2023-2024学年河北省唐山市乐亭县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省唐山市乐亭县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，四象限，则m的取值可能是，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知反比例函数y=mx的图象过第二、四象限，则m的取值可能是( )
A. 2B. −1C. 1D. 0
2.下表记录了甲、乙、丙三名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法选择
3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=38°，则∠AOB的度数为( )
A. 38°
B. 76°
C. 80°
D. 60°
4.二次函数y=(x−1)2+2的顶点坐标是( )
A. (−2,1)B. (1,2)C. (−1,2)D. (1,−2)
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB等于( )
A. 34B. 45C. 74D. 35
6.用配方法解一元二次方程x2−2x=9，配方后可变形为( )
A. (x−1)2=10B. (x+1)2=10C. (x−1)2=−8D. (x+1)2=−8
7.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是( )
A. 点D
B. 点E
C. 点F
D. 点G
8.如图，在△ABC中，DE/​/BC，ADBD=23，若BC=10，则DE等于( )
A. 5
B. 4
C. 2.5
D. 2
9.已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0有两个不相等的实数根，则( )
A. a<−1B. a≤−1C. a>−1D. a≥−1
10.如图，在△ABC纸片中，∠A=76°，∠B=34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是( )
A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④
11.已知⊙O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2−x−20=0的一个根，若⊙O与直线l相离，⊙O的半径可取的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
12.如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为( )
A. 185π
B. 4π
C. 545π
D. 12π
13.如图，平面直角坐标系中，点A(0,3)，B(1,0)，∠ABC=90°，BC=2AB，点C在函数y=kx(x>0)的图象上，则k的值为( )
A. 9
B. 14
C. 30
D. 35
14.如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状(O为圆心)，过A，B两点的切线交于点C，测得∠C=120°，A，B两点之间的距离为72米，则这段公路AB的长度为( )
A. 12π米
B. 24π米
C. 36π米
D. 48π米
15.无论实数n为何值，y关于x的二次函数y=−4(x−n)2−3n图象的顶点一定在( )
A. 直线y=−3x上B. y轴上C. 直线y=3x上D. x轴上
16.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图.图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D.若AB=12，OB=5，则下列结论正确的是( )
A. FC=3B. EF=12
C. 当AB与⊙O相切时，EA=4D. 当OB⊥CD时，EA=AF
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
17.如图，点P在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为7，则k的值为______．
18.如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC=10m，∠B=30°，则中柱AD(D为底边中点)的长为______m.
19.一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，该圆的直径是______．
20.如图，抛物线y=−x2+12x−35与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于B，D两点，若直线y=−x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访了该小区的10名居民，得到这10名居民一周内使用共享单车的次数统计表如下：
(1)这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是______次，众数是______次；
(2)若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是______(填“中位数”“方差”或“平均数”)；
(3)该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．
22.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，BC=8，D是BC边上一点，且CD=2．
(1)求证：△ABC∽△DAC；
(2)求AC的长．
23.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−2ax+2a(a为常数)．
(1)当抛物线经过点(2,6)时，求a的值；
(2)当a=1时，
①若y随x的增大而减小，则x的取值范围为______；
②若0≤x≤4，则函数的最大值为______，最小值为______．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=x+m与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为(3,1)和(−1,n)．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式x+m>kx的解集；
(3)点P为反比例函数y=kx图象上的任意一点，若S△POC=3S△AOC，直接写出点P的坐标______．
25.(本小题12分)
在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，它跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系．
通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x(单位：m)与竖直高度y(单位：m)进行测量，得到以下数据：
根据上述数据，回答下列问题：
①野兔本次跳跃的最远水平距离为______m，最大竖直高度为______m；
②求满足条件的抛物线的解析式；
(2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m.若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，通过计算说明野兔此次跳跃能跃过篱笆吗？
26.(本小题12分)
如图1，已知∠ABC=60°，点O在射线BC上，且OB=4.以点O为圆心，r(r>0)为半径作⊙O，交直线BC于点D，E．
(1)当⊙O与BA相切时，r的值是______；
(2)当r=2 2时，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转α(0°<α<180°)：
①当α为______时，射线BA与⊙O相切；
②如图2，射线BA与⊙O交于M，N两点，若MN=OB，求阴影部分的面积；
