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2023-2024学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数列1，3，6，10，x，21，28，…中，由给出的数之间的关系可知x的值是( )
A. 12B. 15C. 17D. 18
2.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别是F1(−13,0)，F2(13,0)，点P在双曲线C上，且|PF1|−|PF2|=10，则双曲线C的方程是( )
A. x25−y212=1B. x212−y25=1C. x2144−y225=1D. x225−y2144=1
3.曲线f(x)=x+csx在点(π2,f(π2))处的切线斜率为( )
A. 0B. 1C. −1D. 2
4.已知数列{an}满足2an+1=2an+1，其中a8=92，则a3=( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
5.若点P到点F(2,0)的距离比它到直线x+3=0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )
A. y2=2xB. y2=4xC. y2=8xD. x2=8y
6.已知过点A(a,0)作曲线C：y=x⋅ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−4)∪(0,+∞)B. (0,+∞)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)
7.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就.在杨辉三角中，第n行的和为2n−1(n=1,2,…)，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前45项和为( )
A. 4052B. 2047C. 2048D. 2026
8.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A，B(其中A在x轴上方)，A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若|MF|=2 3，|NF|=2，则p=( )
A. 3B. 2C. 3D. 4.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.判断下列命题正确的是( )
A. 函数的极小值一定比极大值小
B. 对于可导函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0为函数的一个极值点
C. 函数f(x)在(a,b)内单调，则函数f(x)在(a,b)内一定没有极值
D. 三次函数在R上可能不存在极值
10.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1n+1−Snn=−1，S1=32，则下列说法正确的是( )
A. {an}是等差数列
B. S3，S6−S3，S9−S6成等差数列，公差为−9
C. 当n=16或n=17时，Sn取得最大值
D. Sn≥0时，n的最大值为32
11.抛物线C：x2=2py的焦点为F、P为其上一动点，当P运动到(t,1)时，|PF|=2，直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(2,2)，下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为：x2=8y
B. 抛物线的准线方程为：y=−1
C. 当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D. 以M为中点的弦的直线方程为：y=x
12.已知函数f(x)=lnxx，g(x)=xex之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的为( )
A. 函数g(x)在x=0处的切线与函数f(x)在x=1处的切线平行
B. 方程f(x)=g(x)有两个实数根
C. 若直线y=a与函数g(x)交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，与函数f(x)交于点B(x2,y2)，C(x3,y3)，则x1x3=x22
D. 若f(m)=g(n)<0，则mn的最小值为−1e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一般地，当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0+Δt)−S(t0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t=t0时的______．
14.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=4 2，深度MO=2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Q(4,3)，则|PF|+|PQ|的最小值______．
15.已知f(x)=xex，g(x)=−(x+1)2+a，若∃x1，x2∈[−2,0]，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的最小值是______．
16.在数列{an}中，已知an+2=3an+1−2an，a1=1，a2=3，则数列{an}的通项公式an= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知双曲线C:x24−y23=1．
