罩的数量4倍还多4个．
（1）求两种口罩的进价分别是多少元?
（2）随着疫情的进一步恶化，爱民药店的口罩很快被抢购一空．该药店再去厂家进货时发现，由于原材料上涨，N95口罩进价上涨20%，普通医用口罩进价上涨了30%．爱民药店购进这两种口罩共1500个，在零售时，N95口罩保持原售价不变，而普通医用口罩在原售价基础上上调20%，该药店要想在这批口罩全部售出后的利润不少于2000元（不考虑其它因素），则这次至少购进N95口罩多少个?
例2．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级三模）某加工厂甲、乙二人制造同一种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙作60个所用的时间相等．
（1）求甲、乙每小时各做多少个机械零件．
（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种机械零件228个，由于乙另有其它任务，所以先由甲工作若干小时后再由甲、乙共同完成剩余的任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时？
【变式1】（2020·长沙市雅礼实验中学八年级月考）“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知购进《孟子》和《论语》，已知一本《孟子》的进价与一本《论语》的进价的和为40元，用90元购进《孟子》的本数与用150元购进《论语》的本数相同．
（1）求每本《孟子》、每本《论语》的进价分别是多少元？
（2）今年《孟子》和《论语》的单价和去年相比保持不变，该学校计划购进《孟子》和《论语》共100本，但花费总额不超过1800元，求最少购进《孟子》多少本？
【变式2】（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）受疫情影响，口罩价格不断走高.3月20日当天口罩的价格是年初的1.5倍；3月20日当天，王老师购买4盒口罩比年初多花了48元.
（1）那么3月20日当天口罩的价格为每盒多少元？
（2）3月20日，按照（1）中的口罩价格，某售卖点共卖出1000盒口罩.3月21日，政府决定投入储备口罩并规定其销售价在3月20日的基础上下调出售.该售卖点按规定价出售一批储备口罩和非储备口罩，该售卖点的非储备口罩仍按3月20日的价格出售，3月21日当天的两种口罩总销量比3月20日增加了20%，且储备口罩的销量占总销量的，两种口罩销售的总金额比3月20日至少提高了，求的最大值.
【变式3】（2020·和平县实验初级中学七年级月考）某班为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍，通过去商店了解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．现该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不少于5盒）．
（1）请用含x的代数式表示：去甲店购买所需的费用 ；去乙店购买所需的费用 ．（结果要求化简）
（2）当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算；
（3）试探究，当购买乒乓球的盒数x取什么值时，去哪家商店购买更划算？
【变式4】（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级期中）某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少购进B种台灯多少盏？
【变式5】（2020·舟山市第一初级中学八年级期中）在抗击新冠肺炎疫情期间，我校购买酒精和消毒液两种消毒物资，供师生使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于恰逢商城打折，酒精和消毒液每瓶价格分别打7折和8折，此次只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
【变式6】（2019·山西八年级期末）山西民间的雕刻艺术源远流长，主要以古代传统吉祥纹样为素材，以石雕、木雕砖雕等形式，来体现主人的高尚情操和文化修养以及人们的美好愿望.某木雕经销商购进“木象”和“木马”两种雕刻艺术品，购“木象”艺术品共用了元，“木马”艺术品共用了元已知“木马”每件的进价比“木象”每件的进价贵元，且购进“木象”“木马”的数量相同.
求每件“木象”、“木马”艺术品的进价；
该经销商将购进的两种艺术品进行销售，“木象”的销售单价为元，“木马”的销售单价为元，销售过程中发现“木象”的销量不好，经销商决定:“木象”销售一定数量后，将剩余的“木象”按原销售单价的七折销售；“木马”的销售单价保持不变要使两种艺术品全部售完后共获利不少于元，问“木象”按原销售单价应至少销售多少件？
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x＞1D．x＜1
2．如图，直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），则不等式3x﹣2＜kx+b的解为（ ）
A．x＞B．x＜C．x＞﹣D．x＜﹣
3．如图，一次函数（为常数，且）的图像经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4.如图，射线反映了某棉业有限公司的加工销售收入与销售量的之间的函数关系，射线反映了该公司的加工成本与销售量之间的关系，当该公司盈利时，销售量应为（ ）
A．大于B．等于C．小于D．大于
5．（2021秋•澧县期末）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（ ）
A．T＞37.3℃B．T＜37.3℃C．T≤37.3℃D．T≤﹣37.3℃
6．（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（ ）
A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80
C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜80
7．（2021春•龙华区期末）某校拟用不超过2600元的资金在新华书店购买党史和改革开放史书籍共40套来供学生借阅，其中党史每套72元，改革开放史每套60元，那么学校最多可以购买党史书籍多少套？设学校可以购买党史书籍x套，根据题意得（ ）
A．72x+60（40﹣x）≤2600B．72x+60（40﹣x）＜2600
C．72x+60（40﹣x）≥2600D．72x+60（40﹣x）＝2600
8．（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ）
A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户
9．（2021•梁园区校级一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
．10.（2021•集美区模拟）小军到水果店买水果，他身上带的钱恰好可以购买15个苹果或21个橙子，若小军先买了9个苹果，则他身上剩下的钱最多可买橙子（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
11．（2021春•无棣县期末）某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）折．
A．7B．6C．8D．5
12.已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为_____．
13．（2021秋•温州期中）全国文明城市创建期间，某校组织开展“垃圾分类”知识竞赛，共有25道题．答对一题记4分，答错（或不答）一题记﹣2分．小明参加本次竞赛得分要超过60分，他至少要答对 道题．
14．（2021春•老河口市期末）某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打 折．
15．（2021春•平罗县期末）在某次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场扣1分，某队预计在2019﹣2020赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛，则这个队至少胜 场才有希望进入季后赛．
16．（2021春•榆阳区期末）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购A、B两种型号的一体机共1100套，已知去年每套A型一体机1.2万元每套、B型一体机1.8万元，经过调查发现，今年每套A型一体机的价格比去年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，则该市最多可以购买 套A型一体机．
17．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表．
（1）若工厂计划获利14万元，则A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且生产A产品x件，请列出不等式．
18．（2021•福建模拟）疫情期间为了满足测温的需求，某学校决定购进一批额温枪．经了解市场，购买A种品牌的额温枪每支300元，B种品牌的额温枪每支350元．经与商家协商，A种品牌的额温枪降价15%，B种品牌的额温枪打八折销售．若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过13000元，则至少要购买A种品牌的额温枪多少支？
19．（2021春•淮阳区校级期末）某市要创建“全国文明城市”．其小区为了响应号召，计划购进A，B两种树苗共23棵．已知A种树苗每棵100元，B种树苗每棵80元．
（1）若购进A，B两种树苗共花费了2100元，问购进A，B两种树苗各多少棵？
（2）若购进A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
题组B 能力提升练
1．如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－2，4)，则不等式kx＋b＞4的解集是( )
A．x＜－2 B．x＞－2
C．x＜0 D．x＞0
2．如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为( )
A．x＞ eq \f(3,2) B．x＜ eq \f(3,2)
C．x＞3 D．x＜3
3.若一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx＋b＞1的解集为( )
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
4．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx＋b≥3的解集为( )
A．x＞－1 B．x＜－1 C．x≥3 D．x≥－1
5.如图，直线y＝kx－b与横轴、纵轴的交点分别是(m，0)，(0，n)，则关于x的不等式kx－b≥0的解集为( )
A．x≥m B．x≤m
C．x≥n D．x≤n
6.如图，直线y＝kx＋b(k、b是常数k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为___．
7.如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解集为____.
