2023-2024学年河南省鹤壁市浚县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省鹤壁市浚县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一个正数的两个平方根分别为2m−1与2−m，则m的值为( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
2.计算：(−13)99×3100是( )
A. 13B. −3C. 3D. −13
3.下列命题中，是真命题的是( )
A. 全等三角形的对应角相等B. 面积相等的两个三角形是全等三角形
C. x−3<0的解是x=1D. 如果a>b，则a2>b2
4.下列因式分解结果正确的是( )
A. −6a3−18a2=−a2(6a+18)B. a4−1=(a2+1)(a2−1)
C. a2+4a+16=(a+4)2D. (a2+b2)2−4a2b2=(a+b)2(a−b)2
5.下列运算中，正确的是( )
A. a2⋅a=a3B. (a3)3=a6C. a3+a3=a5D. a6÷a2=a3
6.如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上(如图)，可以说明△ABC≌△EDC，得AB=DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是( )
A. SASB. HLC. SSSD. ASA
7.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，DE=4，AB=7，则△ABD的面积等于( )
A. 28
B. 21
C. 14
D. 7
8.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.过点F作DE/​/BC，交AB于点D，交AC于点E.若AB=4，AC=5，则△ADE的周长为( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 13
9.如图，AB=12cm，∠A=∠B=60°，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x(cm/s)的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s).当△ACP与△BPQ全等时，x的值是( )
A. 2B. 3或1.5C. 2或1.5D. 2或3
10.如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③∠BCD=∠BAE；④AD=EF=EC；⑤BA+BD=2BF，其中正确的结论有( )
A. ①②③④B. ①②③④⑤C. ①②③D. ①②③⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知x2=4，则x的值为______．
12.已知x，y为有理数，且满足 1+x=(y−1) 1−y，则x2023−y2023= ______．
13.顶角为36°的等腰三角形叫做“黄金三角形”，如图，△ABC是一个“黄金三角形”，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，延长BC到点E，使得BD=ED，则∠E的度数为______．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，点P是∠ACB的平分线CD上的一动点，CE=12BC=8，△ABC的面积为48，则PA+PE的最小值为______．
15.如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6，则CF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.先化简，再求值：(x+2y)(x−2y)−(2x3y−4x2y2)÷2xy,其中x=−3,y=12
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：−12+ 16+| 2−1|+3−8．
18.(本小题10分)
因式分解：
(1)4a2−9；
(2)2x2y−8xy+8y．
19.(本小题10分)
某条高速公路限速100km/h，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50m的B处，过了4s，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m．
(1)求AB的长．
(2)这辆大巴车超速了吗？
20.(本小题10分)
观察如图1所示图形，每个小正方形的边长为1．
(1)则图中阴影部分的面积是______，边长是______，并在数轴上(图2)准确地作出表示阴影正方形边长的点．
(2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为 15的整数部分，
求：①x，y的值：
②(x+y)2的算术平方根．
21.(本小题10分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)中所作的图形中，求证：AD⊥EF．
22.(本小题10分)
学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中一共抽取了______名学生；
(2)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是______度；
(4)根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．
23.(本小题12分)
两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD=CE；
(2)解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m−1与2−m，
∴2m−1+2−m=0，解得：m=−1．
故选：C．
根据平方根的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
本题考查的是平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：(−13)99×3100
=(−13)99×399×3
=[(−13)×3]99×3
=(−1)99×3
=−1×3
=−3，
故选：B．
根据积的乘方法则的逆运算解答即可．
本题考查了积的乘方，利用的乘方法则的逆运算简便计算是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A.利用全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，
故选项A正确，是真命题，符合题意；
B.利用能够完全重合的两个三角形是全等三角形，面积相等的两个三角形不一定重合，
故面积相等的两个三角形是全等三角形，不正确，
故选项B是假命题，不符合题意；
C.利用x−3<解得：x<3，
故选项C是假命题，不符合题意；
∵a>b，
当a=1，b=−3时，则a2故选项D是假命题，不符合题意．
故选：A．
根据全等三角形的性质以及全等三角形的判定，一元一次不等式的解法逐一判断即可．
本题主要考查命题与定理，解题的关键是掌握真命题与假命题的定义．
4.【答案】D
【解析】解：−6a3−18a2=−6a2(a+3)，则A不符合题意；
a4−1=(a2+1)(a2−1)=(a2+1)(a+1)(a−1)，则B不符合题意；
a2+4a+16无法因式分解，则C不符合题意；
(a2+b2)2−4a2b2=(a2+b2+2ab)(a2+b2−2ab)=(a+b)2(a−b)2，则D符合题意；
故选：D．
