江西省上进联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省上进联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，若点既在直线，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线与直线平行，则的斜率为（ ）
A.6B.C.D.
2.的展开式中的常数项为（ ）
A.15B.C.20D.
3.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是的左支上一点，则（ ）
A.B.C.D.
4.某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加，，，这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（ ）
A.18B.21C.23D.72
5.已知点，，，则原点到平面的距离为（ ）
A.1B.2C.D.
6.如图，在正三棱锥中，高，，点，分别为，的中点，则（ ）
A.B.C.D.
7.若满足的有序实数对有3对，则的值为（ ）
A.1B.2C.3D.4
8.若点既在直线：上，又在椭圆：（）上，的左、右焦点分别为，，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（ ）
A.B.C.或D.或
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，分别为空间中两条不重合的直线，的方向向量，，分别为两个不重合的平面，的法向量，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
10.下列说法正确的是（ ）
A.两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B.在回归分析中，为0.99的模型比为0.88的模型拟合的更好
C.在的展开式中，所有项的系数和为0
D.某时间段的第1天为星期三，则第天为星期四
11.已知直线：，抛物线：与抛物线：的焦点分别为，，则（ ）
A.存在，使得直线过点与
B.存在，使得直线与，各有1个公共点
C.若过与的公共点，则与，两准线的交点距离为
D.与，的交点个数构成的集合为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量，若，则______.
13.“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8—12月在网络平台的月销售额（单位：百万元）与月份具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为，则该国货品牌2023年8—12月在网络平台的总销售额为______百万元.
14.《测圆海镜》是金元时期李冶所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆问题，已知在中，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知点，，直线：与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若圆经过点，且圆心在轴上，求点的坐标.
16.（15分）已知双曲线：（，）经过点，且的一条渐近线的方程为.
（1）求的标准方程；
（2）若点是的左顶点，是上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选一个，求直线与的斜率之积.
①，关于原点对称；②，关于轴对称.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.（15分）2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.
附：①，其中；
②当时有95%的把握认为两变量有关联.
18.（17分）如图，在三棱柱中，是正三角形，四边形是菱形，与交于点，平面，.
（1）若点为中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
19.（17分）已知是抛物线：（）的焦点，过点作斜率为的直线交于，两点，且.
（1）求的标准方程；
（2）若为上一点（与点位于轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.
2023—2024学年第一学期高二年级期末测试
数学参考答案及评分细则
1.【答案】D
【解析】直线的斜率，因为直线与直线平行，所以的斜率为.故选D.
2【答案】A
【解析】的展开式中的通项，取得的展开式中的常数项为.故选A.
3.【答案】B
【解析】双曲线：中，因为点是的左支上一点.所以.故选B.
4.【答案】A
【解析】符合条件的报名方法种数为.故选A.
5.【答案】C
【解析】由题得，，设平面的法向是，则
即取得，又，所以原点到平面的距离为.故选C.
6.【答案】B
【解析】设，，，由题意可得，，，，，则.故选B.
7.【答案】A
【解析】设（），则，，表示点到直线的距离，点又在圆上，所以问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，又圆心到直线的距离为，所以，所以，.故选A.
8.【答案】B
【解析】由，得，，因为的平分线与垂直，所以直线，关于对称，点关于直线的对称点为，所以直线的方程为，与联立得，.故选B.
9.【答案】BC（每选对1个得3分）
【解析】，则，共线，有可能相等，A错误；若，则，共线，因为，不重合，必平行，B正确；，则，C正确；若，则，共线，D错误.故选BC.
10.【答案】AB（每选对1个得3分）
【解析】对于A，两个变量，的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，A正确：对于B，越接近1，模型拟合越好，且，B正确；对于C，取，得所有项的系数之和为1，C错误；，被7除余数为6，所以第天是星期一，D错误.故选AB.
11.【答案】ABD（每选对1个得2分）
【解析】对于A，由题意得，，点，都在直线上，A正确；对于B，联立得，，得，直线与，都相切，B正确；对于C，由题意，的准线方程分别为：，：，过与的公共点时，的方程为，与，两准线的交点分别为，，两交点之间的距离为，当过与的公共点时，的方程为，与，两准线的交点分别为，，两交点之间的距离为，C错误；对于D，与的公共点个数可能是0，1，2，与的公共点个数可能是0，1，2，且在可能过，的公共点，D正确.故选ABD.
12.【答案】0.14
【解析】.
13.【答案】225
【解析】，由在回归直线上，得，所以该国货品牌2023年8—12月在网络平台的总销售额为百万元.
14.【答案】（写成也给分）
【解析】由圆与延长线、延长线都相切，可得圆心在的角平分线所在直线上，设，由题意点在直线上方得，直线的方程为，圆的半径，解得，，所以圆的标准方程为.
15.解：（1）由，，可得直线的斜率为，
直线：与直线垂直，则的斜率为，
所以，，
（2）因为点在铀上，设，
因为圆经过点，，所以，
即，
解得，所以.
16.解：（1）因为双曲线：（，）经过点，
所以，
因为的一条渐近线方程为，所以，
由解得，
所以的标准方程为.
（2）若选①，
则（），，，
因为在上，所以，，
所以线与的科率之积为.
若选②，
则（），，，
因为在上，所以，，
所以直线与的斜率之积为.
17.解：（1）根据列联表中的数据，
得，
所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.
（2）这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，
则抽取的男生有3人，女生在2人，
所以的取值依次为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
.
18.解：因为四边形是菱形，所以，
因为平面，所以，，两两重直，
以点为原点，，，所在直线分别为、轴轴、轴建立空间直角坐标系.
则，，，，.
（1），，，
因为点为中点，所以，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2），，，，
设是平面的一个法向量，则
即取，得，
设是平面的一个法向量，则
即取，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
19.解：（1）指物线的焦点为，直线的方程为，
设，
联立得，，
则，，.
因为，所以，
解得.所以的标准方程为.
（2）设直线的方程为，.
联立得，则，
所以，.
由已知得，所以，即，
所以.
整理，得，
所以，即.
当时，点与点重合，不符合题意；
当时，，则直线的方程为，恒过定点，
所以
.
由已知得，解得，
所以直线的方程为.
不太了解
比较了解
合计
男生
20
40
60
女生
20
20
40
合计
40
60
100
0
1
2