广东省汕头市潮阳区棉城中学2023-2024学年高二上学期数学竞赛试题

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第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
3．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如右图，空间四边形中，，，，
且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．一束光线从点出发，经轴反射到圆：上的最短距离为（ ）
A．B． C． D．
6．己知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．36B．25C．20D．16
7．函数在上单调递减，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是（ ）
A．新数据的极差可能等于原数据的极差
B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差
D．若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数
10．已知曲线，则（ ）
A．当时，则的焦点是
B．当时，则的渐近线方程为
C．当表示双曲线时，则的取值范围为
D．存在实数，使表示圆
11．已知圆C：，直线:．下列命题正确的有（ ）
A．直线与圆C可能相切
B．轴被圆C截得的弦长为
C．直线被圆C截得的最短弦长为4
D．若直线与圆相交于A，B两点，面积的最大值为
12．已知函数，的部分
图象如图所示，则（ ）
A．
B．将的图象向右平移个单位，得到的图象
C．，都有
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．命题,则命题的否定为__________．
14．已知，则与的夹角为______．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为S，则______．
16．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，
P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的
距离为，则实数的值为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，直四棱柱的底面是正方形，
，E，F分别为BC，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
19．（12分）已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.
(1)求线段的长度；
(2)求顶点的轨迹方程.
20．（12分）已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，
平面ABCD，，E是PB的中点.
（1）求直线BD与直线PC所成角的余弦值；
（2）求证：平面
（3）求点到平面的距离.
21．（12分）已知，两圆交于 两点，两圆的一条公切线段．
(1)求的值；
(2)求点到直线距离的最大值．
22．（12分）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，
(1)若的面积为，求的值及圆的方程
(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，
准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，
求的取值范围.