人教版七年级数学下册尖子生培优练习 第5章相交线与平行线单元测试（培优压轴卷）（原卷版+解析）

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第5章相交线与平行线单元测试（培优压轴卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•渝中区校级期末）下列说法正确的有（　　）A．相等的角是对顶角 B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离 C．两条不相交的直线叫做平行线 D．在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a∥c2．（2022秋•唐河县期末）如图，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2（　　）A．∠2＝118° B．∠4＝128° C．∠3＝28° D．∠5＝28°3．（2022秋•丹东期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（　　）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE4．（2022春•隆阳区校级月考）如图，AD⊥BC，垂足为D，且DE∥AB．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为（　　）A．50° B．45° C．40° D．25°5．（2023秋•平舆县校级期末）如图，从A地到C地有a、b、c三条路可以走，下列判断正确的是（　　）A．路线a最短 B．路线b最短 C．路线c最短 D．三条路线长度一样长6．（2022春•龙岗区校级期中）观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（　　）A．10 B．14 C．21 D．157．（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，则∠AOF的度数为（　　）A．50° B．60° C．70° D．80°8．（2022春•铜仁市期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E﹣∠1＝180°；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的个数是（　　）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④9．（2022春•承德县期末）黑板上有一个数学问题如图所示：如图AB⊥BC，BC交CD于点C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．几位同学经过研究得到以下结论：嘉嘉说：“AB∥CD”；琪琪说：“∠AEB+∠ADC＝180°”；薇薇说：“DE平分∠ADC”；亮亮说：“∠F＝135°”，则（　　）A．只有嘉嘉的结论正确 B．嘉嘉和琪琪的结论都正确 C．只有琪琪的结论不正确 D．四个人的结论都正确10．（2022春•海伦市期末）如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP＝∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CE∥BD；②AB∥CD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E＝140°；⑤∠QFM＝20°．其中结论正确的序号是（　　）A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•文成县期中）证明命题“若a2＝4，则a＝2”是假命题，反例是 　 　．12．（2022春•白云区期中）如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数是 　 　°．13．（2022春•海曙区校级期中）如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若x＝50°，y＝30°，则z度数为 　 　．14．（2022春•榆次区期中）如图，将周长为18的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 　 　．15．（2022春•绍兴期末）如图，已知直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为AB、CD之间一点，且点E在MN的右侧，∠MEN＝128°．若∠BME与∠DNE的平分线相交于点E1，∠BME1与∠DNE1的平分线相交于点E2，∠BME2与∠DNE2的平分线相交于点E3，……，依此类推，若∠MEnN＝8°，则n的值是 　 　．16．（2022春•镜湖区校级期末）有长方形纸片，E，F分别是AD，BC上一点∠DEF＝x（0°＜x＜45°），将纸片沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．（1）如图1，当x＝32°时，∠FGD′＝　 　度；（2）如图2，作∠MGF的平分线GP交直线EF于点P，则∠GPE＝　 　.（用x的式子表示）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋•磁县期末）如图1所示，两个村庄A，B在河流1的两侧，现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，要使所铺设的管道最短，水泵站P应该建在什么位置？把河流1近似看作直线1，如图2所示．小明提出了这样的方案：过点A作直线l的垂线段AP，则点P为水泵站的位置．你同意小明的方案吗？若同意，请说明理由若不同意，那么你认为水泵站P应该建在什么位置？请在图3中作出来，并说明依据．18．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝58°．（1）求∠AOC的度数；（2）求∠EOF的度数．19．（2022秋•丹东期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于点A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度数．20．如图，A、B是人工湖岸上的两点，从A点看B点，测得∠BAC＝60°，现在过点A、B两点有两条相互平行的道路l1和l2，从l1上的点C经点E到l2上的点D修一条公路，把l1和l2连起来，如果∠ACE＝150°，∠BDE＝100°．求：（1）∠ABD的度数；（2）∠DEC的度数．21．