(3)当⊙O与∠ABC的边只有两个交点时，r的取值范围是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=mx的图象过第二、四象限，
∴m<0，
故选：B．
根据反比例函数过第二、四象限，可知：k<0即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟记性质是解决问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由表格知，甲的方差最小，
所以要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，
故选：A．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠AOB=2∠C，∠C=38°，
∴∠AOB=76°，
故选：B．
根据圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：二次函数y=(x−1)2+2的顶点坐标是(1,2)．
故选：B．
直接应用二次函数的顶点坐标公式即可．
本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式，解题关键是正确应用公式．
5.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴sinB=ACAB=35，
故选：D．
根据锐角三角函数的正弦定义进行解答即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切定义是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：x2−2x=9，
∴x2−2x+1=9+1，
∴(x−1)2=10，
故选：A．
根据配方法求解即可．
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由图可知，FA= 22+12= 5,FC= 22+12= 5,FB= 22+12= 5，
∴FA=FB=FC，
∴F点在AB，AC，BC三边的垂直平分线上，
∴点F是△ABC外心，
故选：C．
根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点．
8.【答案】B
【解析】解：∵ADBD=23，
∴ADAB=25，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=25，
∵BC=10，
∴DE10=25，
解得：DE=4，
故选：B．
根据ADBD=23，得出ADAB=25，通过证明△ADE∽△ABC，得出ADAB=DEBC=25，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意得Δ=(−2)2−4×(−a)>0，
解得a>−1．
故选：C．
利用根的判别式的意义得到Δ=(−2)2−4×(−a)>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
10.【答案】C
【解析】解：
图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=76°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，只有一对角相等，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，
故选：C．
根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两组角对应相等的两三角形相似是解此题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵x2−x−20=0，
∴x1=5，x2=−4，
∵⊙O的圆心到直线l的距离d是一元二次方程x2−x−20=0的一个根，
∴d=5，
∵⊙O与直线l相离，
∴⊙O的半径r即r<5，
故选：A．
先求方程的根，可得d的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解一元二次方程，熟练掌握直线与圆的位置关系是解决问题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵正五边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷5=72°，
∴正五边形的每个内角为180°−72°=108°，
∵正五边形的边长为6，
∴S阴影=108⋅π×62360=545π，
故选：C．
首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式．
13.【答案】B
【解析】解：作CD⊥x轴，垂足为点D，
∵∠AOB=∠BDC，∠ABO=∠BCD，
∴△AOB∽△BDC，
∴ABBC=AOBD=12，
∴BD=2AO=6，CD=2BO=2，
∴OD=7，
∴C(7,2)，
∴k=14．
故选：B．
利用△AOB∽△BDC求出OD和CD，得到点C坐标即可求出k值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：连接AB，如图，则AB=72米，
∵CA、CB为⊙O的切线，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠AOB=180°−∠C=180°−120°=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=AB=72米，
∴AB的长度=60×π×72180=24π(米)．
故选：B．
连接AB，如图，则AB=72米，先利用切线的性质得到∠OAC=∠OBC=90°，则根据四边形的内角和计算出∠AOB=60°，再判断△AOB为等边三角形得到OA=AB=72米，然后根据弧长公式计算AB的长度即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弧长的计算．
15.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=−4(x−n)2−3n，其顶点坐标为：(n,−3n)，
∴无论n为何实数其图象的顶点都在：直线y=−3x上，
故选项A符合题意．
故选：A．
首先得出二次函数顶点坐标，进而利用坐标的性质得出所在直线．
此题主要考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，得出顶点坐标是解题关键．
16.【答案】C
【解析】解：如图，由题意可得：
AB=CE=12，AB+BO=OE=17，FD=AB=12，OC=OB=OD=5，
∴FC=FD−CD=12−10=2，故A不符合题意；
EF=CE−CF=12−2=10，故B不符合题意；
如图，当AB与⊙O相切时，∠ABO=90°，
∴AO= AB2+OB2=13，
∴EA=EO−AO=17−13=4，故C符合题意；
当OB⊥CD时，如图，
∴AO= 122−52= 119，
∴AE=EO−AO=17− 119，AF=AO−OF= 119−2−5= 119−7，
∴AE≠AF，故D不符合题意；
故选：C．
根据切线的性质和勾股定理以及垂径定理即可得到结论．
本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
17.【答案】−14
【解析】解：∵S△PAO=7，
∴12|x⋅y|=7，即12|k|=7，则|k|=14，
∵图象经过第二象限，
∴k<0，
∴k=−14．
故答案为：−14．
由△PAO的面积为7可得12|k|=7，再结合图象经过的是第二象限，从而可以确定k值．
本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，解题的关键是要明确过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为12|k|．
18.【答案】5 33
【解析】解：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∠B=30°，BD=12BC=5(m)，
∵tanB=ADBD，
∴AD=tanB⋅BD
= 33×5
=5 33(m)，
答：中柱AD的长为5 33m.