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4,0)，求|PA|的最小值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−aex．
(1)若f(x)在x=2处取得极大值，求实数a的值；
(2)若f(x)在(−1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，{Snan}是公差为13的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2+…+1an<2．
20.(本小题12分)
在①a3=5，a2+a5=6b2；②b2=2，a3+a4=3b3；③S3=9，a4+a5=8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1=b1，d=q，．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn=anbn，求数列{cn}前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为 6p．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交
抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2.求k1+k2的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−ax+1．
(1)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求证：当n∈N+时，1+12+13+⋅⋅⋅+1n+e>ln(n+1)+1+1nn成立．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了对数列的规律的观察，属于基础题．
由数列1，3，6，10，x，21，28，….可知：3−1=2，6−3=3，10−6=4，x−10=5.即可得出．
【解答】
解：由数列1，3，6，10，x，21，28，…
可知：3−1=2，6−3=3，10−6=4，x−10=5，∴x=15．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：由题意可知2a=10，c= a2+b2=13，解得a=5，b=12，
所以双曲线C的方程是x225−y2144=1．
故选：D．
根据双曲线定义求解即可．
本题主要考查双曲线的定义，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：对函数f(x)求导可得，f′(x)=1−sinx，
所以f′(π2)=0，
即曲线f(x)在点(π2,f(π2))处的切线斜率为0．
故选：A．
对函数求导，利用导数的几何意义求f′(π2)，即可得答案．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵数列{an}满足2an+1=2an+1，
∴an+1=an+12，
∴数列{an}是公差为12的等差数列，
∵a8=92=a3+5d，
∴a3=92−5×12=2，
故选：C．
根据数列的递推关系式求得数列为等差数列，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力和逻辑推理能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x+2=0的距离，
所以由抛物线的定义知：点P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，
以直线x+2=0为准线的抛物线，且p=4，故点P的轨迹方程为y2=8x．
故选：C．
利用已知条件转化求解抛物线方程即可．
本题考查抛物线的定义以及简单性质的应用，考查计算能力．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．
设切点为(m,mem)，求得y=x⋅ex的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】
解：设切点为(m,mem)，y=x⋅ex的导数为y′=(x+1)ex，可得切线的斜率为(m+1)em，
则切线方程为y−mem=(m+1)em(x−m)，
切线过点A(a,0)代入得−mem=(m+1)em(a−m)，
可得方程m2−ma−a=0有两个解，
则有△=a2+4a>0可得a>0或a<−4．
即a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞)．
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：由题意，可知没有去掉“1”之前，第n行的和为2n−1(n=1,2,⋯⋯)，
故每一行的数的和构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
设前n行所有数的和为Sn，
则前n行所有数的和为Sn=1−2n1−2=2n−1，
设前n行的数的所有个数为Tn，
∵每一行的数的个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴前n行的数的所有个数为：Tn=n(n+1)2，
∵当n=11时，T11=11×122=66，
∴去掉“1”后的所有数的个数为66−21=45，
∴数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……的前45项和为：
S11−21=211−1−21=2026．
故选：D．
由没有去掉“1”之前，第n行的和为2n−1(n=1,2,⋯⋯)，可求得前n行所有数的和Sn=2n−1，再得到前n行的数的所有个数Tn=n(n+1)2，再由n=11时，去掉“1”后为45个数求解．
