陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高三上学期期末考试数学（理）试卷（Word版附答案）

这是一份陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高三上学期期末考试数学（理）试卷（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了已知集合，则，已知是奇函数，则，在中，在上，且在上，且，已知函数若，且，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选报题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容；高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A．0B．C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．跑步是一项健康的运动，可以让我们的身体更加强壮：某跑步爱好者坚持每天跑步，如图，这是该跑步爱好者某周跑步时长的折线图．
该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是（ ）
A．25B．35C．37.5D．39
4．已知地物线的焦点为，点在上，且，则（ ）
A．8B．10C．11D．15
5．已知是奇函数，则（ ）
A．－1B．1C．－2D．2
6．设数列是递增的等比数列，公比为，前项和为．若，则（ ）
A．31B．32C．63D．64
7．如图，在长方体中，，异面直线与所成仍的余弦值为，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，在上，且在上，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知为第一象限角，若函数的最大值是，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．若函数的导函数都存在，恒成立，且，则必有（ ）
A．B．
C．D．
第II卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．展开式的系数之和是______．（用数字作答）
14．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则______．
15．某企业举办职工技能大赛，经过层层选拔，最终等5名职工进入决赛．假设这5名职工的水平相当，则两人中至少有1人进入前3名的概率是______．
16．已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是______．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在中，内角的对边分别是，且．
（1）求的值；
（2）若的凩长为18，求的面积．
18．（12分）
中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙．为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：
规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高．
（1）从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
（2）将频率视为概率，现从该地41岁50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望．
19．（12分）
如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）
已知椭圆的离心率是，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）直线与椭圆交于（异于点）两点，记直线的斜率分别为，试问直线是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
21．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）是否存在两个正整数，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．［选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是．
（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）是圆上的动点，求点到直线的距离的最大值．
23．［选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，求的最小值．成绩
人数
年龄段
31岁40岁
4
8
13
9
6
41岁50岁
2
8
10
22
18
高三年级教学质量监测数学参考答案（理科）
1．C ．
2．D由题意可得，则．
3．B将该跑步爱好者这周的跑步时长按从小到大的顺序排列为，则该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是35．
4．B由抛物线的定义可得，解得，则，故．
5．B由题意可得．因为是奇函数，所以，即，整理得，解得，故．
6．A由题意可得整理得，解得或（舍去），则，故．
7．C 连接，交于点，取的中点，连接．因为，所以与所成的角为（或其补角）．令，在中，由，得．又，，由余弦定理得，解得，所以
8．C因为，所以，则．因为，所以，则．
9．A作出的大致图象（图略），由图可得的取值范围是．
10．D因为，所以，所以，则，故．
11．C在三棱锥中，底面是以为斜边的直角三角形．
设底面外接圆的圆心为，则其半径，设三棱锥外接球的球心为，半径为，因为二面角为，所以点到底面的距离为，且点在底面的射影为的中点，所以．设球心到底面的距离为，则，且，解得，所以．
12．D由，得．设函数，则，所以单调递增，所以，即．因为，所以，即．
13．256 令，得．
14．5 由等差数列性质可得，则，故．
15． 由题意可知这5名职工最终的排名情况有种，其中两人中恰有1人进入前3名的情况有种，两人都进入前3名的情况有种，故所求概率．
16． 如图，直线与轴交于点，设，则．因为，所以．因．因为，当且仅当时，等号成立，所以，整理得，则，解得．
17．解：（1）因为，所以．
因为，所以，则．
（2）因为，所以．
因为，所以，解得．
因为的周长为18，所以，解得，则．
故的面积为．
18．解：（1）抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为．
（2）根据表格可知从41岁~50岁年龄段中随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率．
由题意可知的可能取值为，
则，，
，，
故的分布列为
的数学期望．
注：也可以写成．
19．（1）证明：取的中点，连接．
因为为圆弧的两个三等分点，所以．
因为分别为的中点，所以，
则，从而四边形为平行四边形，故．
因为平面平面，所以平面．
（2）解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，，
则．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
20．解：（1）由题意可得解得，
则椭圆的标准方程为．
（2）当直线的斜率为0时，设，
则，从而．
因为在椭圆上，所以，所以，则，不符合题意．
当直线的斜率不为0时，设直线．
联立整理得，
由题意可知，则．
因为，所以，
则．
因为，所以，
所以．
将代入上式，得，则，
整理得，即．
因为，所以．故直线过定点．
21．解：（1），
当时，对时恒成立，单调递减．
当时，，则在上单调递增，
， , 则 在 上单调递减．
（2）由（1）知，令，得在上单调递增，
在上单调递减，则．
因为，所以，即，
即，因为为正整数，所以．
当时，，
因为，所以，这与矛盾，不符合题意．
当时，因为，所以，
所以，得，即．
经检验，当时，不符合题意，
当时，符合题意，
当时，因为，所以，
当时，，
所以．
综上，仅存在满足条件．
22．解：（1）由（t为参数），得，即，
则直线的普通方程为．
由，得，
即，则圆的直角坐标方程为．
（2）由（1）可知圆的圆心坐标为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
故点到直线的距离的最大值为．
23．解：（1）因为，所以．
当时，恒成立，则符合题意；
当时，，即，即，解得
综上，不等式的解集为．
（2）若，则
在上单调递减，在上单调递增，故．0
1
2
3