8.一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax＋b≥kx的解集为___．
9．已知一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：
①k＜0；②a＞0；③b＜0；④关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3；⑤x＞3时，y1＜y2.其中正确的结论是____．(只填序号)
10．在坐标系中作出函数y＝2x＋6的图象，利用图象解答下列问题：
(1)求方程2x＋6＝0的解；
(2)求不等式2x＋6＞－2的解集；
(3)若2≤y≤6，求x的取值范围．
11.如图，一次函数的图像与轴交于点；一次函数的图像与轴交于点，且经过点，两函数图像交于点．
（1）求，，的值；
（2）根据图象，直接写出的解集．
12.某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费25元，另收2 000的设计费；乙公司提出：每份材料收费35，不收设计费．
(1)请用含x代数式分别表示甲乙两家公司制作宣传材料的费用；
(2)试比较哪家公司更优惠？说明理由．
13.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A，B两种树苗各多少棵？
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
14.如图，一次函数的图象经过点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1
（1）求AB的函数表达式；
（2）若点D在y轴负半轴，且满足，求点D的坐标；
（3）若，请直接写出x的取值范围．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共6小题）
1．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为 ．
2．（2021秋•江北区校级期中）据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为 元．
3．（2021春•许昌期末）为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少 个窗口．
4．（2019春•沙坪坝区校级期末）为迎接建国70周年，某商店购进A，B，C三种纪念品共若干件，且A，B，C三种纪念品的数量之比为8：7：9．一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且A，B，C三种纪念品的比例为9：10：10．又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数量比第二次多170件，且A，B，C三种纪念品的比例为7：6：6．已知第一次三种纪念品总数量不超过1000件，则第一次购进A种纪念品 件．
5．（2019•沙坪坝区校级二模）临近端午，某超市准备购进某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黄粽，三种品种的粽子共1000袋（每袋均为同一品种的粽子），其中白粽每袋12个，豆沙粽每袋8个，蛋黄粽每袋6个．为了推广，超市还计划将三个品种的粽子各取出来，拆开后重新组合包装，制成A、B两种套装进行特价销售：A套装为每袋白粽4个，豆沙粽4个；B套装为每袋白粽4个，蛋黄粽2个，取出的袋数和套装的袋数均为正整数．若蛋黄粽的进货袋数不低于总进货袋数的，则豆沙粽最多购进 袋．
6．（2020秋•东阳市期末）已知直线y＝x+2与函数y＝图象交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）点A的坐标是 ；
（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连接OA′，OB′．当m＝ 时，|OA'﹣OB'|取最大值．
二．解答题（共7小题）
7．一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或不答倒扣1分，在这次竞赛中，小明获得80分以上，则小明至少答对多少道题？设小明答对x道题，用不等式表示题目中的不等关系．
8．若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品设打x折，用不等式表示题目中的不等关系．
9．（2021春•仙居县期末）某杨梅经销商以每千克40元的价格分三批向果农购进杨梅，均分拣成“特优”和“普通”两类销售，分拣和包装费用为每千克6元．每批杨梅中最差的10%不能销售，为损耗，其余杨梅均能售完．“特优”杨梅售价是每千克110元，“普通”杨梅售价为每千克30元．
（1）该经销商购进的第一批杨梅为500千克，分拣出“特优”杨梅150千克，则他获得的利润是 2500 元；
（2）该经销商购进的第二批杨梅为800千克，获利4800元，求其中售出“特优”和“普通”杨梅各多少千克？
（3）该经销商希望自己第三批杨梅的销售的利润率不少于35%，他收购杨梅时要确保能分拣出“特优”杨梅占收购总量的百分比至少要达到多少（精确到1%）？（利润＝销售收入﹣总成本，利润率＝×100%）
10．（2021春•渝中区校级期中）五月，本地新鲜枇杷大量上市，某水果超市从枇杷基地购进了一批A、B两个品种的枇杷销售，两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，前两天的销售情况如表所示：
（1）求该超市购进A、B两个品种的枇杷的成本价分别是每斤多少元？
（2）两天后剩下的B品种枇杷是剩下的A品种枇杷数量的，但A品种枇杷已经开始变坏，出现了的损耗．该超市决定降价促销：A品种枇杷按原定价打9折销售，B品种枇杷每斤在原定价基础上直接降价销售．假如除损耗的以外，第三天把剩下的枇杷全部卖完，要保证第三天的总利润率不低于7.5%，则B品种枇杷每斤在原定价基础上最多直接降价多少元？
11．（2021春•茌平区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
12．（2021春•甘井子区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q坐标为（2m﹣x，﹣y），其中m为常数，我们称点P与点Q是相关点．
例如：当m＝0时，点P（1，2）的相关点Q为（﹣1，﹣2）．
（1）当m＝1时，点P坐标为（2，3），则它的相关点Q的坐标 （0，﹣3） ；
（2）若点P在y轴上，且它的相关点Q坐标为（m+2，﹣2m）．
①求△OPQ的面积；
②若存在一点A（x，6），使△APQ的面积大于△OPQ的面积，请直接写出x的取值范围 x＜﹣3或x＞1 ；
（3）若点P（﹣m﹣3，4）和它的相关点Q到y轴的最大距离为m+8，求m的值．
13．（2021春•七星关区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线L1：y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线L2：y＝x交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）直接写出关于x的不等式﹣x+6＞x的解集；
（3）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式．
品名
批发价（元/个）
零售价（元/个）
甲种工艺品
130
160
乙种工艺品
100
120
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
2
1
m
n
﹣2
﹣1
0
1
2
…
A型
B型
进价（元/盏）
40
65
售价（元/盏）
60
100
A产品
B产品
成本/（万元/件）
2
5
利润/（万元/件）
1
3
销售时间
销售数量
销售额
A品种
B品种
第一天
400斤
500斤
4000元
第二天
300斤
800斤
4700元
第6讲 一元一次不等式的应用
目标导航
实际问题会列一元一次不等式
能够利用观察一次函数图象直接求出不等式的解。
有关一元一次不等式与一次函数的实际应用方案问题，必须熟练掌握。
知识精讲
知识点01 由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
【知识拓展1】（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（ ）
A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80
C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜80
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据小明的得分＝5×答对的题目数﹣2×答错或不答的题目数结合小明得分要超过80分，即可得出关于x的一元一次不等式．
【解答】解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，
依题意，得：5x﹣2（20﹣x）＞80．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
【即学即练1】（2021春•高新区期末）一次环保知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为（ ）
A．5x﹣（20﹣x）＞88B．5x﹣（20﹣x）＜88
C．5x﹣x≥88D．5x﹣（20﹣x）≥88
【分析】设答对的题数为x道，则答错或不答的题数为（20﹣x）道，根据总分＝5×答对题数﹣1×答错或不答题数，结合总得分不少于88分，即可得出关于x的一元一次不等式．
【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为（20﹣x）道，
则5x﹣（20﹣x）≥88．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是找到不等关系．
【即学即练2】（2021春•宜州区期末）在“建党百年”知识抢答赛中，共有20道题，对于每一题，答对得10分，答错或不答扣5分，则至少答对多少题，得分才不低于95分？设答对x题，则可列不等式为（ ）
A．10x﹣5（20﹣x）≥95B．10x+5（20﹣x）≥95
C．10x﹣5（20﹣x）＞95D．10x+5（20﹣x）＞95
【分析】根据题意可知，若设答对x道题，则不答或答错（20﹣x）道题目，再根据对于每一题，答对得10分，答错或不答扣5分，得分要不低于95分，也就是要求得分大于等于95分，从而可以写出相应的不等式．
【解答】解：设答对x道题，则不答或答错（20﹣x）道题目，
由题意可得，10x﹣5（20﹣x）≥95，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
【即学即练3】（2021•桂林模拟）某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（ ）
A．6x﹣2（16﹣1﹣x）≥60B．6x﹣2（16﹣1﹣x）＞60
C．6x﹣2（16﹣x）≥60D．6x﹣2（16﹣x）＞60
【分析】设该同学答对了x道，则答错（16﹣1﹣x）据得分超过60分列出不等式即可．
【解答】解：设答对x道，则答错（16﹣1﹣x）道，由题意得
6x﹣2（16﹣1﹣x）＞60，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题找出题目蕴含的不等关系列出不等式解决问题．
知识点02 一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
【知识拓展1】（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ）
A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户
【分析】设这个小区共有x户住户，根据每户平均支付不足1000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这个小区至少有21户住户．
【解答】解：设这个小区共有x户住户，
依题意得：1000x＞10000+500x，
解得：x＞20．
又∵x为正整数，
∴这个小区至少有21户住户．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【即学即练1】（2021•梁园区校级一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
【分析】设购买x个蓝色垃圾桶，则购买（100﹣x）个黑色垃圾桶，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5060元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出该校共有6种不同的购买方式．
【解答】解：设购买x个蓝色垃圾桶，则购买（100﹣x）个黑色垃圾桶，
依题意得：60x+50（100﹣x）≤5060，
解得：x≤6．
又∵x为正整数，
∴x可以为1，2，3，4，5，6，
∴该校共有6种不同的购买方式．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【即学即练2】（2021秋•虎林市期末）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对（ ）道题．
A．12B．13C．14D．15
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，由于x是整数，从而可以解答本题．
【解答】解：设小玉答对了x道题，
10x﹣5（20﹣x）＞95
解得，x＞13
∴小玉至少答对14道，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的一元一次不等式．
【即学即练3】（2021秋•永定区期末）某商店为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购买该商品（ ）
A．9件B．10件C．11件D．12件
【分析】购买5件需要15元，27元超过15元，则购买件数超过5件，设可以购买x件这样的商品，根据：5件按原价付款数+超过5件的总钱数≤30，列出不等式求解即可得．
【解答】解：设可以购买x（x为整数）件这样的商品．
3×5+（x﹣5）×3×0.8≤30，
解得x≤11.25，
则最多可以购买该商品的件数是11，
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式，注意x只能为整数．
【知识拓展2】（2021秋•盐田区校级期末）超市要到厂家采购甲、乙两种工艺品共100个，付款总额不超过11800元．已知厂家批发价与超市零售价如表：
（1）最多可采购甲种工艺品多少个？
（2）若把100个工艺品全部以零售价售出，为使利润不低于2580元，则最少采购甲种工艺品多少个？
【分析】（1）设采购甲种工艺品x个，则采购乙种工艺品（100﹣x）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过11800元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）设采购甲种工艺品y个，则采购乙种工艺品（100﹣y）个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设采购甲种工艺品x个，则采购乙种工艺品（100﹣x）个，