（2022•南京模拟）如图，有三个条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：以③作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．（1）请按要求写出命题：以①作为结论的命题是：　 　；以②作为结论的命题是：　 　；（2）请证明以②作为结论的命题．22．（2022秋•卧龙区校级期末）（1）【感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．证明：如图2，过点E作EF∥AB，∴∠A＝∠1，（ 　 　）∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线作法），∴EF∥CD，（ 　 　）∴∠2＝∠DCE，（ 　 　）∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠DCE；（ 　 　）（2）【探究】当点E在如图2的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；（3）【应用】如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，求∠MEC的度数（请直接写出答案）．23．（2022•苏州模拟）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M，若G是射线MD上一动点（不与点M，F重合）．（1）如图1，若EG平分∠BEF，试判断EM与EG的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②在点G运动的过程中，α和β之间满足怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并说明理由．第5章相交线与平行线单元测试（培优压轴卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•渝中区校级期末）下列说法正确的有（　　）A．相等的角是对顶角 B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离 C．两条不相交的直线叫做平行线 D．在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a∥c【分析】根据对顶角的定义，点到直线的距离的定义，平行线的判定等知识，一一判断即可．【解析 】A、相等的角是对顶角，错误，相等的角不一定是对顶角，本选项不符合题意；B、直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离，错误，应该是直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，本选项不符合题意；C、两条不相交的直线叫做平行线，错误，条件是在同一平面内，本选项不符合题意；D、在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a∥c正确，本选项符合题意．故选：D．2．（2022秋•唐河县期末）如图，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2（　　）A．∠2＝118° B．∠4＝128° C．∠3＝28° D．∠5＝28°【分析】欲证l1∥l2，在图中发现l1、l2被直线l3所截，且已知∠1＝62°，可根据同位角相等，两直线平行，再结合答案来补充条件．【解析 】∠1＝62°，要使l1∥l2，则需∠3＝62°（同位角相等，两直线平行），由图可知，∠2与∠3是邻补角，则只需∠2＝180°﹣62°＝118°，故选：A．3．（2022秋•丹东期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（　　）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE【分析】根据平行线的判定和性质一一判断即可【解析 】∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A错误．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正确，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C错误，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D错误．故选：B．4．（2022春•隆阳区校级月考）如图，AD⊥BC，垂足为D，且DE∥AB．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为（　　）A．50° B．45° C．40° D．25°【分析】由垂直的定义可得∠ADC＝90°，根据平行线的性质可得∠ADE＝∠A＝50°，进而可求解∠CDE的度数．【解析 】∵AD⊥BC，垂足为D，∴∠ADC＝90°，∵DE∥AB，∠A＝50°，∴∠ADE＝∠A＝50°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣50°＝40°．故选：C．5．（2023秋•平舆县校级期末）如图，从A地到C地有a、b、c三条路可以走，下列判断正确的是（　　）A．路线a最短 B．路线b最短 C．路线c最短 D．三条路线长度一样长【分析】根据两点之间线段最短解决问题即可．【解析 】根据两点之间线段最短可知，路线b最短．故选：B．6．（2022春•龙岗区校级期中）观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（　　）A．10 B．14 C．21 D．15【分析】根据图示解决问题．【解析 】两条直线相交，最多交点数为1个；三条直线相交，最多交点数为1+2＝3（个）；四条直线相交，最多交点数为1+2+3＝6（个）；五条直线相交，最多交点数为1+2+3+4＝10（个）．故选：A．7．（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，则∠AOF的度数为（　　）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根据对顶角、邻补角、角平分线的定义解决此题．【解析 】∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC＝∠BOD＝60°．∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°．∵∠AOC﹣2∠AOE＝20°，∴∠AOE＝20°．∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝100°．∵射线OF平分∠DOE，∴∠DOF＝＝50°．∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣50°＝70°．故选：C．8．（2022春•铜仁市期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E﹣∠1＝180°；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的个数是（　　）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④【分析】①过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论；②过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论；③过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠E﹣∠1＝180°；④先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断．【解析 】①过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠E＝360°，故本小题错误；②过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A+∠C，即∠E＝∠A+∠C，故本小题正确；③过点E作直线EF∥AB，，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠A+∠E﹣∠1＝180°，故本选项正确；④∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠P，故本小题正确．综上所述，正确的小题有②③④共3个．故选：C．9．（2022春•承德县期末）黑板上有一个数学问题如图所示：如图AB⊥BC，BC交CD于点C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．几位同学经过研究得到以下结论：嘉嘉说：“AB∥CD”；琪琪说：“∠AEB+∠ADC＝180°”；薇薇说：“DE平分∠ADC”；亮亮说：“∠F＝135°”，则（　　）A．只有嘉嘉的结论正确 B．嘉嘉和琪琪的结论都正确 C．只有琪琪的结论不正确 D．四个人的结论都正确【分析】根据平行线得性质，角平分线得定义，互补得性质求解．【解析 】过点E作EH∥AB交AD于点H，则∠1＝∠AEH，∵∠AEH+∠DEH＝90°，∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠DEH，∴EH∥CD，∴AB∥CD，∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠EAD，∵∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠2，∴DE平分∠ADC，∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．根据平行线的拐点问题得：∠F＝∠MAF+∠FDN＝（360°﹣45°）＝135°，∵∠AEB＝∠2，∠EDN+∠2＝180°，而∠EDN≠∠ADC，故选：C．10．（2022春•海伦市期末）如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP＝∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CE∥BD；②AB∥CD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E＝140°；⑤∠QFM＝20°．其中结论正确的序号是（　　）A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤【分析】①由∠BDE＝∠AEF可得出CE∥BD，结论①正确；②由CE∥BD进而可得出∠B＝∠EAF，结合∠B＝∠C可得出∠EAF＝∠C，根据“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，结论②正确；③由AB∥CD可得出∠AFQ＝∠FQP，结合∠FQP＝∠QFP可得出∠AFQ＝∠QFP，即FQ平分∠AFP，结论③正确；④由AB∥CD可得出∠EFA＝∠FDC，结合∠EFA比∠FDC的余角小10°可求出∠EFA的度数，再由∠B＝∠EAF结合三角形内角和定理可求出∠B+∠E＝140°，结论④正确；⑤根据角平分线的定义可得出∠MFP＝∠EFA+∠AFP以及∠QFP＝∠AFP，将其代入∠QFM＝∠MFP﹣∠QFP可求出∠QFM的角度为定值20°，结论⑤正确．综上即可得出结论．【解析 】①∵∠BDE＝∠AEF，∴CE∥BD，结论①正确；②∵CE∥BD，∴∠B＝∠EAF．∵∠B＝∠C，∴∠EAF＝∠C，∴AB∥CD，结论②正确；③∵AB∥CD，∴∠AFQ＝∠FQP．∵∠FQP＝∠QFP，∴∠AFQ＝∠QFP，∴FQ平分∠AFP，结论③正确；④∵AB∥CD，∴∠EFA＝∠FDC．∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，∴∠EFA＝40°．∵∠B＝∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA＝180°，∴∠B+∠E＝180°﹣∠EFA＝140°，结论④正确；⑤∵FM为∠EFP的平分线，∴∠MFP＝∠EFP＝∠EFA+∠AFP．∵∠AFQ＝∠QFP，∴∠QFP＝∠AFP，∴∠QFM＝∠MFP﹣∠QFP＝∠EFA＝20°，结论⑤正确．综上所述：正确的结论有①②③④⑤．故选：A．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•文成县期中）证明命题“若a2＝4，则a＝2”是假命题，反例是 　a＝﹣2　．【分析】取a＝﹣2，举反例说明即可．【解析 】∵（±2）2＝4，∴a＝±2，∴a＝﹣2时，a2＝4．故答案为：a＝﹣2．12．（2022春•白云区期中）如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数是 　50　°．【分析】根据垂线的性质、邻补角的定义解决此题．【解析 】∵OE⊥CD于O，∴∠COE＝90°．∴∠BOE＝180°﹣（∠AOC+∠COE）＝180°﹣（40°+90°）＝50°．故答案为：50．13．