北京市第四十三中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份北京市第四十三中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题，共17页。试卷主要包含了满分，2π）等内容，欢迎下载使用。

1.（单选题.4分）已知角α的终边过点P（4.-3）.则2sinα+csα=（ ）
A. −25
B. 25
C.1
D.-1
2.（单选题.4分）已知sinθcsθ＜0.那么角θ是（ ）
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角
D.第一或第四象限角
3.（单选题.4分）已知函数y=sinx在区间M上单调递增.那么区间M可以是（ ）
A.（0.2π）
B.（0.π）
C. 0， 3π2
D. 0， π2
4.（单选题.4分）函数f（x）=sin（x- π4 ）的图象的一条对称轴是（ ）
A.x= π4
B.x= π2
C.x=- π4
D.x=- π2
5.（单选题.4分）函数 fx=cs2x4−sin2x4 的最小正周期是（ ）
A.4π
B.2π
C.π
D. π2
6.（单选题.4分）“csα= 12 ”是“α= π3 ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.（单选题.4分）已知向量 a 和 b 的夹角为60°.| a |=3.| b |=4.则（2 a - b ）• a 等于（ ）
A.15
B.12
C.6
D.3
8.（单选题.4分）已知tanα= 33 （0＜α＜2π）.那么α所有可能的值是（ ）
A. π6
B. π6 或 76π
C. π3 或 4π3
D. π3
9.（单选题.4分）向量 a=cs50°，sin50° 与 b=cs10°，sin10° 的夹角为（ ）
A.30°
B.40°
C.60°
D.90°
10.（单选题.4分）设f（x）是定义域为R.最小正周期为 3π2 的函数.若 fx=csx,−π2≤x＜0sinx,0≤x＜π .则 f−15π4 等于（ ）
A. 22
B.1
C.0
D. −22
11.（填空题.5分）计算sin330°=___ ．
12.（填空题.5分）已知tanα=2.则tan（π-α）=___ .tan2α=___ ．
13.（填空题.5分）已知平面向量 a . b 满足 a =（1.-1）.（ a + b ）⊥（ a - b ）.那么| b |=___ ．
14.（填空题.5分）已知正方形ABCD的边长为1.点E是AB边上的动点.则 DE•CB 的值为___ . DE•AC 的最大值为___ ．
15.（填空题.5分）设函数f（x）=sinπx.g（x）=x2-x+1.有以下四个结论．
① 函数y=f（x）+g（x）是周期函数；
② 函数y=f（x）-g（x）的图像是轴对称图形；
③ 函数y=f（x）•g（x）的图像关于坐标原点对称；
④ 函数 y=fxgx 存在最大值．
其中.所有正确结论的序号是 ___ ．
16.（问答题.13分）已知 α∈π2，π .且 sinα=35 ．
（1）求 csα+π4 的值；
（2）求 sin2α−csα1+cs2α 的值．
17.（问答题.13分）已知 tanθ+π4=−3 ．
（Ⅰ）求tanθ的值；
（Ⅱ）求sin2θ的值．
18.（问答题.15分）已知函数 fx=Asinωx+φ x∈R，A＞0，ω＞0，φ＜π2 部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移 π6 个单位长度得到函数y=g（x）的图象.求函数g（x）在区间 0，π2 上的最大值和最小值．
19.（问答题.14分）已知函数f（x）=2 3 sinxcsx-2sin2x+a.a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）有零点.求实数a的取值范围．
20.（问答题.15分）已知函数 fx=2csxsinx−π3+32 ．
（1）求f（0）；
（2）求曲线y=f（x）的相邻两条对称轴的距离；
（3）若函数f（x）在[0.a]上单调递增.求a的最大值．
21.（问答题.15分）已知函数 fx=3sinωx+csωx+mω＞0 同时满足下列三个条件中的二个：
① f（0）=2； ② 最大值为2； ③ 最小正周期为π．
（Ⅰ）求出所有可能的函数f（x）.并说明理由；
（Ⅱ）从符合题意的函数中选择一个.求其单调增区间．
2021-2022学年北京四十三中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：21.满分：150
1.（单选题.4分）已知角α的终边过点P（4.-3）.则2sinα+csα=（ ）
A. −25
B. 25
C.1
D.-1
【正确答案】：A
【解析】：利用余弦定理求出sinα=- 35 .csα= 45 .由此能求出2sinα+csα．
【解答】：解：角α的终边过点P（4.-3）.