本题主要考查数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，等差数列与等比数列的定义，等差数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：如图，
由题意知，|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，
则∠AMF=∠AFM，∠BFN=∠BNF，
由AM//BN//x轴，可知2∠AFM+2∠BFN=π，则∠MFN=π2，
∴|MN|2=|NF|2+|MF|2=16，∴|MN|=4，
∵S△MNF=12p⋅|MN|=12|MF|⋅|NF|=2 3，
∴p= 3．
故选：A．
根据抛物线的定义可得∠MFN=π2，利用直角三角形可求出|MN|=4，由面积等积法求出p= 3．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误；
对于B选项，若f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立，则f(x)无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误；
对于C选项，f(x)在(a,b)内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确；
对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立，则f(x)无极值点，故D选项正确．
故选：CD．
根据导数与极值的关系依次判定即可．
本题考查导数的综合应用，属基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由Sn+1n+1−Snn=−1，S1=32可得：数列{Snn}是以32为首项，−1为公差的等差数列．
则Snn=32+(n−1)×(−1)=−n+33．
所以Sn=−n2+33n，
对于选项A：∵Sn=−n2+33n，
∴当n=1时，a1=S1=−12+33=32；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(−n2+33n)−[−(n−1)2+33(n−1)]=−2n+34；
∵−2×1+34=a1，
∴an=−2n+34，
∵an+1−an=[−2(n+1)+34]−(−2n+34)=−2，
∴数列{an}是等差数列，故选项A正确；
对于选项B：∵Sn=−n2+33n，
∴S3=−32+33×3=90，S6=−62+33×6=162，S9=−92+33×9=216，
∴S6−S3=72，S9−S6=54，
则2(S6−S3)=S3+(S9−S6)，(S6−S3)−S3=−18，
所以S3，S6−S3，S9−S6成等差数列，公差为−18，故选项B错误；
对于选项C：∵Sn=−n2+33n=−(n−332)2+10894，n∈N*
∴当n=16或n=17时，Sn最大，故选项C正确；
对于选项D：令Sn=−n2+33n≥0，得0≤n≤33，n∈N*，即满足Sn≥0的最大正整数n=33，故选项D错误．
故选：AC．
先根据已知条件得出数列{Snn}是等差数列，Sn=−n2+33n；再根据an，Sn的关系求出an=−2n+34，根据等差数列的定义即可判断选项A；根据Sn=−n2+33n可求出S3，S6−S3，S9−S6即可判断选项B；利用二次函数性质可判断选项C；根据Sn≥0解不等式即可判断选项D．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系的应用，还考查了等差数列的性质，通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F坐标(0,p2)，准线方程为y=−p2，
对于A：当P运动到(t,1)时，|PF|=1+p2=2，故p=2，即抛物线为x2=4y，故A错误；
对于B：由x2=4y，故抛物线的准线方程为：y=−1，故B正确；
对于C：当直线l过焦点F时，设A为(x0,y0)，则|FA|=y0+p2=y0+1，
故以AF为直径的圆的半径为y0+12，又F(0,1)，
故以AF为直径的圆的圆心坐标为(x02,y0+12)，
由圆心到x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与x轴相切，故C正确；
对于D：设直线l的方程为y=kx+t，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+tx2=4y，整理可得x2−4kx−4t=0，
Δ=16k2−4×(−4t)>0，即k2+t>0，
可得x1+x2=4k，y1+y2=k(x1+x2)+2t=4k2+2t，
所以AB的中点M(2k,2k2+t)，而M(2,2)，
所以2k=2，且2k2+t=2，
解得k=1，t=0，
即直线AB的方程为：y=x.故D正确．
故选：BCD．
由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，再由抛物线的性质可得|PF|的表达式，由题意可得p的值，即求出抛物线的方程，逐一第所给命题进行判断，判断出它们的真假．
本题考查抛物线的性质的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：A.由题意，可知f′(x)=1−lnxx2,g′(x)=ex−xexe2x,f(1)=0,g(0)=0，
因为g′(0)=1，f′(1)=1，所以函数g(x)在x=0处的切线为y=x，
函数f(x)在x=1处的切线为y=x−1，两切线平行，故A正确；
B.令f′(x)=0，解得x=e，所以当x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递减，
令g′(x)=0，解得x=1，所以当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递减，
当f(x)=g(x)，即lnxx=xex时，显然有x>1，
令p(x)=x2−ex，则p′(x)=2x−ex，