将各式因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、a2⋅a=a3，计算正确，故本选项正确；
B、(a3)3=a9，计算错误，故本选项错误；
C、a3+a3=2a3，计算错误，故本选项错误；
D、a6÷a2=a4，计算错误，故本选项错误．
故选：A．
根据同底数幂的乘除法，幂的乘方及合并同类项依次判断即可．
本题是对整式运算的考查，熟练掌握同底数幂相乘除，幂的乘方及积的乘方的法则是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：作DF⊥BA交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE=4，
∴△ABD的面积=12×AB×DF=12×7×4=14，
故选：C．
作DF⊥BA，根据角平分线的性质得到DF=DE=4，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：因为BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
所以∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，
因为DE/​/BC，
所以∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，
所以∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，
所以BD=FD，CE=FE，
因为AB=4，AC=5，
所以△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+FE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=4+5=9．
故选：B．
根据角平分线的定义得到∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，平行线的性质得到∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，等量代换得到∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，根据等腰三角形的判定定理得到BD=FD，CE=FE，即可得到结论．
此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得AP=2t cm，BQ=tx cm，PB=(12−2t)cm，
∵∠A=∠B=60°，
∴当AP=BP，AC=BQ时，△APC≌△BPQ(SAS)，
即2t=12−2t，9=tx，
解得t=3，x=3；
当AP=BQ，AC=BP时，△APC≌△BQP(SAS)，
即2t=tx，9=12−2t，
解得x=2，t=32；
综上所述，x的值为3或2．
故选：D．
根据题意得AP=2t cm，BQ=tx cm，PB=(12−2t)cm，由于∠A=∠B=60°，所以当AP=BP，AC=BQ时，△APC≌△BPQ，即2t=12−2t，9=tx，当AP=BQ，AC=BP时，△APC≌△BQP(SAS)，即2t=tx，9=12−2t，然后分别解方程可求出对应的x的值．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
10.【答案】D
【解析】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
BD=BC∠ABD=∠CBDBE=BA，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，故①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD=BC，BE=BA，
∴∠BDC=∠BCD，∠BEA=∠BAE，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；
③∵△ABD≌△EBC，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BAE，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠CBD=∠ABD，∠ABD+2∠BAE=180°，∠CBD+2∠BCD=180°，
∴∠BCD=∠BAE，故③正确，
④∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∵EF故④错误；
⑤过E作EG⊥BC于G点，
∵E是BD上的点，
∴EF=EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
BE=BEEF=EG，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF(HL)，
∴BG=BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
EF=EGAE=CE，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF(HL)，
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG−CG=BF+BG=2BF，故⑤正确．
故选：D．
根据全等三角形的判定定理得到△ABD≌△EBC，由全等三角形的性质得到∠BCE=∠BDA，AD=EC，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=EC，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
11.【答案】±2
【解析】解：∵x2=4，
∴x=±2，
故答案为：±2．
根据平方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
12.【答案】−2
【解析】解：根据题意可得：
1+x=0，1−y=0，
解得：x=−1，y=1，
把x=−1，y=1代入x2023−y2023=−1−1=−2，
故答案为：−2．
直接利用绝对值的性质以及算术平方根的定义得出1+x=0，1−y=0，进而求出答案．
此题主要考查了绝对值以及算术平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．
13.【答案】36°
【解析】解：∵△ABC是一个“黄金三角形”，AB=AC，
∴∠A=36°，∠ABC=∠ACB=12(180°−∠A)=12×(180°−36°)=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC=12∠ABC=36°，
又∵BD=ED，
∴∠E=∠DBC=36°，
故答案为：36°．
由“黄金三角形”的定义得∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°，再由角平分线定义得∠DBC=36°，然后由等腰三角形的性质即可得出结论．
本题考查了“黄金三角形”的定义、等腰三角形的性质、角平分线定义以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握“黄金三角形”的定义和等腰三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】【分析】
过A作AF⊥BC于F，交CD于P，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD，根据全等三角形的性质得到PE=PF，推出点E，F关于CD对称，得到此时PA+PE的值最小，且等于AF，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查轴对称−最短问题，关键是利用全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答．