∴x=4.y=-3.r= 16+9 =5.
∴sinα=- 35 .csα= 45 .
则2sinα+csα=- 65+45 =- 25 ．
故选：A．
【点评】：本题考查任意角三角函数的定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．
2.（单选题.4分）已知sinθcsθ＜0.那么角θ是（ ）
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角
D.第一或第四象限角
【正确答案】：C
【解析】：根据题意列出不等式组.由三角函数值的符号判断出θ所在的象限．
【解答】：解：由题意知.sinθcsθ＜0.
则 sinθ＞0csθ＜0 或 sinθ＜0csθ＞0 .所以角θ在第二或第四象限.
故选：C．
【点评】：本题考查角函数值的符号的应用.需要掌握口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.属于基础题．
3.（单选题.4分）已知函数y=sinx在区间M上单调递增.那么区间M可以是（ ）
A.（0.2π）
B.（0.π）
C. 0， 3π2
D. 0， π2
【正确答案】：D
【解析】：直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．
【解答】：解：根据函数y=sinx的单调递增区间：[ −π2+2kπ，π2+2kπ ]（k∈Z）.
当k=0时.单调增区间为[ −π2，π2 ].由于 0，π2 为[ −π2，π2 ]的子区间.
故选：D．
【点评】：本题考查的知识要点：函数的单调性的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．
4.（单选题.4分）函数f（x）=sin（x- π4 ）的图象的一条对称轴是（ ）
A.x= π4
B.x= π2
C.x=- π4
D.x=- π2
【正确答案】：C
【解析】：将内层函数x- π4 看做整体.利用正弦函数的对称轴方程.即可解得函数f（x）的对称轴方程.对照选项即可得结果
【解答】：解：由题意.令x- π4 =kπ+ π2 .k∈z
得x=kπ+ 3π4 .k∈z是函数f（x）=sin（x- π4 ）的图象对称轴方程
令k=-1.得x=- π4
故选：C．
【点评】：本题主要考查了正弦函数的图象和性质.三角复合函数对称轴的求法.整体代入的思想方法.属基础题
5.（单选题.4分）函数 fx=cs2x4−sin2x4 的最小正周期是（ ）
A.4π
B.2π
C.π
D. π2
【正确答案】：A
【解析】：利用二倍角的余弦公式化简f（x）.再求出f（x）的最小正周期即可．
【解答】：解：因为 fx=cs2x4−sin2x4 =cs x2 .
所以f（x）的最小正周期T= 2π12 =4π．
故选：A．
【点评】：本题考查了二倍角的余弦公式.余弦函数的周期性.属于基础题．
6.（单选题.4分）“csα= 12 ”是“α= π3 ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】：B
【解析】：“csα= 12 ”⇒“α= π3 +2kπ.k∈Z.或α= 53π+2kπ，k∈Z ”.“α= π3 ”⇒“csα= 12 ”．
【解答】：解：∵“csα= 12 ”⇒“α= π3 +2kπ.k∈Z.或α= 53π+2kπ，k∈Z ”.
“α= π3 ”⇒“csα= 12 ”．
故选：B．
【点评】：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断.解题时要认真审题.注意三角函数性质的合理应用．
7.（单选题.4分）已知向量 a 和 b 的夹角为60°.| a |=3.| b |=4.则（2 a - b ）• a 等于（ ）
A.15
B.12
C.6
D.3
【正确答案】：B
【解析】：由向量的运算法则及数量积公式求解．
【解答】：解：∵向量 a 和 b 的夹角为60°.| a |=3.| b |=4.
∴（2 a - b ）• a = 2a2−a•b =2×32-3×4×cs60°
= 18−3×4×12 =12．
故选：B．
【点评】：本题考查平面向量数量积的性质及运算.是基础题．
8.（单选题.4分）已知tanα= 33 （0＜α＜2π）.那么α所有可能的值是（ ）
A. π6
B. π6 或 76π
C. π3 或 4π3
D. π3
【正确答案】：B
【解析】：利用已知条件.直接求出角α所有可能的值即可．
【解答】：解：因为 tanα=330＜α＜2π .所以α= π6 或 76π .