令q(x)=p′(x)=2x−ex，则q′(x)=2−ex，
令q′(x)=0，解得x=ln2，
所以当x0，q(x)单调递增；当ln2所以q(x)max=q(ln2)=2ln2−2<0，即p′(x)<0恒成立，所以p(x)在R上单调递减，
又p(e)=e2−ee<0，所以当x>e时x2所以当x>e时x2g(x)，
又因为f(1)=0C.由B，可知x1因为f(x2)=lnx2x2=lnx2elnx2=g(lnx2)=g(x2)=g(x3)，所以lnx2=x2或lnx2=x3，
令m(x)=lnx−x(x>0)，则m′(x)=1x−1=1−xx，令m′(x)=0解得x=1，
所以当00，m(x)单调递增，当x>1时m′(x)<0，m(x)单调递减，
所以m(x)max=m(1)=−1<0，则m(x)=lnx−x=0无解，所以lnx2=x2舍去，
同理，可得f(x1)=g(lnx1)=g(x2)=g(x3)，
所以lnx1=x2(即x1=ex2)或lnx1=x3(与lnx2=x3矛盾舍去)，所以x1x3=ex2lnx2，
又由f(x2)=g(x2)，即x2ex2=lnx2x2，可得ex2lnx2=x22，所以x1x3=x22，故C正确；
D.f(x)的定义域为(0,+∞)，
根据对数函数的图象和性质当x∈(0,1)时，f(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，
所以f(m)=g(n)<0时得0又f(m)=lnmm=lnmelnm=g(lnm)=g(n)，所以lnm=n，mn=mlnm(0令h(x)=xlnx(0则当x∈(0,1e)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1e,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以当x=1e时，h(x)min=h(1e)=1eln1e=−1e，即mn的最小值为−1e，故D正确．
故选：ACD．
对于A利用导数的几何意义即可判断，对于B先利用导数求f(x)，g(x)单调性，再根据f(1)e时f(x)>g(x)即可判断，对于C利用f(x)=lnxx=lnxelnx=g(lnx)分析即可判断，对于D结合已知条件，可得mn=mlnm(0本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的切线方程，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．
13.【答案】瞬时速度
【解析】解：由导数的几何意义可知，这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度．
故答案为：瞬时速度．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，是基础题．
14.【答案】5
【解析】解：由题意设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
因为AB=4 2，MO=2，
所以点B(2,−2 2)在抛物线上，
将B的坐标代入到抛物线的方程中，可得8=4p，故p=2，
所以抛物线的方程为y2=4x，
所以抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x=−1，
因为32<4×4，所以点Q在抛物线内部，
如图，过点P作PP′与准线垂直，P′为垂足，
点Q作QQ′与准线垂直，Q′为垂足，则|PF|=|PP′|，
所以|PF|+|PQ|=|PP′|+|PQ|≥|QQ′|=4+1=5，
当且仅当P，Q，P′三点共线时，所以|PF|+|PQ|的最小值为5．
故答案为：5．
由题意设抛物线的方程，将A点的坐标代入，可得抛物线的方程，因为Q在抛物线的内部，由抛物线的性质可得|PF|+|PQ|=|PP′|+|PQ|≥|QQ′|，可得结果．
本题考查抛物线的性质的应用，三点共线时，线段和最小值的应用，属于中档题．
15.【答案】−1e
【解析】解：因为∃x1，x2∈[−2,0]，使得f(x2)≤g(x1)成立，等价于f(x)min≤g(x)max，
f′(x)=ex+xex=(1+x)ex，
当x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x>−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=−1时，f(x)取得最小值f(x)min=f(−1)=−1e，
因为g(x)=−(x+1)2+a，
所以当x=−1时，g(x)取得最大值g(x)max=g(−1)=a，
所以−1e≤a，
所以实数a的取值范围为a≥−1e，
所以实数a的最小值为−1e，
故答案为：−1e．
问题转化为f(x)min≤g(x)max，再根据导数知识求出f(x)min，根据二次函数知识求出g(x)max，代入求出结果．
本题考查不等式的恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
16.【答案】2n−1
【解析】解：将an+2=3an+1−2an两边同时减去an+1得，
an+2−an+1=2(an+1−an)，a2−a1=2，
an+2−an+1an+1−an=2，
即{an+1−an}是等比数列，其首项为2，公比为2，
所以an+1−an=(a2−a1)2n−1=2n，
从而当n≥2时，an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=2n−1+2n−2+⋯+2+1=1×(1−2n)1−2=2n−1，
又a1=1=2−1，故an=2n−1．
故答案为：2n−1．
将an+2=3an+1−2an两边同时减去an+1，得an+2−an+1=2(an+1−an)，a2−a1=2，构造新的等比数列{an+1−an}，然后将{an+1−an}的各项叠加即可．
本题考查等比数列的通项公式、求和公式和数列的恒等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题可设所求双曲线的方程为x24−y23=λ，
