湖北省孝感市高级中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷

这是一份湖北省孝感市高级中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．抛物线的焦点坐标为（ ）．
A． B． C． D．
2．在等比数列中，,且前x项和（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知m,n表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
4．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法．
A．72 B．144 C．108 D．96
5．已知的边的中点为D,点E在所在平面内，且,若,则（ ）．
A．5 B．7 C．9 D．11
6．函数）的图象为椭圆轴上方的部分，若成等比数列，则点的轨迹是（ ）．
A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分
C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
7．已知,则（ ）．
A．3 B． C． D．2
8．双曲线的左、右焦点分别是,离心率为,点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，若C上一点T满足,则T到C的两条渐近线距离之和为（ ）．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数是关于x的方程的两根，则（ ）．
A． B． C． D．若,则
10．若函数,则（ ）．
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的最小值为 D．的单调递减区间为
11．设a为常数，,则（ ）．
A． B．成立
C． D．满足条件的不止一个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．集合,若A中元素至多有1个，则a的取值范围是______________．
13．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为______________时，圆锥的体积最大，最大值为______________．
14．函数的最小值______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
设,曲线在点处取用极值．
（1）求a；
（2）求函数的单调区间和极值．
16．（本小题满分15分）
袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，,且平面平面．
（1）证明：平面平面；
（2）设点P为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
已知抛物线的焦点为F,若的三个顶点都在抛物线E上，且满足,则称该三角形为“核心三角形”．
（1）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程；
（2）已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2．
19．（本小题满分17分）
对于给定的正整数n,记集合,其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．
设，定义加法和数乘：．
对一组向量,若存在一组不全为零的实数,使得,则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（1）对,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①；
②；
③．
（2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（3）已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式,则这些系数或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式同时成立，其中，则．
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1），则，
又,故可得,解得；
（2）由（1）可知，，
令，解得，
又∵函数定义域为，故可得在区间和单调递减，在区间单调递增．
故的极大值为的极小值为．
16．（15分）
（1）X的可能取值为1，2，3，，
故抽取次数X的概率分布为：
．
（2）每次检验取到新球的概率均为，故，所以．
17．（15分）
（1）证明：因为,所以,
因为，所以．
在中，，即，
所以,即．
又因为平面平面,平面平面平面,
所以平面．
又平面,所以,
在中，，
所以，即,
所以．
而平面平面,
所以平面．
又平面,所以平面平面．
（2）在平面中过点C作的垂线,
以C为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则,
所以，
所以，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为,
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
18．（17分）
（1）解：设直线的方程为,与联立得，得，
设,则,
所以,
由题意知,因为,
所以,
所以，
所以，即点C的坐标为,代入抛物线E的方程得：，解得,满足条件,
所以直线的方程为．
（2）证明：设直线的方程为,与联立得,
,所以,
所以．
由（1）知，所以,
即点A的坐标为．
又点A在抛物线上，所以,所以,
又,所以，所以点A的横坐标,
同理可证，B,C两点的横坐标也小于2．
所以三个顶点的横坐标均小于2．
19．（17分）
（1）解：对于①，设，则可得,所以线性相关；
对于②，设,则可得,所以,所以线性相关；
对于③，设,则可得,解得,所以线性相关；
（2）解：设，
则,
因为向量线性无关，所以,解得，
所以向量线性无关，
（3）①,如果某个，
则,
因为任意个都线性无关，所以都等于0，
所以这些系数或者全为零，或者全不为零，
②因为，所以全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，
所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
B
A
D
A
A
A
题号
9
10
11
答案
ACD
BCD
ABC
题号
12
13①
13②
14
答案
或
X
1
2
3
P