故选：B．
【点评】：本题考查已知特殊角的三角函数值求角.考查计算能力.基本知识的掌握情况．
9.（单选题.4分）向量 a=cs50°，sin50° 与 b=cs10°，sin10° 的夹角为（ ）
A.30°
B.40°
C.60°
D.90°
【正确答案】：B
【解析】：根据题意.设两个向量的夹角为θ.由向量的坐标可得 a 、 b 的模以及 a • b 的值.由向量夹角公式计算可得答案．
【解答】：解：根据题意.设两个向量的夹角为θ.
向量 a=cs50°，sin50° 与 b=cs10°，sin10° .
则| a |=1.| b |=1. a • b =cs50°cs10°+sin50°sin10°=cs40°.
则csθ= a•bab =cs40°.
又由0°≤θ≤180°.故两个向量的夹角为40°.
故选：B．
【点评】：本题考查向量的夹角.涉及三角函数的恒等变形.属于基础题．
10.（单选题.4分）设f（x）是定义域为R.最小正周期为 3π2 的函数.若 fx=csx,−π2≤x＜0sinx,0≤x＜π .则 f−15π4 等于（ ）
A. 22
B.1
C.0
D. −22
【正确答案】：A
【解析】：先根据函数的周期性可以得到 f−15π4 =f（ 3π4−3×3π2 ）=f（ 3π4 ）.再代入到函数解析式中即可求出答案．
【解答】：解：∵ fx=csx,−π2≤x＜0sinx,0≤x＜π .最小正周期为 3π2
f−15π4 =f（ 3π4−3×3π2 ）=f（ 3π4 ）=sin 3π4 = 22
故选：A．
【点评】：题主要考查函数周期性的应用.考查计算能力.分段函数要注意定义域.属于基础题．
11.（填空题.5分）计算sin330°=___ ．
【正确答案】：[1]- 12
【解析】：所求式子中的角变形后.利用诱导公式化简即可得到结果．
【解答】：解：sin330°=sin（360°-30°）=-sin30°=- 12 ．
故答案为：- 12
【点评】：此题考查了诱导公式的作用.熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
12.（填空题.5分）已知tanα=2.则tan（π-α）=___ .tan2α=___ ．
【正确答案】：[1]-2; [2]- 43
【解析】：由题意.利用诱导公式、二倍角的正切公式.计算求得结果．
【解答】：解：∵tanα=2.∴tan（π-α）=-tanα=-2.
tan2α= 2tanα1−tan2α = 41−4 =- 43 .
故答案为：-2.- 43 ．
【点评】：本题主要考查诱导公式、二倍角的正切公式的应用.属于基础题．
13.（填空题.5分）已知平面向量 a . b 满足 a =（1.-1）.（ a + b ）⊥（ a - b ）.那么| b |=___ ．
【正确答案】：[1] 2
【解析】：利用向量垂直.数量积为0.得到两个向量的模相等；向量的模等于坐标平方和的算术平方根．
【解答】：解：因为（ a + b ）⊥（ a - b ）.所以（ a + b ）•（ a - b ）=0.所以 a2−b2 =0.所以| a |=| b |= 12+−12=2 ；
故答案为： 2 ．
【点评】：本题考查了向量垂直的性质以及向量模的求法.属于基础题．
14.（填空题.5分）已知正方形ABCD的边长为1.点E是AB边上的动点.则 DE•CB 的值为___ . DE•AC 的最大值为___ ．
【正确答案】：[1]1; [2]0
【解析】：把 DE = DA + AE 代入 DE•CB .再结合平面向量数量积的运算法则.即可得解；设 AE =λ AB .λ∈[0.1].可得 DE•AC =λ-1.结合单调性.得解．
【解答】：解： DE•CB =（ DA + AE ）• CB = DA • CB + AE • CB = |DA|2 +0=1.
∵点E是AB边上的动点.∴设 AE =λ AB .λ∈[0.1].
∴ DE•AC =（ AE - AD ）•（ AB + AD ）=（λ AB - AD ）•（ AB + AD ）=λ AB2 +（λ-1） AB • AD - AD2 =λ+0-1.在λ∈[0.1]上单调递增.
