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初中数学人教版七年级下册5.1.1 相交线课堂检测
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这是一份初中数学人教版七年级下册5.1.1 相交线课堂检测，共20页。试卷主要包含了1相交线专项提升训练等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022春•碑林区校级月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（ ）的长度．
A．CDB．ADC．BDD．BC
3．（2022春•新城区校级期中）如图，两条直线交于点O，若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．80°C．100D．140°
4．（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3B．4C．4.3D．5
5．（2022春•都江堰市校级期中）已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
6．（2022春•南昌期中）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，如果∠EOB＝55°，那么∠BOD的度数是（ ）
A．35°B．55°C．70°D．110°
7．（2023秋•钱塘区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点
C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度
8．（2023秋•玄武区期末）若∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，则∠4与∠1的数量关系是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠4+∠1＝90°C．∠1﹣∠4＝90°D．∠4﹣∠1＝90°
9．（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，则∠AOF的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
10．（2022春•龙岗区校级期中）观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（ ）
A．10B．14C．21D．15
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•市中区校级月考）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在 点．理由： ．
12．（2022春•天府新区月考）如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝4cm，CD＝3cm，CF＝6cm．则点C到AB的距离是 cm．
13．（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 ．
14．（2022春•章丘区期中）如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，则∠AOC＝ ．
15．（2022秋•站前区校级月考）一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且这两个角之差为40°，那么这两个角分别为 ．
16．（2023秋•开福区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°6'，则∠AOC的度数为 ．
17．（2022•南京模拟）在同一平面内，∠A的两边分别与∠B的两边垂直，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B＝ ．
18．（2022春•招远市期末）如图，直线AB，CD相交于点O．射线OE⊥CD，给出下列结论：
①∠2和∠4互为对顶角．
②∠3+∠2＝180°；
③∠5与∠4互补；
④∠5＝∠3﹣∠1；
其中正确的是 （填序号）
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•鼓楼区期中）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）写出图中∠BOD的对顶角 ，和两个邻补角 ；
（2）若∠BOD＝40°，求∠EOC的度数．
20．（2022春•思明区校级期中）如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝1：2，OA平分∠EOC，求∠BOD．
21．（2022春•如皋市期中）如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，若∠AOC：∠BOC＝1：2，求∠EOD的度数．
22．（2022春•和平区校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．
（1）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度数；
（2）猜想OA与OB之间的位置关系，并证明．
23．（2023秋•无锡期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）若∠BOD＝65°，求∠BOE．
（2）若∠AOE＝∠BOF﹣10°，求∠COE．
24．（2022春•渌口区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题5.1相交线专项提升训练（重难点培优）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义进行判断即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，
图中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
2．（2022春•碑林区校级月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（ ）的长度．
A．CDB．ADC．BDD．BC
【分析】根据点到直线的距离的概念判断即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴点A到AB的距离是线段AD的长度，
故选：B．
3．（2022春•新城区校级期中）如图，两条直线交于点O，若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．80°C．100D．140°
【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，
∴∠1＝40°，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝140°．
故选：D．
4．（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3B．4C．4.3D．5
【分析】由点到直线的距离概念，即可选择．
【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
∴点P到直线l的距离为垂线段PO的长度，
故选：B．
5．（2022春•都江堰市校级期中）已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【分析】由垂线的性质，即可选择．
【解答】解：∵在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴点P画直线l的垂线，只能画一条．
故选：A．
6．（2022春•南昌期中）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，如果∠EOB＝55°，那么∠BOD的度数是（ ）
A．35°B．55°C．70°D．110°
【分析】根据角平分线的定义，得∠BOC＝2∠EOB＝110°．再根据邻补角的定义，得∠BOD＝180°﹣∠BOC＝70°．
【解答】解：∵OE平分∠COB，∠EOB＝55°，
∴∠BOC＝2∠EOB＝110°．
∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝70°．
故选：C．
7．（2021秋•钱塘区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点
C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度