故答案为：5 33．
根据等腰三角形的性质，得出AD⊥BC，在Rt△ABD中，由直角三角形的边角关系可求出AD．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
19.【答案】9cm或3cm
【解析】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离MB=3cm，最大距离MA=6cm，
∴直径AB=3cm+6cm=9cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离MA=3cm，最大距离MB=6cm，
∴直径AB=6cm−3cm=3cm；
故答案为：9cm或3cm．
点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离−最小距离．
本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
20.【答案】5【解析】解：∵抛物线y=−x2+12x−35与x轴交于点A、B，
令y=0，得−x2+12x−35=0，
解得：x1=5，x2=7，
∴B(5,0)，A(7,0)．
∴AB=7−5=2，
∵将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于B，D两点，
∴抛物线向左平移2个单位长度．
∵y=−x2+12x−35=−(x−6)2+1，
∴平移后解析式为y=−(x−4)2+1．
当直线y=−x+m过B点，有2个交点，
∴0=−5+m，
解得：m=5；
当直线y=−x+m与抛物线C2相切时，有2个交点，
∴−x+m=−(x−4)2+1，
整理，得x2−9x+m+15=0，
∴Δ=81−4(m+15)=0
解得：m=214．
如图，
∵直线y=−x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
∴5故答案为：5首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=−x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=−x+m过点A时m的值，结合图形即可得到答案．
本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
21.【答案】13 16 中位数
【解析】解：(1)这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是10+162=13(次)，
众数为16次，
故答案为：13，16；
(2)把数据“20”看成了“30”，
那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数，
故答案为：中位数．
(3)∵样本的平均数为：0×1+5×1+10×3+16×4+20×11+1+3+4+1=11910，
∴估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2000×11910=23800次．
(1)根据众数、中位数分别求解可得；
(2)由中位数不受极端值影响可得答案；
(3)先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得．
本题考查的是平均数、众数、中位数的求法和性质，方差的性质，样本估计总体，牢记各个数的定义是关键．
22.【答案】(1)证明：在△ABC与△DAC中，
∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC；
(2)解：由(1)知，△ABC∽△DAC，
∴ACDC=BCAC，即AC8=2AC，
解得AC=4或AC=−4(不合题意，舍去)．
【解析】(1)利用两组对应角分别相等的三角形相似即可证明；
(2)根据两三角形相似，对应边成比例即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
23.【答案】x<1 10 1
【解析】解：(1)将点(2,6)代入y=x2−2ax+2a得：
6=22−2a×2+2a，
解得：a=−1；
(2)当a=1时，y=x2−2x+2，
①抛物线的对称轴为直线：x=−b2a=−−22=1，
∵抛物线开口向上，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
②若0≤x≤4，
则当x=1时，函数有最小值，最小值为y=12−2×1+2=1；
当x=4时，函数有最大值，最大值为y=42−2×4+2=10；
故答案为：①x<1；②10，1．
(1)将点(2,6)代入y=x2−2ax+2a即可求解；
(2)由抛物线的解析式可确定对称轴和开口方向，据此即可求解．
本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值、增减性等知识点．熟记相关结论即可．