①当λ>0时，方程为x24λ−y23λ=1，
令4λ=(62)2得λ=94，
即双曲线方程为x29−4y227=1，
②当λ<0时，方程为y2−3λ−x2−4λ=1，
令−3λ=(62)2得λ=−3，
即双曲线方程为y29−x212=1，
∴双曲线的标准方程为x29−4y227=1或y29−x212=1；
(2)设P(x0,y0)(x0≥2)，满足x024+y023=1
则|PA|= (x0−4)2+y02= (x0−4)2+3(x024−1)= 74x02−8x0+13= 74(x0−167)2+277，
当x0=167时，|PA|有最小值，为3 217．
【解析】本题考查双曲线的简单性质以及函数的最值的求法，考查计算能力．
(1)设出双曲线方程，利用实轴长为6，求解即可．
(2)设出坐标，求出距离，利用函数的最值求解即可．
18.【答案】解：(1)因为f′(x)=1−x+aex=−x+1+aex，
所以f′(2)=a−1e2=0，得a=1，
此时f′(x)=−x+2ex，
所以当x∈(−∞,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x=2处取得极大值，符合题意，
故实数a的值为1；
(2)由(1)知，f′(x)=−x+1+aex，
因为f(x)在(−1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(−1,1)上恒成立，
因为ex>0，所以−x+a+1≥0在(−1,1)上恒成立，即a≥x−1在(−1,1)上恒成立，
因为g(x)=x−1在(−1,1)上单调递增，所以g(x)故实数a的取值范围为[0,+∞)．
【解析】(1)根据f′(2)=0求参数a，验证是否在x=2处取得极大值即可；
(2)将问题转化为a≥x−1在(−1,1)上恒成立，进而即得．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)已知a1=1，{Snan}是公差为13的等差数列，
所以Snan=1+13(n−1)=13n+23，整理得Sn=13nan+23an，①，
故当n≥2时，Sn−1=13(n−1)an−1+23an−1，②，
①−②得：13an=13nan−13nan−1−13an−1，
故(n−1)an=(n+1)an−1，
化简得：anan−1=n+1n−1，an−1an−2=nn−2，，a3a2=42，a2a1=31；
所以ana1=n(n+1)2，
故an=n(n+1)2(首项符合通项)．
所以an=n(n+1)2．
(2)证明：由于an=n(n+1)2，
所以1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
所以1a1+1a2+...+1an=2(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2×(1−1n+1)<2．
【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20.【答案】解：方案一：选条件①
(1)∵a3=5，a2+a5=6b2，a1=b1，d=q，d>1，
∴a1+2d=52a1+5d=6a1d，
解得a1=1d=2或a1=256d=512(舍去)，
∴b1=1q=2，
∴αn=α1+(n−1)d=2n−1，bn=b1qn−1=2n−1；
(2)∵cn=anbn，
∴cn=2n−12n−1=(2n−1)×(12)n−1，
∴Tn=1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n−3)×(12)n−2+(2n−1)×(12)n−1，
∴12Tn=12+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n−3)×(12)n−1+(2n−1)×(12)n，
∴12Tn=1+2[12+(12)2+⋯+(12)n−1]−(2n−1)×(12)n
=1+2×12[1−(12)n−1]1−12−(2n−1)×(12)n
=3−(2n+3)×(12)n，
∴Tn=6−(2n+3)×(12)n−1；
方案二：选条件②
(1)∵b2=2，a3+a4=3b3，a1=b1，d=q，d>1，
∴a1d=22a1+5d=3a1d2，∴a1d=22a1+5d=6d，解得a1=1d=2或a1=−1d=−2(舍去)，
∴d=2b1=1q=2，
∴an=a1+(n−1)d=2n−1，
bn=b1qn−1=2n−1；
(2)∵cn=anbn，
∴cn=2n−12n−1=(2n−1)×(12)，
∴Tn=1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n−3)×(12)n−2+(2n−1)×(12)n−1，
∴12Tn=12+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n−3)×(12)n−1+(2n−1)×(12)n，
∴12Tn=1+2[12+(12)2+⋯+(12)n−1]−(2n−1)×(12)n
=1+2×12[1−(12)n−1]1−12−(2n−1)×(12)n
=3−(2n+3)×(12)n，
∴Tn=6−(2n+3)×(12)n−1；
方案三：选条件③
∴S3=9，a4+a5=8b2，a1=b1，d=q，d>1，
∴a1+d=32a1+7d=8a1d，
解得a1=1d=2或a1=218d=38(舍去)，
b1=1q=2，
∴an=a1+(n−1)d=2n−1，
bn=b1qn−1=2n−1；
(2)∵cn=anbn，
∴cn=2n−12n−1=(2n−1)×(12)n−1，
∴Tn=1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n−3)×(12)n−2+(2n−1)×(12)n−1，
∴12Tn=12+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n−3)×(12)n−1+(2n−1)×(12)n，