【分析】根据对顶角性质、线段中点的定义、点到直线的距离，逐一判定即可解答．
【解答】解：A、对顶角相等，但是相等的角不一定是是对顶角，故本选项不符合题意；
B、三点不在一条直线上，AB＝BC，但是B不是线段AC的中点，故本选项不符合题意；
C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故此选项不符合题意；
D、若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度，故此选项符合题意；
故选：D．
8．（2021秋•玄武区期末）若∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，则∠4与∠1的数量关系是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠4+∠1＝90°C．∠1﹣∠4＝90°D．∠4﹣∠1＝90°
【分析】根据∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角求出∠4﹣∠1＝90°，解答即可．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝180°，∠4＝∠3，
∴∠3﹣∠1＝90°，
∴∠4﹣∠1＝90°，
故选：D．
9．（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，则∠AOF的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据对顶角、邻补角、角平分线的定义解决此题．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°．
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°．
∵∠AOC﹣2∠AOE＝20°，
∴∠AOE＝20°．
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝100°．
∵射线OF平分∠DOE，
∴∠DOF＝＝50°．
∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣50°＝70°．
故选：C．
10．（2022春•龙岗区校级期中）观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（ ）
A．10B．14C．21D．15
【分析】根据图示解决问题．
【解答】解：两条直线相交，最多交点数为1个；
三条直线相交，最多交点数为1+2＝3（个）；
四条直线相交，最多交点数为1+2+3＝6（个）；
五条直线相交，最多交点数为1+2+3+4＝10（个）．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•市中区校级月考）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在 A 点．理由： 垂线段最短 ．
【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案．
【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，理由：垂线段最短．
故答案为：A，垂线段最短．
12．（2022春•天府新区月考）如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝4cm，CD＝3cm，CF＝6cm．则点C到AB的距离是 3 cm．
【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD＝3cm，
∴点C到AB的距离是CD＝3cm，
故答案为：3．
13．（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 38° ．
【分析】由平角的定义可知∠EOD+∠EOC＝180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂线的定义可知∠DOB＝90°，从而求得∠BOF的度数．
【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，
∴∠DOF＝∠EOC＝52°，
∵CD⊥AB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，
故答案为：38°．
14．（2022春•章丘区期中）如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，则∠AOC＝ 150° ．
【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．
【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝60°，∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＝30°，
∵∠AOC+∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝150°，
故答案为：30°．
15．（2022秋•站前区校级月考）一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且这两个角之差为40°，那么这两个角分别为 70°，110° ．
【分析】由这两个角互为补角，即可计算．
【解答】解：∵四边形ADBC内角和是360°，
∴∠A+∠B＝360°﹣∠ACB﹣∠ADB，
∵BC⊥AC，BD⊥AD，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B﹣∠A＝40°，
∴∠A＝70°，∠B＝110°，
故答案为：70°，110°．
16．（2021秋•开福区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°6'，则∠AOC的度数为 49°54' ．
【分析】直接利用垂直的定义结合平角的定义得出答案．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOC＝90°，
∵∠BOE＝40°6'，
∴∠AOC＝180°﹣90°﹣40°6'＝49°54'．
故答案为：49°54'．
17．（2022•南京模拟）在同一平面内，∠A的两边分别与∠B的两边垂直，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B＝ 30°或70° ．
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x，
∵x＝2x﹣30，
解得：x＝30，
故∠B＝30°，
②两个角互补时，如图2：
∵x+2x﹣30＝180，
解得：x＝70，
故∠B的度数为：30°或70°．
故答案为：30°或70°．
18．（2022春•招远市期末）如图，直线AB，CD相交于点O．射线OE⊥CD，给出下列结论：
①∠2和∠4互为对顶角．
②∠3+∠2＝180°；
③∠5与∠4互补；
④∠5＝∠3﹣∠1；
其中正确的是 ①②④ （填序号）
【分析】直接利用对顶角以及垂线的定义、互为补角的定义分别分析得出答案．
【解答】解：∵OE⊥CD，直线AB，CD相交于点O，
∴①∠2和∠4互为对顶角，正确；
②∠3+∠2＝180°，正确；
③∠5与∠4互为余角，故此选项错误；
④∠5＝∠1+∠5﹣∠1＝∠3﹣∠1，故正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•鼓楼区期中）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）写出图中∠BOD的对顶角 ∠AOC ，和两个邻补角 ∠AOD，∠BOC ；
（2）若∠BOD＝40°，求∠EOC的度数．
【分析】（1）由对顶角，邻补角的概念，即可解决问题，
（2）由角平分线，邻补角的概念，即可求解．
【解答】解；（1）∠BOD的对顶角是∠AOC，两个邻补角是∠AOD，∠BOC，
故答案为：∠AOC；∠AOD，∠BOC；
（2）∵OB平分∠EOD，
∴∠DOE＝2∠BOD＝80°，
∵∠EOC+∠DOE＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣∠DOE＝100°．
20．（2022春•思明区校级期中）如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝1：2，OA平分∠EOC，求∠BOD．
【分析】由对顶角，邻补角的性质，角平分线的概念，即可计算．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，