∴当λ=1时. DE•AC 取得最大值.为0．
故答案为：1；0．
【点评】：本题考查平面向量在几何中的应用.熟练掌握平面向量的线性.数量积的运算法则是解题的关键.考查逻辑推理能力和运算能力.属于中档题．
15.（填空题.5分）设函数f（x）=sinπx.g（x）=x2-x+1.有以下四个结论．
① 函数y=f（x）+g（x）是周期函数；
② 函数y=f（x）-g（x）的图像是轴对称图形；
③ 函数y=f（x）•g（x）的图像关于坐标原点对称；
④ 函数 y=fxgx 存在最大值．
其中.所有正确结论的序号是 ___ ．
【正确答案】：[1] ② ④
【解析】：由函数的周期性.对称性.最值定义.逐个判断即可得出答案．
【解答】：解：对于 ① ：因为函数f（x）=sinπx是周期函数.但是g（x）=x2-x+1不是周期函数.
所以y=f（x）+g（x）不是周期函数.故 ① 不正确；
对于 ② ：因为函数f（x）=sinπx对称轴为x= 12 +k.k∈Z.
所以x= 12 是f（x）的一条对称轴.
因为g（x）=x2-x+1=（x- 12 ）2+ 34 .对称轴为x= 12 .
所以y=f（x）-g（x）的对称轴为x= 12 .故 ② 正确；
对于 ③ ：因为函数f（x）=sinπx是关于原点对称.但是g（x）=x2-x+1不关于原点对称.
所以y=f（x）•g（x）不是关于原点对称.故 ③ 不正确；
对于 ④ ：y= fxgx = sinπxx2−x+1 .
f（x）=sinπx.当x= 12 时.f（x）max=1.
因为g（x）=x2-x+1=（x- 12 ）2+ 34 .则g（x）min=g（ 12 ）= 34 .
所以y= fxgx 有最大值为 43 .故 ④ 正确．
故答案为： ② ④ ．
【点评】：本题考查函数的性质.解题中需要理清思路.属于中档题．
16.（问答题.13分）已知 α∈π2，π .且 sinα=35 ．
（1）求 csα+π4 的值；
（2）求 sin2α−csα1+cs2α 的值．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据三角函数的同角关系.两角和的余弦公式即可求解；
（2）根据二倍角公式即可求解．
【解答】：解：（1）∵ sinα=35 . cs2α=1−sin2α=1−925=1625 .
又 α∈π2，π .∴ csα=−45 .
∴ csα+π4=csαcsπ4−sinαsinπ4 = −45⋅22−35⋅22 = −7210 ；
（2）由（1）可得 sin2α−csα1+cs2α=2sinαcsα−csα1+2cs2α−1
= 2sinα−12csα = 2⋅35−12⋅−45=15−85=−18 ．
【点评】：本题考查三角函数的同角关系.两角和的余弦公式.二倍角公式.属基础题．
17.（问答题.13分）已知 tanθ+π4=−3 ．
（Ⅰ）求tanθ的值；
（Ⅱ）求sin2θ的值．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）由题意利用两角和的正切公式.计算 tanθ 的值即可．
（Ⅱ）根据sin2θ= 2tanθtan2θ+1 .结合tanθ=2.求出sin2θ的值．
【解答】：解：（Ⅰ）∵ tanθ+π4=−3 = tanθ+11−tanθ .∴tanθ=2．
（Ⅱ）sin2θ= 2sinθcsθsin2θ+cs2θ = 2tanθtan2θ+1 = 44+1 = 45 ．
【点评】：本题考查两角和的正切公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系.属于基础题．
18.（问答题.15分）已知函数 fx=Asinωx+φ x∈R，A＞0，ω＞0，φ＜π2 部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移 π6 个单位长度得到函数y=g（x）的图象.求函数g（x）在区间 0，π2 上的最大值和最小值．
【正确答案】：
【解析】：（1）由图先求得A.T.ω的值.当x= 2π3 时.f（x）=-1.可得φ的值.从而可求f（x）的解析式．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（2x- π6 ）.由x∈ 0，π2 .可得- π6 ≤2x- π6 ≤ 5π6 .即可求函数g（x）在区间 0，π2 上的最大值和最小值．
【解答】：解：（1）由图可知.A=1. T4 = 2π3−5π12 = π4 .T=π.
所以ω=2．
当x= 2π3 时.f（x）=-1.可得sin（2× 2π3 +φ）=-1．
∵|φ|＜ π2 ∴φ= π6
∴求f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+ π6 ）；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+ π6 ）．
将函数y=f（x）的图象向右平移 π6 个单位长度得到函数y=g（x）=sin[2（x- π6 ）+ π6 ]=sin（2x- π6 ）的图象.