依题意得：130x+100（100﹣x）≤11800，
解得：x≤60．
答：最多可采购甲种工艺品60个．
（2）设采购甲种工艺品y个，则采购乙种工艺品（100﹣y）个，
依题意得：（160﹣130）y+（120﹣100）（100﹣y）≥2580，
解得：y≥58．
答：最少采购甲种工艺品58个．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【即学即练1】（2021秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．到商场购买了甲、乙两种文具作为奖品，若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元；
（1）求购买一个甲种、一个乙种文具各需多少元？
（2）班主任决定购买甲、乙两种文具共30个，如果班主任此次购买甲、乙两种文具的总费用不超过500元，求至多需要购买多少个甲种文具？
【分析】（1）设购买一个甲种文具需要x元，一个乙种文具需要y元，根据“若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出购买一个甲种、一个乙种文具所需费用；
（2）设需要购买m个甲种文具，则购买（30﹣m）个乙种文具，利用总价＝单价×数量，结合购买甲、乙两种文具的总费用不超过500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具需要x元，一个乙种文具需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一个甲种文具需要20元，一个乙种文具需要10元．
（2）设需要购买m个甲种文具，则购买（30﹣m）个乙种文具，
依题意得：20m+10（30﹣m）≤500，
解得：m≤20．
答：至多需要购买20个甲种文具．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【即学即练2】（2021秋•澧县期末）2021年冬季即将来临，德强学校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为160元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”．
（1）求参观学生为多少人时，两种方案费用一样．
（2）学校准备租车送学生去冰雪大世界，如果单独租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，求我校七年级共有多少学生参观冰雪大世界？（司机不占用客车座位数）
（3）在（2）的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？
【分析】（1）设参观学生为x人，根据两种优惠方案花费相等列出方程，解方程即可；
（2）设学校租用45座的客车a辆，根据两个客车所拉学生人数相等列方程，解方程即可；
（3）比较两种方案的花费得出结论．
【解答】解：（1）设参观学生为x人，两种方案费用一样，
根据题意得：160×0.9x＝160×100+（x﹣100）×160×0.8，
整理得：16x＝3200，
解得：x＝200，
答：参观学生为200人时，两种方案费用一样；
（2）设学校租用45座的客车a辆，
由题意得：45a+15＝60（a﹣1），
解得：a＝5，
∴七年级参观冰雪大世界的人数为：60（5﹣1）＝240（人），
答：我校七年级共有240人学生参观冰雪大世界；
（3）采用方案一花费：160×0.9×240＝34560（元）；
采用方案二花费：100×160+140×160×0.8＝16000+17920＝33920（元）；
∵33920＜34560，
∴采用方案二购买门票更省钱．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数，找到等量关系，列出一元一次方程．
【知识拓展3】（2021秋•上城区校级期中）我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题，抢答规定，抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分，小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，那么小军至少要答对（ ）道题？
A．17B．18C．19D．20
【分析】设小军答对x道题，由题意：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分，小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，使最后得分不少于50分，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：设小军答对x道题，
依题意得：3x﹣（20﹣x）≥50，
解得：x≥17，
∵x为正整数，
∴x的最小正整数为18，
即小军至少要答对18道题，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，找出数量关系，列出一元一次不等式是解题的关键．
【即学即练1】（2021秋•滨江区校级期中）某种商品进价为700元，标价1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打（ ）折．
A．9B．8C．7D．6
【分析】设打x折，由题意：某种商品进价为700元，标价1100元，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：设打x折，
根据题意得：1100×﹣700≥700×10%，
解得：x≥7，
即至多可以打7折．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键．
【即学即练2】（2021•嵊州市模拟）随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：
（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ）
A．240mB．300mC．320mD．360m
【分析】可设小明的速度是xm/分，则公交车速度是5xm/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为ym，计算得到小明的路程，公交车的路程，再根据到B公交站的路程之间的不等关系路程不等式求解即可．
【解答】解：设小明的速度是xm/分，则公交车速度是5xm/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为ym，
到A公交站：xt+5xt＝720，
解得xt＝120，
则5xt＝5×120＝600，
到B公交站：5y﹣600≤600+y，
解得y≤300．
故A，B两公交站之间的距离最大为300m．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找到不等关系列出一元一次不等式．
知识点03 一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
【知识拓展1】（2021秋•瑶海区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
【分析】由图象得y＝kx+b＜2时x＜﹣3．
【解答】解：由图象可得当x＜﹣3时，y＜2，
∴kx+b＜2解集为x＜﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与不等式的关系，解题关键是通过观察图象求解
【即学即练1】（2021秋•蜀山区期末）一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0）的图象如图所示，且经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集为 x＜﹣2 ．
【分析】结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＜﹣2时，y＞0，
所以不等式kx+b＞0的解集为x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【即学即练2】（2021秋•槐荫区期末）如图，一次函数y＝2x+8的图象经过点A（﹣2，4），则不等式2x+8＞4的解集是（ ）
A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜0D．x＞0
【分析】根据已知条件和一次函数的图象得出答案即可．
【解答】解：由图象可得：当x＞﹣2时，2x+8＞4，
所以不等式2x+8＞4的解集为x＞﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【即学即练3】（2021秋•龙凤区期末）一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的解集是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤3
【分析】由y＝mx﹣n的图象，根据数形结合即可直接得出答案．
【解答】解：由图象知：不等式mx﹣n≥0的解集是x≤3，
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的知识点，解答本题的关键是进行数形结合，此题比较简单．
【即学即练4】直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是 x＜﹣2 ．
【分析】看在x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b交x轴于A（﹣2，0），
∴不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣2，
故答案为：x＜﹣2．
【点评】此题主要考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值大于0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
【知识拓展2】（2021•滨江区校级三模）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）若a＞0，当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1中可求出a的值即可；
（2）a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝2时，y有最大值5，然后代入函数关系式可计算出对应a的值，即可得一次函数y1的表达式；
（3）对任意实数x，y1＞y2都成立，则直线y1与y2平行，且y1在y2的上方，所以a＝k且kx+2k﹣4＜kx﹣k+1，解得即可．
【解答】解：（1）把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1得﹣a﹣a+1＝3，解得a＝﹣1；
（2）a＞0时，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y有最大值5，把x＝2，y＝5代入函数关系式得5＝2a﹣a+1，解得a＝4，
故此时一次函数y1的表达式为y＝4x﹣3；
（3）∵对任意实数x，y1＞y2都成立，
∴直线y1与y2平行，且y1在y2的上方，
∴a＝k
∴y1＝kx﹣k+1，
∴kx+2k﹣4＜kx﹣k+1，
∴2k﹣4＜﹣k+1，
解得k＜，
∴k的取值范围是k＜且k≠0．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
【即学即练1】（2021•龙岩模拟）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：若M（1，3），N（4，3），则点P（5，4）为线段MN的一个覆盖的特征点．已知A（1，4），B（4，1），C（2，4），求解下列问题：
（1）在P1（2，4），P2（4，4），P3（5，5）中，是△ABC的覆盖特征点的有 P2，P3 ；
（2）若在一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．
【分析】（1）由定义，P2（4，4），P3（5，5）是△ABC的覆盖特征；
（2）当m＞0时，符合题意；当m＜0时，当x≥4且y≥4时，P（x，y）为△ABC的覆盖特征点，当直线y＝mx+6过点（4，4）时，求出m＝﹣是m的临界值；则可求m的取值范围为m≥﹣且m≠0．
【解答】解：（1）由定义可知，P2（4，4），P3（5，5）是△ABC的覆盖特征，
故答案为：P2，P3；
（2）①当m＞0时，符合题意；
②当m＜0时，当x≥4且y≥4时，P（x，y）为△ABC的覆盖特征点，
∵点P在一次函数y＝mx+6上，
∴当直线y＝mx+6过点（4，4）时，
4＝4m+6，
∴m＝﹣，
∴﹣≤m＜0，
综上所述：m≥﹣且m≠0．
【点评】本题考查新定义，理解题意，根据所给条件，确定是△ABC的覆盖特征点的特征是解题的关键．
【即学即练2】（2020秋•丰都县期末）问题：探究函数y＝|x+1|﹣2的图象和性质．
小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
表格中m的值为 0 ，n的值为 ﹣1 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；（提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图）
（3）进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论：
①当自变量x ＞﹣1 时，函数y随x的增大而增大；
②当自变量x的值为 4或﹣6 时，y＝3；
③解不等式|x+1|﹣2＜0的结果为 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】（1）把x＝﹣3，﹣2分别代入y＝|x+1|﹣2即可得到答案；
（2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线；
（3）根据函数图象和性质解决．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝|﹣3+1|﹣2＝0，则m＝0，当x＝﹣2时，y＝|﹣2+1|﹣2＝﹣1，则n＝﹣1．
故答案为：0，﹣1．
（2）函数图象如图所示．
（3）①当自变量x＞﹣1时，函数y随x的增大而增大；
②当自变量x的值为4或﹣6时，y＝3；
③解不等式|x+1|﹣2＜0的结果为﹣3＜x＜1．
故答案为：＞﹣1，4或﹣6，﹣3＜x＜1．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键．
能力拓展
例1．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级一模）2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品．爱民药店库存一批N95和普通医用两种类型口罩，N95口罩进价是普通医用口罩进价的5倍，药店把N95口罩和普通医用口罩在进价基础上分别加价40%、50%做为零售价．某人在爱民药店用84元购买一种口罩，发现买普通医用口罩的数量恰好比买N95口罩的数量4倍还多4个．
（1）求两种口罩的进价分别是多少元?