∴∠EOD＝2∠EOC，
∵∠EOC+∠EOD＝180°，
∴3∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
21．（2022春•如皋市期中）如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，若∠AOC：∠BOC＝1：2，求∠EOD的度数．
【分析】由∠AOC：∠BOC＝1：2，可求∠AOC，再由OE⊥AB，即可求解．
【解答】∵∠AOC：∠BOC＝1：2，
∠BOC＝2∠∠AOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝30°．
22．（2022春•和平区校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．
（1）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度数；
（2）猜想OA与OB之间的位置关系，并证明．
【分析】（1）根据平角的定义以及角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据平角的定义，角平分线的定义以及对顶角，设未知数表示图形中的各个角，再根据角之间的和差关系得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣40°＝140°，
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠AOF，
∴∠COF＝×140°＝70°＝∠DOE，
即∠DOE＝70°；
（2）OA⊥OB，
证明：设∠BOD＝α，则∠AOE＝2∠BOD＝2α，
∵∠AOE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣2α，
又∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝∠COF＝＝90°﹣α，
又∵∠DOE＝∠COF＝90°﹣α，
∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣2α，
∴∠AOB＝∠AOE+∠BOE
＝2α+（90°﹣2α）
＝90°，
即OA⊥OB．
23．（2021秋•无锡期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）若∠BOD＝65°，求∠BOE．
（2）若∠AOE＝∠BOF﹣10°，求∠COE．
【分析】（1）根据对顶角的定义，由∠AOC与∠BOD是对顶角，得∠AOC＝∠BOD＝65°．由∠AOE：∠EOC＝2：3，求得∠AOE＝＝26°．根据邻补角的定义，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝154°．
（2）设∠AOE＝2x，∠EOC＝3x．由∠AOE＝∠BOF﹣10°，得∠BOF＝4x+20°．根据角平分线的定义，由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝8x+40°．根据邻补角的定义，得∠AOE+∠BOE＝2x+8x+40°＝180°，进而解决此题．
【解答】解：（1）∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝65°．
∵∠AOE：∠EOC＝2：3，
∴∠AOE＝＝26°．
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣26°＝154°．
（2）设∠AOE＝2x，∠EOC＝3x．
∵∠AOE＝∠BOF﹣10°，
∴∠BOF＝4x+20°．
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOE＝2∠BOF＝8x+40°．
∴∠AOE+∠BOE＝2x+8x+40°＝180°．
∴x＝14°．
∴∠COE＝3x＝42°．
24．（2022春•渌口区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】解：（1）①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF的度数为45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB＝，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE．
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022春•碑林区校级月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（ ）的长度．
A．CDB．ADC．BDD．BC
3．（2022春•新城区校级期中）如图，两条直线交于点O，若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．80°C．100D．140°
4．（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3B．4C．4.3D．5
5．（2022春•都江堰市校级期中）已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
6．（2022春•南昌期中）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，如果∠EOB＝55°，那么∠BOD的度数是（ ）
A．35°B．55°C．70°D．110°
7．（2023秋•钱塘区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点
C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度
8．（2023秋•玄武区期末）若∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，则∠4与∠1的数量关系是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠4+∠1＝90°C．∠1﹣∠4＝90°D．∠4﹣∠1＝90°
9．（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，则∠AOF的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
10．（2022春•龙岗区校级期中）观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（ ）
A．10B．14C．21D．15
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•市中区校级月考）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在 点．理由： ．
12．（2022春•天府新区月考）如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝4cm，CD＝3cm，CF＝6cm．则点C到AB的距离是 cm．
13．（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 ．
14．（2022春•章丘区期中）如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，则∠AOC＝ ．
15．（2022秋•站前区校级月考）一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且这两个角之差为40°，那么这两个角分别为 ．
16．（2023秋•开福区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°6'，则∠AOC的度数为 ．
17．（2022•南京模拟）在同一平面内，∠A的两边分别与∠B的两边垂直，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B＝ ．
18．（2022春•招远市期末）如图，直线AB，CD相交于点O．射线OE⊥CD，给出下列结论：
①∠2和∠4互为对顶角．
②∠3+∠2＝180°；
③∠5与∠4互补；
④∠5＝∠3﹣∠1；
其中正确的是 （填序号）
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•鼓楼区期中）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）写出图中∠BOD的对顶角 ，和两个邻补角 ；
（2）若∠BOD＝40°，求∠EOC的度数．