故g（x）=sin（2x- π6 ）.
∵x∈ 0，π2 .
∴- π6 ≤2x- π6 ≤ 5π6
当2x- π6 = π2 .即x= π3 时.g（x）有最大值为1；
当2x- π6 =- π6 .即x=0时.g（x）有最小值为- 12 ；
【点评】：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.三角函数的周期性及其求法.属于基本知识的考查．
19.（问答题.14分）已知函数f（x）=2 3 sinxcsx-2sin2x+a.a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）有零点.求实数a的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）首先.利用二倍角公式.化简函数解析式.然后.利用周期公式确定该函数的最小正周期；
（Ⅱ）令f（x）=0.然后.结合三角函数的图象与性质进行求解．
【解答】：解：（Ⅰ）∵f（x）= 3 sin2x+cs2x+a-1
=2sin（2x+ π6 ）+a-1.
∴T= 2π2 =π.
∴函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）令f（x）=0.即2sin（2x+ π6 ）+a-1=0.
则a=1-2sin（2x+ π6 ）.
∵-1≤sin（2x+ π6 ）≤1.
∴-1≤1-2sin（2x+ π6 ）≤3.
∴若f（x）有零点.则实数a的取值范围是[-1.3]．
【点评】：本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式.三角函数的图象与性质等知识.考查比较综合.属于中档题．
20.（问答题.15分）已知函数 fx=2csxsinx−π3+32 ．
（1）求f（0）；
（2）求曲线y=f（x）的相邻两条对称轴的距离；
（3）若函数f（x）在[0.a]上单调递增.求a的最大值．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式.求出其最小值正周期T.而曲线y=f（x）的相邻两条对称轴的距离为 12 T．
（3）依题意建立关于a的不等式组.解出该不等式组即可求得实数a的取值范围.进而得到a的最大值．
【解答】：解：（1） f0=2cs0sin−π3+32 = 2×1×−32+32 = −32 ．
（2） fx=2csx12sinx−32csx+32
= sinxcsx−3cs2x+32
= 12sin2x−3×1+cs2x2+32
= sin2x−π3 .
所以函数f（x）的最小正周期 T=2π2=π .
所以曲线y=f（x）的相邻两条对称轴的距离为 T2 .即 π2 ．
（3）由（2）可知 fx=sin2x−π3 .
当x∈[0.a]时. 2x−π3∈−π3，2α−π3 .
因为y=sinx在 −π2，π2 上单调递增.且f（x）在[0.a]上单调递增.
所以 −π3，2a−π3⊆−π2，π2 .即 a＞02a−π3≤π2 .
解得 0＜a≤512π .
故a的最大值为 512π ．
【点评】：本题是对三角函数的性质以及三角恒等变换的考查.这是高考考查的一类热点问题.一般难度不大.但综合性较强.属于中档题．
21.（问答题.15分）已知函数 fx=3sinωx+csωx+mω＞0 同时满足下列三个条件中的二个：
① f（0）=2； ② 最大值为2； ③ 最小正周期为π．
（Ⅰ）求出所有可能的函数f（x）.并说明理由；
（Ⅱ）从符合题意的函数中选择一个.求其单调增区间．
【正确答案】：
【解析】：（I）分选 ① ② 、 ① ③ . ② ③ 三种情况讨论.利用三角函数的图象与性质列方程求解；
（II）令 −π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z 得f（x）的增区间．
【解答】：解：（I） fx=2sinωx+π6+m ；
若选 ① ② .则 1+m=22+m=2 .无解.f（x）不存在；
若选 ① ③ .则 1+m=22πω=π .解得m=1.ω=2. fx=2sin2x+π6+1 ；
若选 ② ③ .则 2+m=22πω=π .解得m=0.ω=2. fx=2sin2x+π6 ．
（II）若 fx=2sin2x+π6 .令 −π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z .所以增区间为 −π3+kπ，π6+kπk∈Z ．
若 fx=2sin2x+π6+1 .其增区间与 fx=2sin2x+π6 相同.为 −π3+kπ，π6+kπk∈Z ．
【点评】：本题考查正弦函数的图象与性质.属于基础题．