（2022春•海曙区校级期中）如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若x＝50°，y＝30°，则z度数为 　20°　．【分析】延长AB交DE于H，依据平行线的性质，即可得到∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，进而得到x﹣z＝y．【解析 】如图所示，延长AB交DE于H，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠AHE＝x，∵CD∥EF，AB∥EG，∴∠D＝∠DEF＝z，∠AHE＝∠DEG＝z+y，∴∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，∴z＝x﹣y＝50°﹣30°＝20°．故答案为：20°．14．（2022春•榆次区期中）如图，将周长为18的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 　24　．【分析】根据平移的性质可得AD＝CF＝3，AC＝DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．【解析 】∵△ABC沿BC方向平移3个单位得到△DEF，∴AD＝CF＝3，AC＝DF，∴四边形ABFD的周长＝AB+（BC+CF）+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF，∵△ABC的周长＝18，∴AB+BC+AC＝18，∴四边形ABFD的周长＝18+3+3＝24．故答案为：24．15．（2022春•绍兴期末）如图，已知直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为AB、CD之间一点，且点E在MN的右侧，∠MEN＝128°．若∠BME与∠DNE的平分线相交于点E1，∠BME1与∠DNE1的平分线相交于点E2，∠BME2与∠DNE2的平分线相交于点E3，……，依此类推，若∠MEnN＝8°，则n的值是 　4　．【分析】过E作EH∥AB，E1G∥AB，根据平行线的性质及角平分线定义得出∠ME1N＝∠MEN，进而得到∠MEnN＝∠MEN，然后解方程∠MEN＝×128°＝8°，即可求出n＝4．【解析 】过E作EH∥AB，E1G∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，E1G∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝128°，同理∠ME1N＝∠BME1+∠DNE1，∵ME1平分∠BME，NE1平分∠DNE，∴∠BME1+∠DNE1＝（∠BME+∠DNE）＝∠MEN，∴∠ME1N＝∠MEN，同理，∠ME2N＝∠ME1N＝∠MEN，∠ME3N＝∠ME2N＝∠MEN，•••，∴∠MEnN＝∠MEn﹣1N＝∠MEN，若∠MEnN＝8°，则∠MEN＝×128°＝8°，∴n＝4．故答案为：4．16．（2022春•镜湖区校级期末）有长方形纸片，E，F分别是AD，BC上一点∠DEF＝x（0°＜x＜45°），将纸片沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．（1）如图1，当x＝32°时，∠FGD′＝　64　度；（2）如图2，作∠MGF的平分线GP交直线EF于点P，则∠GPE＝　2x　.（用x的式子表示）．【分析】（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；（2）由长方形的对边是平行的，设∠BFE＝∠DEF＝x，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，由角平分线的定义得到∠PGF＝x，再根据三角形外角的性质得到∠GPE，从而求解．【解析 】（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝32°，∵长方形的对边是平行的，∴∠DEG＝∠FGD′，∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝64°，∴∠FGD′＝∠EGD＝64°，∴当x＝32°时，∠GFD′的度数是64°．故答案为：64；（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x．由折叠可得∠GEF＝∠DEF，∵长方形的对边是平行的，∴设∠BFE＝∠DEF＝x，∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，∵GP平分∠MGF，∴∠PGF＝x，∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x，∴∠GPE＝2∠GEP＝2x．故答案为：∠GPE＝2x．三．解答题（共7小题）17．（2022秋•磁县期末）如图1所示，两个村庄A，B在河流1的两侧，现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，要使所铺设的管道最短，水泵站P应该建在什么位置？把河流1近似看作直线1，如图2所示．小明提出了这样的方案：过点A作直线l的垂线段AP，则点P为水泵站的位置．你同意小明的方案吗？若同意，请说明理由若不同意，那么你认为水泵站P应该建在什么位置？请在图3中作出来，并说明依据．【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短即可完成作图．【解析 】不同意小明的方案，水泵站应该建在如图3的点P的位置，依据是两点之间线段最短．如图3，点P即为所求．18．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝58°．（1）求∠AOC的度数；（2）求∠EOF的度数．【分析】（1）根据邻补角之和等于180°计算即可；（2）根据角平分线的定义求出∠DOF的度数，计算即可．【解析 】（1）∵∠BOE＝58°，∠COE＝90°，又∵∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，∴∠AOC＝180°﹣58°﹣90°＝32°，（2）∵∠DOE＝∠COE＝90°，∴∠BOD＝90°﹣58°＝32°，∵OD平分∠BOF，∴∠BOD＝∠DOF＝32°，∴∠EOF＝58°+32°+32°＝122°．19．（2022秋•丹东期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于点A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度数．