20．（2022春•思明区校级期中）如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝1：2，OA平分∠EOC，求∠BOD．
21．（2022春•如皋市期中）如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，若∠AOC：∠BOC＝1：2，求∠EOD的度数．
22．（2022春•和平区校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．
（1）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度数；
（2）猜想OA与OB之间的位置关系，并证明．
23．（2023秋•无锡期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）若∠BOD＝65°，求∠BOE．
（2）若∠AOE＝∠BOF﹣10°，求∠COE．
24．（2022春•渌口区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题5.1相交线专项提升训练（重难点培优）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义进行判断即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，
图中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
2．（2022春•碑林区校级月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（ ）的长度．
A．CDB．ADC．BDD．BC
【分析】根据点到直线的距离的概念判断即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴点A到AB的距离是线段AD的长度，
故选：B．
3．（2022春•新城区校级期中）如图，两条直线交于点O，若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．80°C．100D．140°
【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，
∴∠1＝40°，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝140°．
故选：D．
4．（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3B．4C．4.3D．5
【分析】由点到直线的距离概念，即可选择．
【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
∴点P到直线l的距离为垂线段PO的长度，
故选：B．
5．（2022春•都江堰市校级期中）已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【分析】由垂线的性质，即可选择．
【解答】解：∵在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴点P画直线l的垂线，只能画一条．
故选：A．
6．（2022春•南昌期中）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，如果∠EOB＝55°，那么∠BOD的度数是（ ）
A．35°B．55°C．70°D．110°
【分析】根据角平分线的定义，得∠BOC＝2∠EOB＝110°．再根据邻补角的定义，得∠BOD＝180°﹣∠BOC＝70°．
【解答】解：∵OE平分∠COB，∠EOB＝55°，
∴∠BOC＝2∠EOB＝110°．
∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝70°．
故选：C．
7．（2021秋•钱塘区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点
C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度
【分析】根据对顶角性质、线段中点的定义、点到直线的距离，逐一判定即可解答．
【解答】解：A、对顶角相等，但是相等的角不一定是是对顶角，故本选项不符合题意；
B、三点不在一条直线上，AB＝BC，但是B不是线段AC的中点，故本选项不符合题意；
C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故此选项不符合题意；
D、若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度，故此选项符合题意；
故选：D．
8．（2021秋•玄武区期末）若∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，则∠4与∠1的数量关系是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠4+∠1＝90°C．∠1﹣∠4＝90°D．∠4﹣∠1＝90°
【分析】根据∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角求出∠4﹣∠1＝90°，解答即可．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝180°，∠4＝∠3，
∴∠3﹣∠1＝90°，
∴∠4﹣∠1＝90°，
故选：D．
9．（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，则∠AOF的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据对顶角、邻补角、角平分线的定义解决此题．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°．
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°．
∵∠AOC﹣2∠AOE＝20°，
∴∠AOE＝20°．
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝100°．
∵射线OF平分∠DOE，
∴∠DOF＝＝50°．
∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣50°＝70°．
故选：C．
10．（2022春•龙岗区校级期中）观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（ ）
A．10B．14C．21D．15
【分析】根据图示解决问题．
【解答】解：两条直线相交，最多交点数为1个；
三条直线相交，最多交点数为1+2＝3（个）；
四条直线相交，最多交点数为1+2+3＝6（个）；
五条直线相交，最多交点数为1+2+3+4＝10（个）．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•市中区校级月考）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在 A 点．理由： 垂线段最短 ．
【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案．
【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，理由：垂线段最短．
故答案为：A，垂线段最短．
12．（2022春•天府新区月考）如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝4cm，CD＝3cm，CF＝6cm．则点C到AB的距离是 3 cm．
【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD＝3cm，
∴点C到AB的距离是CD＝3cm，
故答案为：3．
13．（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 38° ．
【分析】由平角的定义可知∠EOD+∠EOC＝180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂线的定义可知∠DOB＝90°，从而求得∠BOF的度数．
【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，
∴∠DOF＝∠EOC＝52°，
∵CD⊥AB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，
故答案为：38°．
14．（2022春•章丘区期中）如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，则∠AOC＝ 150° ．