24.【答案】(1,3)或(−1,−3)
【解析】解：(1)∵直线AB：y=x+m过点A(3,1)，B(−1,n)．
∴1=3+m，
∴m=−2，
∴一次函数的解析式为y=x−2，
∵反比例函数y=kx的图象过点A(3,1)，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的解析式为y=3x；
(2)把B(−1,n)代入y=x−2，得n=−1−2=−3，
∴点B的坐标为(−1,−3)，
观察图象，不等式x+m>kx的解集为−13；
(3)把y=0代入y=x−2得：x=2，
即点C的坐标为：C(2,0)，
∴S△AOC=12×2×1=1，
∵S△POC=3S△AOC，
∴S△POC=12OC⋅|yP|=12×2⋅|yP|=3，
∴|yP|=3，
当点P的纵坐标为3时，则3=3x，解得x=1，
当点P的纵坐标为−3时，则−3=3x，解得x=−1，
∴点P的坐标为(1,3)或(−1,−3)．
故答案为：(1,3)或(−1,−3)．
(1)利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式；
(2)求出点B的坐标，根据图象求解即可；
(3)根据图象求出S△AOC，再根据S△POC=3S△AOC求出S△POC，即可求出．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题关键．
25.【答案】2.8 0.98
【解析】解：(1)①由x=0，y=0和x=2.8，y=0可知，
野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8−0=2.8(米)，
对称轴为直线x=2.8+02=1.4，
∴当x=1.4时，y有最大值0.98，
∴野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98米，
故答案为：2.8，0.98；
②设抛物线的解析式为y=a(x−1.4)2+0.98，
把x=1，y=0.9代入y=a(x−1.4)2+0.98得，
a(1−1.4)2+0.98=0.9，
解得a=−0.5，
∴抛物线的解析式为y=−0.5(x−1.4)2+0.98；
(2)设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为y=mx2+nx，
根据题意得：−n2m=32−n24m=1，
解得m=−49n=43，
∴野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为y=−49x2+43x，
当x=2时，y=−49×22+43×2=−169+83=89，
∵89>0.8，
∴野兔此次跳跃能跃过篱笆．
(1)①根据表中数据得出结论；
②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)先根据兔子跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m，求出函数解析式，再把x=2代入解析式求出y与0.8比较即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26.【答案】2 3 15° 0【解析】解：(1)过点O作OF⊥AB交于点F，
∵OB=4，∠ABC=60°，
∴OF=BO⋅sin∠ABC=4× 32=2 3，
故答案为：2 3；
(2)①过点O作OF⊥BA交于F，
∵OF=r=2 2，OB=4，
∴sin∠ABO=OFBO=2 24= 22，
∴∠ABO=45°，
∴α=60°−45°=15°，
故答案为：15°；
②过点M作OF⊥BA交于F，连接OM、ON，
∵MN=OB=4，
∴MF=2，
∵MO=r=2 2，
∴FO= MO2−MF2=2，
∴∠MOF=45°，
∴∠MON=90°，
∴阴影部分的面积=14π×(2 2)2−12×4×2=2π−4；
(3)由(1)可知当r=2 3时，⊙O与∠ABC的边只有一个交点，
∴0故答案为：0(1)过点O作OF⊥AB交于点F，在Rt△BOF中，OF=BO⋅sin∠ABC=2 3；
(2)①过点O作OF⊥BA交于F，sin∠ABO=OFBO= 22，可得∠ABO=45°，则α=60°−45°=15°；
②过点M作OF⊥BA交于F，连接OM、ON，在Rt△MOF中，FO=2，MF=2，可得∠MOF=45°，则∠MON=90°，再求阴影部分面积即可；
(3)由(1)可知当r=2 3时，⊙O与∠ABC的边只有一个交点，所以0本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，切线的定义，勾股定理，扇形的面积公式是解题的关键．甲
乙
丙
平均数(cm)
186
186
186
方差
3.5
5.4
7.3
使用次数
0
5
10
16
20
人数
1
1
3
4
1
水平距离x/m
0
0.4
1
1.4
2
2.4
2.8
竖直高度y/m
0
0.48
0.9
0.98
0.8
0.48
0