∴12Tn=1+2[12+(12)2+⋯+(12)n−1]−(2n−1)×(12)n
=1+2×12[1−(12)m−1]1−12−(2n−1)×(12)n
=3−(2n+3)×(12)n，
∴Tn=6−(2n+3)×(12)n−1．
【解析】(1)三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入，通过基本公式求出首项，公差，公比即可；(2)数列{cn}是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决．
本题考查了等差，等比数列的通项公式和错位相减求和，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得M的纵坐标的绝对值为 6p，
所以yM2=2p⋅xM，所以xM=6p2p=3，
即M(3, 6p)，
由抛物线的方程可得，焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，
由抛物线的性质可得|MF|=xM+p2=3+p2=5，可得p=4，
所以抛物线的方程为：y2=8x；
(2)由(1)可得准线与x轴的交点Q(−2,0)，焦点F坐标(2,0)，
由题意可得直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为：x=my−2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my−2y2=8x，整理可得y2−8my+16=0，
Δ=64m2−64>0，可得m2>1，
且y1+y2=8m，y1y2=16，
可得k1+k2=y1x1−2+y2x2−2=y1(x2−2)+y2(x1−2)(x1−2)(x2−2)=y1(my2−4)+y2(my1−4)(my1−4)(my2−4)=2my1y2−4(y1+y2)m2y1y2−4m(y1+y2)+16=2m⋅16−4⋅8m16m2−4m⋅8m+16=0，
所以k1+k2的值为0．
【解析】(1)由题意将M的纵坐标代入抛物线的方程，可得M的横坐标，由抛物线的性质可得M到焦点F的距离，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程；
(2)由(1)可得Q的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线FA，FB的斜率之和，将两根之和及两根之积代入，可得斜率之和为定值0．
本题考查抛物线的方程的求法及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
22.【答案】(1)解：函数f(x)=lnx−ax+1，定义域为(0,+∞)，
因为f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，即lnx−ax+1≤0在(0,+∞)上恒成立，
等价于a≥lnx+1x在(0,+∞)上恒成立，
令g(x)=lnx+1x(x>0)，
因为g′(x)=−lnxx2，
令g′(x)=0，解得x=1，
所以当00，则g(x)单调递增，
当x>1时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，
所以当x=1时，函数g(x)取得最大值g(1)=1，
由题意可知，a≥g(x)max，
所以a≥1，
故a的取值范围为[1,+∞)；
(2)证明：由(1)可知，当a=1时，lnx≤x−1，
令x=1+1n(n∈N+)，则ln1+1n=lnn+1n=ln(n+1)−lnn<1n，
累加可得，ln(n+1)−lnn+lnn−ln(n−1)+⋅⋅⋅+ln2−ln1<1n+1n−1+⋅⋅⋅+12+1，
所以ln(n+1)<1n+1n−1+⋅⋅⋅+12+1，
又因为ln1+1n<1n，
所以nln1+1n<1，即1+1nn综上可得，当n∈N+时，1+12+13+⋅⋅⋅+1n+e>ln(n+1)+1+1nn成立．
【解析】本题考查导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题一般采用构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于困难题．
(1)求出f(x)的定义域，构造函数令g(x)=lnx+1x(x>0)，将问题转化为a≥g(x)max，利用导数研究函数g(x)的单调性，从而求出g(x)的最大值，即可得到答案；
(2)利用(1)中的结论，可得lnx≤x−1，令x=1+1n，可得ln1+1n<1n，然后利用累加法，得到ln(n+1)<1n+1n−1+⋅⋅⋅+12+1，又1+1nn
1.数列1，3，6，10，x，21，28，…中，由给出的数之间的关系可知x的值是( )
A. 12B. 15C. 17D. 18
2.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别是F1(−13,0)，F2(13,0)，点P在双曲线C上，且|PF1|−|PF2|=10，则双曲线C的方程是( )
A. x25−y212=1B. x212−y25=1C. x2144−y225=1D. x225−y2144=1
3.曲线f(x)=x+csx在点(π2,f(π2))处的切线斜率为( )
A. 0B. 1C. −1D. 2
4.已知数列{an}满足2an+1=2an+1，其中a8=92，则a3=( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
5.若点P到点F(2,0)的距离比它到直线x+3=0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )
A. y2=2xB. y2=4xC. y2=8xD. x2=8y