【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．
【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝60°，∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＝30°，
∵∠AOC+∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝150°，
故答案为：30°．
15．（2022秋•站前区校级月考）一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且这两个角之差为40°，那么这两个角分别为 70°，110° ．
【分析】由这两个角互为补角，即可计算．
【解答】解：∵四边形ADBC内角和是360°，
∴∠A+∠B＝360°﹣∠ACB﹣∠ADB，
∵BC⊥AC，BD⊥AD，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B﹣∠A＝40°，
∴∠A＝70°，∠B＝110°，
故答案为：70°，110°．
16．（2021秋•开福区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°6'，则∠AOC的度数为 49°54' ．
【分析】直接利用垂直的定义结合平角的定义得出答案．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOC＝90°，
∵∠BOE＝40°6'，
∴∠AOC＝180°﹣90°﹣40°6'＝49°54'．
故答案为：49°54'．
17．（2022•南京模拟）在同一平面内，∠A的两边分别与∠B的两边垂直，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B＝ 30°或70° ．
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x，
∵x＝2x﹣30，
解得：x＝30，
故∠B＝30°，
②两个角互补时，如图2：
∵x+2x﹣30＝180，
解得：x＝70，
故∠B的度数为：30°或70°．
故答案为：30°或70°．
18．（2022春•招远市期末）如图，直线AB，CD相交于点O．射线OE⊥CD，给出下列结论：
①∠2和∠4互为对顶角．
②∠3+∠2＝180°；
③∠5与∠4互补；
④∠5＝∠3﹣∠1；
其中正确的是 ①②④ （填序号）
【分析】直接利用对顶角以及垂线的定义、互为补角的定义分别分析得出答案．
【解答】解：∵OE⊥CD，直线AB，CD相交于点O，
∴①∠2和∠4互为对顶角，正确；
②∠3+∠2＝180°，正确；
③∠5与∠4互为余角，故此选项错误；
④∠5＝∠1+∠5﹣∠1＝∠3﹣∠1，故正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•鼓楼区期中）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）写出图中∠BOD的对顶角 ∠AOC ，和两个邻补角 ∠AOD，∠BOC ；
（2）若∠BOD＝40°，求∠EOC的度数．
【分析】（1）由对顶角，邻补角的概念，即可解决问题，
（2）由角平分线，邻补角的概念，即可求解．
【解答】解；（1）∠BOD的对顶角是∠AOC，两个邻补角是∠AOD，∠BOC，
故答案为：∠AOC；∠AOD，∠BOC；
（2）∵OB平分∠EOD，
∴∠DOE＝2∠BOD＝80°，
∵∠EOC+∠DOE＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣∠DOE＝100°．
20．（2022春•思明区校级期中）如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝1：2，OA平分∠EOC，求∠BOD．
【分析】由对顶角，邻补角的性质，角平分线的概念，即可计算．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，
∴∠EOD＝2∠EOC，
∵∠EOC+∠EOD＝180°，
∴3∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
21．（2022春•如皋市期中）如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，若∠AOC：∠BOC＝1：2，求∠EOD的度数．
【分析】由∠AOC：∠BOC＝1：2，可求∠AOC，再由OE⊥AB，即可求解．
【解答】∵∠AOC：∠BOC＝1：2，
∠BOC＝2∠∠AOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝30°．
22．（2022春•和平区校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．
（1）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度数；
（2）猜想OA与OB之间的位置关系，并证明．
【分析】（1）根据平角的定义以及角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据平角的定义，角平分线的定义以及对顶角，设未知数表示图形中的各个角，再根据角之间的和差关系得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣40°＝140°，
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠AOF，
∴∠COF＝×140°＝70°＝∠DOE，
即∠DOE＝70°；
（2）OA⊥OB，
证明：设∠BOD＝α，则∠AOE＝2∠BOD＝2α，
∵∠AOE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣2α，
又∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝∠COF＝＝90°﹣α，
又∵∠DOE＝∠COF＝90°﹣α，
∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣2α，
∴∠AOB＝∠AOE+∠BOE
＝2α+（90°﹣2α）
＝90°，
即OA⊥OB．
23．（2021秋•无锡期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）若∠BOD＝65°，求∠BOE．
（2）若∠AOE＝∠BOF﹣10°，求∠COE．
【分析】（1）根据对顶角的定义，由∠AOC与∠BOD是对顶角，得∠AOC＝∠BOD＝65°．由∠AOE：∠EOC＝2：3，求得∠AOE＝＝26°．根据邻补角的定义，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝154°．
（2）设∠AOE＝2x，∠EOC＝3x．由∠AOE＝∠BOF﹣10°，得∠BOF＝4x+20°．根据角平分线的定义，由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝8x+40°．根据邻补角的定义，得∠AOE+∠BOE＝2x+8x+40°＝180°，进而解决此题．
【解答】解：（1）∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝65°．
∵∠AOE：∠EOC＝2：3，
∴∠AOE＝＝26°．
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣26°＝154°．
（2）设∠AOE＝2x，∠EOC＝3x．
∵∠AOE＝∠BOF﹣10°，
∴∠BOF＝4x+20°．
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOE＝2∠BOF＝8x+40°．
∴∠AOE+∠BOE＝2x+8x+40°＝180°．
∴x＝14°．
∴∠COE＝3x＝42°．
24．（2022春•渌口区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】解：（1）①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF的度数为45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB＝，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE．
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
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