（2）随着疫情的进一步恶化，爱民药店的口罩很快被抢购一空．该药店再去厂家进货时发现，由于原材料上涨，N95口罩进价上涨20%，普通医用口罩进价上涨了30%．爱民药店购进这两种口罩共1500个，在零售时，N95口罩保持原售价不变，而普通医用口罩在原售价基础上上调20%，该药店要想在这批口罩全部售出后的利润不少于2000元（不考虑其它因素），则这次至少购进N95口罩多少个?
【答案】（1）普通医用口罩进价为2元，每个N95口罩进价为10元；（2）该药店至少购进N95口罩500个．
【详解】
（1）设普通医用口罩每个进价为x元，每个N95口罩进价为元．
根据题意得．
解得
经检验：是原方程的解
．
答：普通医用口罩进价为2元，每个N95口罩进价为10元．
（2）设该药店购进N95口罩y个，则购进普通医用口罩个．
根据题意得．
解得．
答：该药店至少购进N95口罩500个．
点拨：本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用．找准等量关系和数量关系是解答本题的关键．
例2．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级三模）某加工厂甲、乙二人制造同一种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙作60个所用的时间相等．
（1）求甲、乙每小时各做多少个机械零件．
（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种机械零件228个，由于乙另有其它任务，所以先由甲工作若干小时后再由甲、乙共同完成剩余的任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时？
【答案】（1）甲每小时制作18个零件，乙每小时制作12个零件；（2）乙至少工作4小时才能完成任务．
【详解】（1）设乙每小时制作x个，则甲每小时制作个．
列方程：
解得
经检验x=12是原方程的解
答：甲每小时制作18个零件，乙每小时制作12个零件．
（2）设乙工作m小时
列不等式：
解得：
答：乙至少工作4小时才能完成任务．
点拨：本题考查了分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意设未知数列出方程及不等式．
【变式1】（2020·长沙市雅礼实验中学八年级月考）“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知购进《孟子》和《论语》，已知一本《孟子》的进价与一本《论语》的进价的和为40元，用90元购进《孟子》的本数与用150元购进《论语》的本数相同．
（1）求每本《孟子》、每本《论语》的进价分别是多少元？
（2）今年《孟子》和《论语》的单价和去年相比保持不变，该学校计划购进《孟子》和《论语》共100本，但花费总额不超过1800元，求最少购进《孟子》多少本？
【答案】（1）每本《孟子》的进价为15元，每本《论语》的进价为25元；（2）最少购进《孟子》70本
【详解】
解：（1）设每本《孟子》的进价为x元，则每本《论语》的进价为（40－x）元，
根据题意得：，解得：x=15，
经检验：x=15是所列方程的解，40－15=25，
答：每本《孟子》的进价为15元，每本《论语》的进价为25元．
（2）设购进《孟子》m本，则购进《论语》（100－m）本，根据题意得：
15m+25（100－m）≤1800，解得：m≥70，
∵m为整数，
∴m最小=70；
答：最少购进《孟子》70本．
【变式2】（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）受疫情影响，口罩价格不断走高.3月20日当天口罩的价格是年初的1.5倍；3月20日当天，王老师购买4盒口罩比年初多花了48元.
（1）那么3月20日当天口罩的价格为每盒多少元？
（2）3月20日，按照（1）中的口罩价格，某售卖点共卖出1000盒口罩.3月21日，政府决定投入储备口罩并规定其销售价在3月20日的基础上下调出售.该售卖点按规定价出售一批储备口罩和非储备口罩，该售卖点的非储备口罩仍按3月20日的价格出售，3月21日当天的两种口罩总销量比3月20日增加了20%，且储备口罩的销量占总销量的，两种口罩销售的总金额比3月20日至少提高了，求的最大值.
【答案】（1）3月20日当天口罩的价格为每盒36元.（2）a的最大值为25．
【详解】
解：（1）设年初口罩的价格为每盒x元，则3月20日当天口罩的价格为每盒1.5x元，依题意有

解得 ，
.
∴3月20日当天口罩的价格为每盒36元.
（2）1000×（1+20%）=1200（盒），
=1000（盒），
1200-1000=200（盒），
依题意有，
解得a≤25．
故a的最大值为25．
【变式3】（2020·和平县实验初级中学七年级月考）某班为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍，通过去商店了解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．现该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不少于5盒）．
（1）请用含x的代数式表示：去甲店购买所需的费用 ；去乙店购买所需的费用 ．（结果要求化简）
（2）当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算；
（3）试探究，当购买乒乓球的盒数x取什么值时，去哪家商店购买更划算？
【答案】（1）（12x+180）元，（10.8x+216）元；（2）去乙商店购买较为合算；（3）当购买乒乓球的盒数x多于30盒时，去乙商店购买更划算；当购买乒乓球的盒数x等于30盒时，去两家商店购买都划算；当购买乒乓球的盒数x少于30盒且不少于5盒时，去甲商店购买更划算
【详解】
解：（1）在甲店购买的费用为48×5+（x﹣5）×12=（12x+180）元，
在乙店购买的费用为48×5×0.9+12×0.9x=（10.8x+216）元，
故答案为：（12x+180）元，（10.8x+216）元；
（2）当x=40时，12x+180=12×40+180=660元，
10.8×40+216=648元，
∵648＜660，
∴去乙商店购买较为合算；
（3）由12x+180＞10.8x+216得：x＞30，
由12x+180=10.8x+216得：x=30，
由12x+180＜10.8x+216得：x＜30，
故当购买乒乓球的盒数x超过30盒时，去乙商店购买更划算，当购买乒乓球的盒数x等于30盒时，去两家商店购买都划算；当购买乒乓球的盒数x少于30盒且不少于5盒时，去甲商店购买更划算．
【变式4】（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级期中）某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少购进B种台灯多少盏？
【答案】（1）购进A种新型节能台灯30盏，购进B种新型节能台灯20盏；（2）至少购进B种台灯27盏
【详解】
解：（1）设购进A种新型节能台灯x盏，购进B种新型节能台灯y盏，
依题意，得： ，
解得： ．
答：购进A种新型节能台灯30盏，购进B种新型节能台灯20盏．
（2）设购进B种新型节能台灯m盏，则购进A种新型节能台灯（50﹣m）盏，
依题意，得：（60﹣40）（50﹣m）+（100﹣65）m≥1400，
解得：m≥ ．
∵m为正整数，
∴m的最小值为27．
答：至少购进B种台灯27盏．
【变式5】（2020·舟山市第一初级中学八年级期中）在抗击新冠肺炎疫情期间，我校购买酒精和消毒液两种消毒物资，供师生使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于恰逢商城打折，酒精和消毒液每瓶价格分别打7折和8折，此次只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
【答案】（1）每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；（2）最多能购买消毒液11瓶．
【详解】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶.
根据题意列方程组，
得：
解得，，
答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶
（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精瓶.
根据题意，得，
解得：
∵m为正整数，
∴ ，
所以，最多能购买消毒液11瓶．
【变式6】（2019·山西八年级期末）山西民间的雕刻艺术源远流长，主要以古代传统吉祥纹样为素材，以石雕、木雕砖雕等形式，来体现主人的高尚情操和文化修养以及人们的美好愿望.某木雕经销商购进“木象”和“木马”两种雕刻艺术品，购“木象”艺术品共用了元，“木马”艺术品共用了元已知“木马”每件的进价比“木象”每件的进价贵元，且购进“木象”“木马”的数量相同.