6.已知过点A(a,0)作曲线C：y=x⋅ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−4)∪(0,+∞)B. (0,+∞)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)
7.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就.在杨辉三角中，第n行的和为2n−1(n=1,2,…)，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前45项和为( )
A. 4052B. 2047C. 2048D. 2026
8.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A，B(其中A在x轴上方)，A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若|MF|=2 3，|NF|=2，则p=( )
A. 3B. 2C. 3D. 4.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.判断下列命题正确的是( )
A. 函数的极小值一定比极大值小
B. 对于可导函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0为函数的一个极值点
C. 函数f(x)在(a,b)内单调，则函数f(x)在(a,b)内一定没有极值
D. 三次函数在R上可能不存在极值
10.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1n+1−Snn=−1，S1=32，则下列说法正确的是( )
A. {an}是等差数列
B. S3，S6−S3，S9−S6成等差数列，公差为−9
C. 当n=16或n=17时，Sn取得最大值
D. Sn≥0时，n的最大值为32
11.抛物线C：x2=2py的焦点为F、P为其上一动点，当P运动到(t,1)时，|PF|=2，直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(2,2)，下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为：x2=8y
B. 抛物线的准线方程为：y=−1
C. 当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D. 以M为中点的弦的直线方程为：y=x
12.已知函数f(x)=lnxx，g(x)=xex之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的为( )
A. 函数g(x)在x=0处的切线与函数f(x)在x=1处的切线平行
B. 方程f(x)=g(x)有两个实数根
C. 若直线y=a与函数g(x)交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，与函数f(x)交于点B(x2,y2)，C(x3,y3)，则x1x3=x22
D. 若f(m)=g(n)<0，则mn的最小值为−1e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一般地，当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0+Δt)−S(t0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t=t0时的______．
14.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=4 2，深度MO=2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Q(4,3)，则|PF|+|PQ|的最小值______．
15.已知f(x)=xex，g(x)=−(x+1)2+a，若∃x1，x2∈[−2,0]，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的最小值是______．
16.在数列{an}中，已知an+2=3an+1−2an，a1=1，a2=3，则数列{an}的通项公式an= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知双曲线C:x24−y23=1．
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4,0)，求|PA|的最小值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−aex．
(1)若f(x)在x=2处取得极大值，求实数a的值；
(2)若f(x)在(−1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，{Snan}是公差为13的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2+…+1an<2．
20.(本小题12分)
在①a3=5，a2+a5=6b2；②b2=2，a3+a4=3b3；③S3=9，a4+a5=8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1=b1，d=q，．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn=anbn，求数列{cn}前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为 6p．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交
抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2.求k1+k2的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−ax+1．