【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，得到∠2＝∠ADC，等量代换得出∠ADC+∠3＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由DA∥CE，DA⊥FE，得出CE⊥AE，AD∥CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC＝∠2＝35°，再根据角平分线的定义即可得解．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADC，∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°，∴AD∥CE；（2）解：∵DA∥CE，DA⊥FE，∴CE⊥AE于E，∴∠CEF＝90°，由（1）知AD∥CE，∴∠DAF＝∠CEF＝90°，∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，∵∠FAB＝55°，∴∠ADC＝35°，∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°．20．如图，A、B是人工湖岸上的两点，从A点看B点，测得∠BAC＝60°，现在过点A、B两点有两条相互平行的道路l1和l2，从l1上的点C经点E到l2上的点D修一条公路，把l1和l2连起来，如果∠ACE＝150°，∠BDE＝100°．求：（1）∠ABD的度数；（2）∠DEC的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到∠ABD+∠BAC＝180°，由此即可解决问题； （2）过点E作EF∥l1，则可得到EF∥l2，根据平行线的性质求解即可．【解析 】（1）∵l1∥l2，∴∠BAC+∠ABD＝180°．∵∠BAC＝60°，∴∠ABD＝120°．（2）过点E作过点E作EF∥l1，由题意可知l1∥l2，∵EF∥l1，l1∥l2，∴EF∥l2，∴∠BDE+∠DEF＝180°，∠ACE+∠FEC＝180°．∵∠ACE＝150°，∠BDE＝100°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝80°，∴∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝80°+30°＝110°．21．（2022•南京模拟）如图，有三个条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：以③作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．（1）请按要求写出命题：以①作为结论的命题是：　如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．　；以②作为结论的命题是：　如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．　；（2）请证明以②作为结论的命题．【分析】（1）根据题意要求写出已知求证，写出命题即可求解；（2）根据平行线的判定可得DB//EC，DF//AC，根据平行线的性质可得∠DBA＝∠C，∠D＝∠DBA，等量代换即可得证．【解析 】（1）以①作为结论的命题是：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．以②作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．故答案为：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2∴DB//EC∴∠DBA＝∠C∵∠A＝∠F∴DF//AC∴∠D＝∠DBA∴∠C＝∠D．22．（2022秋•卧龙区校级期末）（1）【感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．证明：如图2，过点E作EF∥AB，∴∠A＝∠1，（ 　两直线平行，内错角相等　）∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线作法），∴EF∥CD，（ 　平行于同一直线的两条直线平行　）∴∠2＝∠DCE，（ 　两直线平行，内错角相等　）∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠DCE；（ 　等量代换　）（2）【探究】当点E在如图2的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；（3）【应用】如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，求∠MEC的度数（请直接写出答案）．【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠A＝∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2＝∠DCE，即可得出结论；（2）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，即可得出结论；（3）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点E作EF∥AB，∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∵EF∥AB（辅助线作法），∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）证明：过点E作EF∥AB，如图2所示：∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°．23．（2022•苏州模拟）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M，若G是射线MD上一动点（不与点M，F重合）．（1）如图1，若EG平分∠BEF，试判断EM与EG的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②在点G运动的过程中，α和β之间满足怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并说明理由．【分析】（1）由角平分线的定义求得∠MEG＝90°；（2）由（1）先求得，进一步可求得．【解析 】（1）∵EM，EG分别是∠AEF，∠BEF的角平分线∴∴∴EM与EG垂直．（2）①∵AB∥CD，∴β＝∠BEG＝60°，由（1）知：，∴α＝90°﹣60°＝30°，②理由如下：α＝，由①知，，＝．