求每件“木象”、“木马”艺术品的进价；
该经销商将购进的两种艺术品进行销售，“木象”的销售单价为元，“木马”的销售单价为元，销售过程中发现“木象”的销量不好，经销商决定:“木象”销售一定数量后，将剩余的“木象”按原销售单价的七折销售；“木马”的销售单价保持不变要使两种艺术品全部售完后共获利不少于元，问“木象”按原销售单价应至少销售多少件？
【答案】 “木象”艺术品每件进价为元，“木马”艺术品每件进价为元．至少销售件．
【详解】解:设“木象”艺术品每件进价为元，则“木马”艺术品每件进价为元.
根据题意，得，，
解得，
经检验，是原方程的解，，
答:“木象”艺术品每件进价为元，“木马”艺术品每件进价为元．
“木象”“木马”的销售量各为件，
设“木象”艺术品按原销售单价销售件，
则
解得，
答:“木象”艺术品按原销售单价应至少销售件．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x＞1D．x＜1
【答案】C
解：如图所示：不等式kx+b＞1的解集为：x＞1．
2．如图，直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），则不等式3x﹣2＜kx+b的解为（ ）
A．x＞B．x＜C．x＞﹣D．x＜﹣
【答案】B
解：∵直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），
∴观察图像得出：当x＜时，3x﹣2＜kx+b，
∴不等式3x﹣2＜kx+b的解集为x＜．
3．如图，一次函数（为常数，且）的图像经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵当x=-3时，kx+b=2，
且y随x的增大而减小，
∴不等式的解集，
4.如图，射线反映了某棉业有限公司的加工销售收入与销售量的之间的函数关系，射线反映了该公司的加工成本与销售量之间的关系，当该公司盈利时，销售量应为（ ）
A．大于B．等于C．小于D．大于
【答案】D
解：设的解析式为，将代入可得
，即，
设的解析式为，将代入可得
，，
当当该公司盈利时，
，
解得，
故选：D．
5．（2021秋•澧县期末）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（ ）
A．T＞37.3℃B．T＜37.3℃C．T≤37.3℃D．T≤﹣37.3℃
【分析】根据题意可知，体温超过37.3℃，说明体温大于37.3℃，从而可以用相应的不等式表示出来．
【解答】解：体温“超过37.3℃”用不等式表示为T＞37.3℃，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
6．（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（ ）
A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80
C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜80
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据小明的得分＝5×答对的题目数﹣2×答错或不答的题目数结合小明得分要超过80分，即可得出关于x的一元一次不等式．
【解答】解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，
依题意，得：5x﹣2（20﹣x）＞80．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
7．（2021春•龙华区期末）某校拟用不超过2600元的资金在新华书店购买党史和改革开放史书籍共40套来供学生借阅，其中党史每套72元，改革开放史每套60元，那么学校最多可以购买党史书籍多少套？设学校可以购买党史书籍x套，根据题意得（ ）
A．72x+60（40﹣x）≤2600B．72x+60（40﹣x）＜2600
C．72x+60（40﹣x）≥2600D．72x+60（40﹣x）＝2600
【分析】设学校可以购买党史书籍x套，则购买改革开放史书籍（40﹣x）套，根据不超过2600元的资金购买两种书籍，进而得出不等式即可．
【解答】解：设学校可以购买党史书籍x套，则购买改革开放史书籍（40﹣x）套，则根据题意得：
72x+60（40﹣x）≤2600．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出总费用是解题关键．
8．（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ）
A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户
【分析】设这个小区共有x户住户，根据每户平均支付不足1000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这个小区至少有21户住户．
【解答】解：设这个小区共有x户住户，
依题意得：1000x＞10000+500x，
解得：x＞20．
又∵x为正整数，
∴这个小区至少有21户住户．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9．（2021•梁园区校级一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
【分析】设购买x个蓝色垃圾桶，则购买（100﹣x）个黑色垃圾桶，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5060元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出该校共有6种不同的购买方式．
【解答】解：设购买x个蓝色垃圾桶，则购买（100﹣x）个黑色垃圾桶，
依题意得：60x+50（100﹣x）≤5060，
解得：x≤6．
又∵x为正整数，
∴x可以为1，2，3，4，5，6，
∴该校共有6种不同的购买方式．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
．10.（2021•集美区模拟）小军到水果店买水果，他身上带的钱恰好可以购买15个苹果或21个橙子，若小军先买了9个苹果，则他身上剩下的钱最多可买橙子（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【分析】由小军可以购买苹果或橙子的数，可得出苹果的单价为他身上带的钱数的、橙子的单价为他身上带的钱数的，设他身上剩下的钱可以买x个橙子，利用总价＝单价×数量，结合购买苹果和橙子的钱数不能超过他带的钱数，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出他身上剩下的钱最多可买8个橙子．
【解答】解：∵小军身上带的钱恰好可以购买15个苹果或21个橙子，
∴苹果的单价为他身上带的钱数的，橙子的单价为他身上带的钱数的．
设他身上剩下的钱可以买x个橙子，
依题意得：×9+x≤1，
解得：x≤8．
又∵x为正整数，
∴x的最大值为8，
∴他身上剩下的钱最多可买8个橙子．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
11．（2021春•无棣县期末）某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）折．
A．7B．6C．8D．5
【分析】设商店打x折销售，利用利润＝销售价格﹣进价，结合要保证利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设商店打x折销售，
依题意得：60×﹣40≥40×5%，
解得：x≥7．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
12.已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为_____．
【答案】
解：∵一次函数y=kx+b的图象过（-6，0），
∴0=-6k+b，
∴b=6k，
∴3kx-2b=3kx-12k＞0，
∵函数图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，
∴x-4＜0，
解得：x＜4．
故答案为：x＜4．
13．（2021秋•温州期中）全国文明城市创建期间，某校组织开展“垃圾分类”知识竞赛，共有25道题．答对一题记4分，答错（或不答）一题记﹣2分．小明参加本次竞赛得分要超过60分，他至少要答对 19 道题．
【分析】设小明答对x道题，则答错（或不答）（25﹣x）道题，利用总得分＝4×答对题目数﹣2×答错（或不答）题目数，结合小明参加本次竞赛得分要超过60分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：设小明答对x道题，则答错（或不答）（25﹣x）道题，
依题意得：4x﹣2（25﹣x）＞60，
解得：x＞．
又∵x为正整数，
∴x可以取的最小值为19．
故答案为：19．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14．（2021春•老河口市期末）某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打 八 折．
【分析】设该商品打x折销售，利用利润＝标价×折扣率﹣进价，结合要保证利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出该商品至多可打八折．
【解答】解：设该商品打x折销售，
依题意得：1500×﹣1000≥1000×20%，
解得：x≥8，
∴该商品至多可打八折．
故答案为：八．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
15．（2021春•平罗县期末）在某次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场扣1分，某队预计在2019﹣2020赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛，则这个队至少胜 27 场才有希望进入季后赛．
【分析】设这个队胜x场，则负（32﹣x）场，利用得分＝2×胜的场数﹣1×负的场数，结合得分不少于48分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出这个队至少胜27场才有希望进入季后赛．
【解答】解：设这个队胜x场，则负（32﹣x）场，
依题意得：2x﹣1×（32﹣x）≥48，
解得：x≥．
又∵x为整数，
∴x可以取的最小值为27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16．（2021春•榆阳区期末）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购A、B两种型号的一体机共1100套，已知去年每套A型一体机1.2万元每套、B型一体机1.8万元，经过调查发现，今年每套A型一体机的价格比去年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，则该市最多可以购买 600 套A型一体机．
【分析】设该市可以购买x套A型一体机，则购买（1100﹣x）套B型一体机，利用总价＝单价×数量，结合购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出A型一体机的最大购买量．
【解答】解：设该市可以购买x套A型一体机，则购买（1100﹣x）套B型一体机，
依题意得：1.8（1100﹣x）≥1.2×（1+25%）x，
解得：x≤600．
故答案为：600．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
17．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表．
（1）若工厂计划获利14万元，则A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且生产A产品x件，请列出不等式．
【分析】（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品y件，再根据两种产品共获利14万元，即可列方程组求解；
（2）根据计划投入资金不多于44万元，列出不等关系即可．
【解答】解：（1）设A产品生产x件，生产B种产品y件，根据题意可得：
，
解得：，
答：A产品生产8件，生产B种产品2件；
（2）根据题意可得：2x+5（10﹣x）≤44．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等量关系列方程．
18．（2021•福建模拟）疫情期间为了满足测温的需求，某学校决定购进一批额温枪．经了解市场，购买A种品牌的额温枪每支300元，B种品牌的额温枪每支350元．经与商家协商，A种品牌的额温枪降价15%，B种品牌的额温枪打八折销售．若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过13000元，则至少要购买A种品牌的额温枪多少支？
【分析】设要购买A种品牌的额温枪x支，则购买B种品牌的额温枪（50﹣x）支，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过13000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出至少要购买A种品牌的额温枪的数量．
【解答】解：设要购买A种品牌的额温枪x支，则购买B种品牌的额温枪（50﹣x）支，
依题意得：300×（1﹣15%）x+350×80%×（50﹣x）≤13000，
解得：x≥40．
答：A种品牌的额温枪至少购买40支．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
19．（2021春•淮阳区校级期末）某市要创建“全国文明城市”．其小区为了响应号召，计划购进A，B两种树苗共23棵．已知A种树苗每棵100元，B种树苗每棵80元．
（1）若购进A，B两种树苗共花费了2100元，问购进A，B两种树苗各多少棵？
（2）若购进A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）设购进A种树苗x棵，B种树苗y棵，根据A，B两种树苗共23棵，A，B两种树苗共花费了2100元，列出二元一次方程组求解；
（2）设购进A种树苗a棵，根据A种树苗的数量不少于B种树苗的数量列出不等式组，设购进两种树苗的总费用为W（元），根据单价×数量＝总费用列出W关于a的一次函数解析式，然后利用一次函数的性质分析其最值．
【解答】解：（1）设购进A种树苗x棵，B种树苗y棵，由题意可得：
，
解得：，
答：购进A种树苗13棵，B种树苗10棵；
（2）设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗（23﹣a）棵，由题意可得：
，
解得：a≥，
设购进两种树苗的总费用为W（元），
则W＝100a+80（23﹣a）＝20a+1840，
∵20＞0，
∴W随a的增大而增大，且a为非负整数，
∴当a取12时，W有最小值为20×12+1840＝2080（元），
23﹣12＝11（棵），
答：最省钱的购进方案为：购进A种树苗12棵，B种树苗11棵；此时购进费用为2080元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，理解一次函数的性质，抓住题目中“A，B两种树苗共23棵，A，B两种树苗共花费了2100元“和“单价×数量＝总费用”的等量关系是解题关键．
题组B 能力提升练
1．如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－2，4)，则不等式kx＋b＞4的解集是( )
A．x＜－2 B．x＞－2
C．x＜0 D．x＞0
【答案】B
【解析】由图象可得：当x＞－2时，kx＋b＞4，所以不等式kx＋b＞4的解集为x＞－2.