【解答】
解：过A作AF⊥BC于F，交CD于P，
∵AB=AC，
∴CF=12BC，
∵CE=12BC=8，
∴BC=16，CF=CE=8，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△FCP与△ECP中，
CE=CF∠ECP=∠FCPCP=CP，
∴△FCP≌△ECP(SAS)，
∴PE=PF，
∴点E，F关于CD对称，
∴此时PA+PE的值最小，且等于AF，
∵△ABC的面积为48，
∴12BC⋅AF=48，
∴AF=6，
∴PA+PE的最小值为6．
15.【答案】2.4
【解析】解：如图，延长AD至G，使DG=AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中，
BD=CD∠BDG=∠CDADG=DA，
∴△BDG≌△CDA(SAS)，
∴BG=AC，∠CAD=∠G，
∵∠AEF=∠FAE，
∴∠CAD=∠AEF，
∵∠BEG=∠AEF，
∴∠CAD=∠BEG，
∴∠G=∠BEG，
∴BG=BE=4，
∴AC=BE=4，
∵∠AEF=∠FAE，
∴AF=EF=1.6，
∴CF=AC−AF=4−1.6=2.4．
故答案为：2.4．
延长AD至G，使DG=AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA(SAS)，则BG=AC，∠CAD=∠G，根据AF=EF，得∠CAD=∠AEF，可证出∠G=∠BEG，即得出AC=BE=4，然后利用线段的和差即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】解：原式=(x+2y)(x−2y)−(2x3y−4x2y2)÷2xy
=x2−4y2−x2+2xy
=−4y2+2xy，
当x=−3，y=12时，
原式=−1−3
=−4．
【解析】先根据整式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
17.【答案】解：原式=1+4+ 2−1+(−2)
=−1+4+ 2−1−2
= 2．
【解析】先根据根式化简的性质将 16，3−8化简，再根据绝对值性质去| 2−1|的绝对值符号，最后根据实数运算法则求解．
本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序及运算法则．
18.【答案】解：(1)4a2−9
=(2a)2−32
=(2a+3)(2a−3)；
(2)原式=2y(x2−4x+4)
=2y(x−2)2．
【解析】(1)直接运用公式法分解因式即可；
(2)直接提取公因式2y，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
19.【答案】解：(1)由题意知，△ABC是直角三角形，AC=130m，BC=50m，
∴AB= AC2−BC2= 1302−502=120(m)，
即AB长为120m；
(2)大巴车的速度为：120÷4=30(m/s)=30×36001000(km/h)=108(km/h)，
∵108km/h>100km/h，
∴这辆大巴车超速了．
【解析】(1)利用勾股定理求解；
(2)用路程除以时间求出速度，与限速进行比较即可．
本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．
20.【答案】13 13
【解析】解：(1)设阴影部分正方形的边长为a，由网格构造直角三角形可得，
a2=22+32，
即a2=13，
∴a= 13，
∴阴影部分的面积为13，
故答案为：13， 13；
(2)①∵3< 13<4，
∴ 13的小数部分为 13−3，
即x= 13−3，
又∵3< 15<4，
∴ 15的整数部分是3，
即y=3，
在数轴上表示 13如图所示：
答：x= 13−3，y=3；
②当x= 13−3，y=3时，
(x+y)2=( 13−3+3)2=13．
所以(x+y)2的算术平方根为 13．
(1)根据勾股定理求出阴影部分的边长的平方即可，进而求出边长；
(2)根据算术平方根的定义估算无理数 13的大小，确定x、y的值，再代入计算即可．
本题考查估算无理数的大小以及平方根、算术平方根，掌握算术平方根的定义是解决问题的关键．
21.【答案】(1)解：如图，

(2)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
而DE=DF，
∴AD垂直平分EF，
即AD⊥EF．
【解析】(1)利用基本作图，过D点作DF⊥AC于F；
(2)先根据角平分线的性质得到DE=DF，则可判断Rt△ADE≌Rt△ADF，所以AE=AF，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理得到AD垂直平分EF．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
22.【答案】

【解析】(1)32÷40%=80(名)，
故答案为：80；
(2)见答案；
(3)D等级所对应的扇形圆心角的度数为：360°×880=36°，
故答案为：36；
(4)见答案．
(1)根据A等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数；
(2)根据(1)中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出B等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
(3)根据D等级的人数以及抽取的学生数计算出D等级所对应的扇形圆心角的度数；
(4)求出C等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．
本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中的数量关系是解决问题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由如下：
如图：

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=90°=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ADC=180°−∠CDE=135°，
∴∠BEC=∠ADC=135°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME，
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴DE=2CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
【解析】(1)根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，证明△ABD≌△ACE(SAS)，即可得BD=CE；
(2)根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE(SAS)，即有AD=BE，∠ADC=∠BEC，从而可得∠BEC=∠ADC=135°，即知∠AEB=∠BEC−∠CED=90°，由CD=CE，CM⊥DE，∠DCE=90°，可得DM=ME=CM，故AE=AD+DE=BE+2CM．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．解：(1)80；
(2)B等级的学生为：80×20%=16(名)，
补全条形图如下，
(3)36°；
(4)2000×2480=600(名)，
答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为C等级．