2．如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为( )
A．x＞ eq \f(3,2) B．x＜ eq \f(3,2)
C．x＞3 D．x＜3
【答案】B
【解析】∵一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，∴b＝3，
令y＝－2x＋3中y＝0，则－2x＋3＝0，解得：x＝ eq \f(3,2) .
∴点B( eq \f(3,2) ,0),观察函数图象，发现：
当x＜ eq \f(3,2) 时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式－2x＋b＞0的解集为x＜ eq \f(3,2) .
3.若一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx＋b＞1的解集为( )
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
【答案】D
【解析】如图所示：不等式kx＋b＞1的解集为：x＞1.
4．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx＋b≥3的解集为( )
A．x＞－1 B．x＜－1 C．x≥3 D．x≥－1
【答案】D
【解析】观察图象知：当x≥－1时，kx＋b≥3.
5.如图，直线y＝kx－b与横轴、纵轴的交点分别是(m，0)，(0，n)，则关于x的不等式kx－b≥0的解集为( )
A．x≥m B．x≤m
C．x≥n D．x≤n
【答案】A
【解析】∵要求kx－b≥0的解集，
∴从图象上可以看出当y＞0时，x≥m.
6.如图，直线y＝kx＋b(k、b是常数k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为___．
【答案】x＜4.
【解析】∵直线y＝kx＋b与直线y＝2交于点A(4，2)，
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx＋b＜2的解集为x＜4.
7.如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解集为____.
【答案】x≤1.
【解析】点P(m，3)代入y＝x＋2，
∴m＝1，∴P(1，3).
结合图象可知x＋2≤ax＋c的解集为x≤1.
8.一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax＋b≥kx的解集为___．
【答案】x≥－1.
【解析】从图象可看出当x≥－1，直线y＝ax＋b的图象在直线y＝kx的上方，不等式ax＋b≥kx的解集为x≥－1.
9．已知一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：
①k＜0；②a＞0；③b＜0；④关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3；⑤x＞3时，y1＜y2.其中正确的结论是____．(只填序号)
【答案】①④⑤.
【解析】∵一次函数y1＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故①正确，③错误；
∵一次函数y2＝x＋a的图象经过第一、三、四象限，
∴a＜0，故②错误；
∵一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的交点的横坐标为3，∴关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3，故④正确；
由图象可知，当x＞3时，y1＜y2，故⑤正确；
故正确的结论是①④⑤.
10．在坐标系中作出函数y＝2x＋6的图象，利用图象解答下列问题：
(1)求方程2x＋6＝0的解；
(2)求不等式2x＋6＞－2的解集；
(3)若2≤y≤6，求x的取值范围．
【解析】如图，
(1)当x＝－3时，y＝0，所以方程2x＋6＝0的解为x＝－3；
(2)当x＞－4时，y＞－2，所以不等式2x＋6＞－2的解集为x＞－4；
(3)当－2≤x≤0时，2≤y≤6，所以若2≤y≤6，x的取值范围是－2≤x≤0.
11.如图，一次函数的图像与轴交于点；一次函数的图像与轴交于点，且经过点，两函数图像交于点．
（1）求，，的值；
（2）根据图象，直接写出的解集．
解：（1）点在直线上
，
解得；
点、在直线上
，
解得：；
由图象可得，不等式组的解集为．
12.某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费25元，另收2 000的设计费；乙公司提出：每份材料收费35，不收设计费．
(1)请用含x代数式分别表示甲乙两家公司制作宣传材料的费用；
(2)试比较哪家公司更优惠？说明理由．
【解析】(1)设甲公司制作宣传材料的费用为y甲(元)，乙公司制作宣传材料的费用为y乙(元)，制作宣传材料的份数为x(份)，
依题意得y甲＝25x＋2 000；y乙＝35x.
(2)当y甲＞y乙时，即25x＋2 000＞35x，
解得：x＜200；
当y甲＝y乙时，即25x＋2 000＝35x，
解得：x＝200；
当y甲＜y乙时，即25x＋2 000＜35x，
解得：x＞200.
∴当0＜x＜200时，选择乙公司更优惠；
当x＝200时，选择两公司费用一样多；
当x＞200时，选择甲公司更优惠．
13.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A，B两种树苗各多少棵？
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【解析】(1)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，
根据题意得80x＋60(17－x)＝1 220，
解得x＝10，所以17－x＝17－10＝7，
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵．
(2)设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗(17－a)棵，
由题意得17－a eq \f(17,2) ，
所需费用为80a＋60(17－a)＝20a＋1 020(元)，
费用最省需a取最小整数9，
此时17－a＝17－9＝8，
此时所需费用为20×9＋1 020＝1 200(元).
答：购买9棵A种树苗，8棵B种树苗的费用最省，此方案所需费用为1 200元．
14.如图，一次函数的图象经过点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1
（1）求AB的函数表达式；
（2）若点D在y轴负半轴，且满足，求点D的坐标；
（3）若，请直接写出x的取值范围．
【详解】（1）当x=1时，y=3x=3，
∴点C（1,3），
∵直线y=kx+b经过点A(-1,5)，C（1,3），
∴，解得，
故AB的函数表达式为y=-x+4；
（2）∵y=-x+4与x轴交于点B，∴B（4,0），
∴===6，
∵=，∴=2,
∴==2，
∴OD=4，
故D（0，-4）；
（3）根据图像，得x＞1.
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共6小题）
1．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为 3x≥300﹣60 ．
【分析】第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，即比原计划的天数少3天的时间，完成的工作要大于或等于完成第一天以后剩余的工作．
【解答】解：由题意，列出不等关系
x（6﹣1﹣2）+60≥300，
化简得3x≥300﹣60．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
2．（2021秋•江北区校级期中）据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为 28.75 元．
【分析】设出未知数，表示四部小说的单价、数量、总价，分别根据题意，列出相应的方程或不等式，确定未知数的值，或未知数的取值范围，最后根据“当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时”求出相应的《长津湖》的单价即可．
【解答】解：设《长津湖》的单价为m元/本，《五个扑火的少年》单价为n元/本，则《我和我的父辈》的单价也为m元/本，《铁道英雄》的单价为3n元/本，
设《长津湖》的销售量为a本，《铁道英雄》的销售量为b本，则《五个扑火的少年》的销售量为a本，《我和我的父辈》的销售量为3b本，
单价、数量、总价之间的关系可用下表表示：
∵《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，
∴a+b＝450，即，b＝450﹣a，
《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，
∴a≥b，a＜230，b＝450﹣a，
∴180≤a＜230，
又∵《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元，
∴50＜m+n≤60，
∵《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，
∴ma+n（1350﹣3a）＝m（1350﹣3a）+na+2205，即：（m﹣n）（4a﹣1350）＝2205，
∵180≤a＜230，
∴4a﹣1350＜0，
∴m﹣n＜0，即m＜n，
当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，即ma+n（1350﹣3a）＝ma+1350n﹣3an最大，
也就是3an的值最小，此时m最大，
∵a的最小值为180，代入（m﹣n）（4a﹣1350）＝2205，得，
m﹣n＝﹣2.5，即n＝m+2.5，
又∵50＜m+n≤60，即50＜m+m+2.5≤60，
∴23.75＜m≤28.75，
∵m需取最大值，
∴m＝28.75，
故答案为：28.75．
【点评】考查一次函数、一元一次不等式的应用等知识，根据题意设未知数，建立相应的方程和不等式求出未知数的值或取值范围是解决问题的关键．
3．（2021春•许昌期末）为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少 9 个窗口．
【分析】设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为z人，并设同时开n个窗口，可列出不等式求解．
【解答】解：设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为z人，并设同时开n个窗口，依题意有
由①、②得y＝x，z＝90x，代入③得10nx≥90x﹣2x，
所以n≥8.8．
因此，至少要同时开9个窗口．
故答案为：9
【点评】考查一元一次不等式组的应用；一些必须的量没有时，应设其为未知数；当题中有多个未知数时，应利用相应的方程用其中一个未知数表示出其余未知数；得到20分钟n个窗口卖出午餐数的关系式是解决本题的关键．
4．（2019春•沙坪坝区校级期末）为迎接建国70周年，某商店购进A，B，C三种纪念品共若干件，且A，B，C三种纪念品的数量之比为8：7：9．一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且A，B，C三种纪念品的比例为9：10：10．又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数量比第二次多170件，且A，B，C三种纪念品的比例为7：6：6．已知第一次三种纪念品总数量不超过1000件，则第一次购进A种纪念品 320 件．
【分析】可设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，根据第一次三种纪念品总数量不超过1000件，列出方程组和不等式求解即可．
【解答】解：设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，
则24x＝29y﹣200＝19z﹣370＝m，
∵0＜m≤1000，
∴0＜x≤41，6＜y≤41，19＜z≤72，
∵x，y、z均为正整数，
∴1≤x≤41，7≤y≤41，20≤z≤72，
24x＝29y﹣200化为：x＝y﹣8+，
∴5y﹣8＝24n（n为正整数），
∴5y＝8+24n＝8（1+3n），
∴y＝8k（k为正整数），5k＝3n+1，
∴7≤8k≤41，n＝k+，
∴1≤k≤5，1≤2k﹣1≤9，
∵2k﹣1必为奇数且是3的整数倍．
∴2k﹣1＝3或2k﹣1＝9，
∴k＝2或k＝5，
当k＝2时，y＝16，x＝11，z＝33（舍）
∴k只能为5，
∴y＝40，x＝40，z＝70．
∴8x＝8×40＝320．
答：第一次购进A种纪念品320件．
故答案为：320．
【点评】考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程组并能在给定约束条件求解不定方程的整数解．
5．（2019•沙坪坝区校级二模）临近端午，某超市准备购进某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黄粽，三种品种的粽子共1000袋（每袋均为同一品种的粽子），其中白粽每袋12个，豆沙粽每袋8个，蛋黄粽每袋6个．为了推广，超市还计划将三个品种的粽子各取出来，拆开后重新组合包装，制成A、B两种套装进行特价销售：A套装为每袋白粽4个，豆沙粽4个；B套装为每袋白粽4个，蛋黄粽2个，取出的袋数和套装的袋数均为正整数．若蛋黄粽的进货袋数不低于总进货袋数的，则豆沙粽最多购进 360 袋．
【分析】根据取出的三种粽子的个数与套装中的各种粽子的个数对应相等，可以得到白粽和豆沙粽的袋数之间的关系，再由蛋黄粽的进货量不低于总进货量的，列不等式求出豆沙粽袋数的取值范围，从而确定豆沙粽最多购进的袋数，然后验证取出的袋数和套装的袋数均为正整数即可．
【解答】解：设购进的豆沙粽为x袋，白粽y袋，则蛋黄粽为（1000﹣x﹣y）袋，
于是，取出的豆沙粽的个数为x×8＝x个；取出的白粽的个数为y×12＝y个；取出的蛋黄粽的个数为（1000﹣x﹣y）×6＝（1000﹣x﹣y）个；
因此A套装的套数为：x÷4＝x套，B套装的套数为：（1000﹣x﹣y）÷2＝（1000﹣x﹣y）套，
根据两种套装的白粽个数等于取出的白粽的个数得：
4×x+4×（1000﹣x﹣y）＝y
整理得：x+6y＝3000，
又∵蛋黄粽的进货袋数不低于总进货袋数的，
∴1000﹣x﹣y≥1000×
把x+6y＝3000，代入1000﹣x﹣y≥1000×中，
解得：x≤360，
x为正整数，因此x＝360．
故答案为：360．
【点评】考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确的表示各种粽子的袋数，个数，根据蛋黄粽的进货数量的要求列出不等式求解验证．
6．（2020秋•东阳市期末）已知直线y＝x+2与函数y＝图象交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）点A的坐标是 （﹣，） ；
（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连接OA′，OB′．当m＝ 6 时，|OA'﹣OB'|取最大值．
【分析】（1）因为点A在点B左边，联立方程y＝x+2与y＝﹣x﹣1求解．
（2）O，A'，B'共线时满足题意，用含m代数式分别表示A'，B'坐标，然后代入正比例函数解析式求出m即可．
【解答】解：（1）联立方程，
解得，
∴A（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
（2）联立方程，
解得，
∴点B坐标为（，），
将A，B向右平移m个单位得A'（﹣+m，），B'（+m，），
∴OA'＝，OB'＝，
∵三角形中两边之差小于第三边，
∴O，A，B三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值，最大值为AB长度，
设O，A，B所在直线正比例函数为y＝kx，
将A'，B'坐标代入可得：
，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数的性质及求线段和差最值的方法．
二．解答题（共7小题）
7．一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或不答倒扣1分，在这次竞赛中，小明获得80分以上，则小明至少答对多少道题？设小明答对x道题，用不等式表示题目中的不等关系．
【分析】理解：80分以上，意思是大于80分．
本题的不等关系为：4×答对的题数﹣1×答错或不答的题数＞80．
【解答】解：设小明答对x道题，根据题意，得
4x﹣（30﹣x）＞80．
【点评】读懂题意，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
8．若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品设打x折，用不等式表示题目中的不等关系．
【分析】利润率不低于5%，即是利润应大于或等于利润率的5%．
利润有两种表示方法：利润＝售价﹣成本＝成本×利润率．
本题满足的关系为：售价﹣进价≥500×5%．
【解答】解：设应打x折，根据题意，得750×﹣500≥500×5%．
【点评】应抓住关键词语不低于，得到不等式．
本题还需注意：（1）利润的两种表示方法；（2）打几折，即原价的十分之几．
9．（2021春•仙居县期末）某杨梅经销商以每千克40元的价格分三批向果农购进杨梅，均分拣成“特优”和“普通”两类销售，分拣和包装费用为每千克6元．每批杨梅中最差的10%不能销售，为损耗，其余杨梅均能售完．“特优”杨梅售价是每千克110元，“普通”杨梅售价为每千克30元．
（1）该经销商购进的第一批杨梅为500千克，分拣出“特优”杨梅150千克，则他获得的利润是 2500 元；
（2）该经销商购进的第二批杨梅为800千克，获利4800元，求其中售出“特优”和“普通”杨梅各多少千克？
（3）该经销商希望自己第三批杨梅的销售的利润率不少于35%，他收购杨梅时要确保能分拣出“特优”杨梅占收购总量的百分比至少要达到多少（精确到1%）？（利润＝销售收入﹣总成本，利润率＝×100%）
【分析】（1）用总收入﹣成本﹣包装费即可求解；
（2）设售出“特优”杨梅x千克，“普通”杨梅y千克，根据购进的第二批杨梅为800千克，获利4800元列出方程即可解答；
（3）设收购总量为m千克，“特优”杨梅占收购总量的百分比为a，根据第三批杨梅的销售的利润率不少于35%列出不等式即可解答．
【解答】解：（1）110×150+（500﹣150﹣500×10%）×30﹣6×500﹣40×500＝2500；
（2）设售出“特优”杨梅x千克，“普通”杨梅y千克，
则
解得；
答：售出“特优”杨梅250千克，“普通”杨梅470千克．
（3）设收购总量为m千克，“特优”杨梅占收购总量的百分比为a，
则≥35%，
解得a≥43.875%，
即a≥44%．
答：他收购杨梅时要确保能分拣出“特优”杨梅占收购总量的百分比至少要达到44%．
【点评】本题以销售为背景考查了一元一次不等式和二元一次方程组的知识，解题时找到等量关系和不等量关系，根据等量关系列出方程，不等量关系列出不等式是解题的关键．
10．（2021春•渝中区校级期中）五月，本地新鲜枇杷大量上市，某水果超市从枇杷基地购进了一批A、B两个品种的枇杷销售，两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，前两天的销售情况如表所示：
（1）求该超市购进A、B两个品种的枇杷的成本价分别是每斤多少元？
（2）两天后剩下的B品种枇杷是剩下的A品种枇杷数量的，但A品种枇杷已经开始变坏，出现了的损耗．该超市决定降价促销：A品种枇杷按原定价打9折销售，B品种枇杷每斤在原定价基础上直接降价销售．假如除损耗的以外，第三天把剩下的枇杷全部卖完，要保证第三天的总利润率不低于7.5%，则B品种枇杷每斤在原定价基础上最多直接降价多少元？
【分析】（1）设枇杷A的销售价为每斤x元，枇杷B售价为每斤y元，根据第一天和第二天的销售额列出方程组即可求得A，B的售价，根据两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，求出成本价；
（2）设枇杷A剩余a斤，则枇杷B剩余a斤，枇杷B每斤降价z元，求出第三天的总销售额和总成本，即可得到总利润，根据第三天的总利润不低于7.5%列出不等式，即可求得z．
【解答】解：（1）设枇杷A的销售价为每斤x元，枇杷B售价为每斤y元，
则，
解得，
因为两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，则成本价的1.25倍是售价，
A成本价：5÷1.25＝4（元/斤），
B成本价：4÷1.25＝3.2（元/斤），
答：A、B两个品种的枇杷的成本价分别是4元/斤和3.2元/斤；
（2）设枇杷A剩余a斤，则枇杷B剩余a斤，枇杷B每斤降价z元，
第三天总销售额：5a（1﹣）×+（4﹣z）•a＝6.7a﹣az，
第三天总成本：4a+3.2×a＝6a，
由题意知总利润不低于7.5%，
∴6.7a﹣az﹣6a≥6a•7.5%，
∴z≤0.4，
∴B种枇杷最多每斤降0.4元．
【点评】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，体现了应用意识，找到题目中的等量关系和不等关系是解题的关键．
11．（2021春•茌平区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象以及点A坐标即可求解．
【解答】解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC的面积＝×6×3＝9；
（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积．
12．（2021春•甘井子区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q坐标为（2m﹣x，﹣y），其中m为常数，我们称点P与点Q是相关点．
例如：当m＝0时，点P（1，2）的相关点Q为（﹣1，﹣2）．
（1）当m＝1时，点P坐标为（2，3），则它的相关点Q的坐标 （0，﹣3） ；
（2）若点P在y轴上，且它的相关点Q坐标为（m+2，﹣2m）．
①求△OPQ的面积；
②若存在一点A（x，6），使△APQ的面积大于△OPQ的面积，请直接写出x的取值范围 x＜﹣3或x＞1 ；
（3）若点P（﹣m﹣3，4）和它的相关点Q到y轴的最大距离为m+8，求m的值．
【分析】（1）根据定义代入相关点Q坐标（2m﹣x，﹣y）计算即可；
（2）①根据定义代入相关点Q坐标（2m﹣x，﹣y）列方程即可求出m和P、Q坐标，由此求出三角形面积；
②构造图形根据A（x，6）的位置用x表示出△APQ的面积，列不等式求解即可；
（3）根据定义可得点P（﹣m﹣3，4）的相关点Q坐标，由到y轴的最大距离为m+8列方程即可解答．
【解答】解：（1）当m＝1时，点P坐标为（2，3），
则2m﹣x＝2﹣2＝0，﹣y＝﹣3，
∴点Q坐标为（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）；
（2）若点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），则且它的相关点Q坐标为（2m，﹣y），
又相关点Q坐标为（m+2，﹣2m）．
∴m+2＝2m，
解得：m＝2，
∴y＝2m＝4，
∴P点坐标为（0，4），Q坐标为（4，﹣4），
①如图1，过Q点作NQ垂直于y轴，垂足为N，
由图可知：OP＝4，NQ＝4，
∴S△OPQ＝OP•NQ＝×4×4＝8，
②点A在y轴左侧时，如图1，过点A作AT⊥x轴，过点Q作TQ⊥y轴，AT、TQ交于点T，TQ交y轴于N，
∵A（x，6），P点坐标为（0，4），Q坐标为（4，﹣4），
∴AT＝10，PN＝8，NQ＝4，TN＝|x|＝﹣x，TQ＝|4﹣x|＝4﹣x，
∴S△APQ＝S梯形ATNP+S△NPQ﹣S△ATQ＝（AT+PN）•TN+PN•NQ﹣AT•TQ＝×（10+8）•（﹣x）+×8×4﹣×10•（4﹣x）＝﹣4x﹣4，
∵△APQ的面积大于△OPQ的面积，
∴﹣4x﹣4＞8，
∴x＜﹣3，
当点A在y轴右侧时，如图2，过点A作AM⊥y轴，过点Q作NQ⊥y轴，垂足分别为M、N，
∵A（x，6），P点坐标为（0，4），Q坐标为（4，﹣4），
∴AM＝x，PN＝8，NQ＝4，MP＝2，MN＝10，
∴S△APQ＝S梯形ATNP﹣S△NPQ﹣S△AMP＝（AM+NQ）•MN﹣PN•NQ﹣AM•MP＝（4+x）•10﹣×8×4﹣×2x＝4x+4，
∵△APQ的面积大于△OPQ的面积，
∴4x+4＞8，
∴x＞1，
综上所述：存在一点A（x，6），使△APQ的面积大于△OPQ的面积，x的取值范围为：x＜﹣3或x＞1；
故答案为：x＜﹣3或x＞1；
（3）∵2m﹣（﹣m﹣3）＝3m+3，
∴点P（﹣m﹣3，4）的相关点Q坐标为（3m+3，﹣4），
I、当Q坐标到y轴的距离为最大值m+8时，
则|3m+3|＝m+8，
解得m＝或m＝﹣，
若m＝时，则P点坐标为（﹣，4），Q点坐标为（，﹣4），此时P、Q两点到y轴的距离最大值为，
若m＝﹣时，则P点坐标为（﹣，4），Q点坐标为（﹣，﹣4），此时P、Q两点到y轴的距离最大值为，
II、若P坐标到y轴的距离为最大值m+8时，
则|﹣m﹣3|＝m+8，
解得m＝﹣，
若m＝﹣时，则P点坐标为（，4），Q点坐标为（﹣，﹣4），此时P、Q两点到y轴的距离最大值为，不符合题意舍去，
综上所述，m＝或m＝﹣时Q点到y轴的距离为最大值m+8．
【点评】本题主要考查了坐标与图形和一元一次不等式应用，解题关键是理解相关点定义，灵活运用相关知识解决问题，难点是构造图形求三角形面积和分类讨论．
13．（2021春•七星关区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线L1：y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线L2：y＝x交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）直接写出关于x的不等式﹣x+6＞x的解集；
（3）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式．
【分析】（1）两直线有公共点即可求得点A，与x、y轴交点即为直线l与坐标轴的交点；
（2）找到直线L1：y＝﹣x+6在直线L2：y＝x上面的部分即为所求；
（3）由题意三角形COD的面积为12，并利用列出式子，求得点D的横坐标，代入直线l求得点D的纵坐标，现在有两点C，D即能求得直线CD．
【解答】解：（1）直线L1：y＝﹣x+6，
当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝12，
则B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
则A（6，3），
故A（6，3），B（12，0），C（0，6）．
（2）关于x的不等式﹣x+6＞x的解集为：x＜6；
（3）设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴×6×x＝12，
解得：x＝4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y＝kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：，
解得：．
∴直线CD的函数表达式为：y＝﹣x+6．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交即为求两直线方程组，解即为交点，直线与坐标轴的交点容易求得．同时考查了待定系数法求一次函数．品名
批发价（元/个）
零售价（元/个）
甲种工艺品
130
160
乙种工艺品
100
120
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
2
1
m
n
﹣2
﹣1
0
1
2
…
A型
B型
进价（元/盏）
40
65
售价（元/盏）
60
100
A产品
B产品
成本/（万元/件）
2
5
利润/（万元/件）
1
3
销售时间
销售数量
销售额
A品种
B品种
第一天
400斤
500斤
4000元
第二天
300斤
800斤
4700元