(1)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求证：当n∈N+时，1+12+13+⋅⋅⋅+1n+e>ln(n+1)+1+1nn成立．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了对数列的规律的观察，属于基础题．
由数列1，3，6，10，x，21，28，….可知：3−1=2，6−3=3，10−6=4，x−10=5.即可得出．
【解答】
解：由数列1，3，6，10，x，21，28，…
可知：3−1=2，6−3=3，10−6=4，x−10=5，∴x=15．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：由题意可知2a=10，c= a2+b2=13，解得a=5，b=12，
所以双曲线C的方程是x225−y2144=1．
故选：D．
根据双曲线定义求解即可．
本题主要考查双曲线的定义，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：对函数f(x)求导可得，f′(x)=1−sinx，
所以f′(π2)=0，
即曲线f(x)在点(π2,f(π2))处的切线斜率为0．
故选：A．
对函数求导，利用导数的几何意义求f′(π2)，即可得答案．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵数列{an}满足2an+1=2an+1，
∴an+1=an+12，
∴数列{an}是公差为12的等差数列，
∵a8=92=a3+5d，
∴a3=92−5×12=2，
故选：C．
根据数列的递推关系式求得数列为等差数列，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力和逻辑推理能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x+2=0的距离，
所以由抛物线的定义知：点P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，
以直线x+2=0为准线的抛物线，且p=4，故点P的轨迹方程为y2=8x．
故选：C．
利用已知条件转化求解抛物线方程即可．
本题考查抛物线的定义以及简单性质的应用，考查计算能力．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．
设切点为(m,mem)，求得y=x⋅ex的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】
解：设切点为(m,mem)，y=x⋅ex的导数为y′=(x+1)ex，可得切线的斜率为(m+1)em，
则切线方程为y−mem=(m+1)em(x−m)，
切线过点A(a,0)代入得−mem=(m+1)em(a−m)，
可得方程m2−ma−a=0有两个解，
则有△=a2+4a>0可得a>0或a<−4．
即a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞)．
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：由题意，可知没有去掉“1”之前，第n行的和为2n−1(n=1,2,⋯⋯)，
故每一行的数的和构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
设前n行所有数的和为Sn，
则前n行所有数的和为Sn=1−2n1−2=2n−1，
设前n行的数的所有个数为Tn，
∵每一行的数的个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴前n行的数的所有个数为：Tn=n(n+1)2，
∵当n=11时，T11=11×122=66，
∴去掉“1”后的所有数的个数为66−21=45，
∴数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……的前45项和为：
S11−21=211−1−21=2026．
故选：D．
由没有去掉“1”之前，第n行的和为2n−1(n=1,2,⋯⋯)，可求得前n行所有数的和Sn=2n−1，再得到前n行的数的所有个数Tn=n(n+1)2，再由n=11时，去掉“1”后为45个数求解．
本题主要考查数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，等差数列与等比数列的定义，等差数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：如图，
由题意知，|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，
则∠AMF=∠AFM，∠BFN=∠BNF，
由AM//BN//x轴，可知2∠AFM+2∠BFN=π，则∠MFN=π2，
∴|MN|2=|NF|2+|MF|2=16，∴|MN|=4，
∵S△MNF=12p⋅|MN|=12|MF|⋅|NF|=2 3，
∴p= 3．
故选：A．
根据抛物线的定义可得∠MFN=π2，利用直角三角形可求出|MN|=4，由面积等积法求出p= 3．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误；
对于B选项，若f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立，则f(x)无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误；
对于C选项，f(x)在(a,b)内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确；
对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立，则f(x)无极值点，故D选项正确．
故选：CD．
根据导数与极值的关系依次判定即可．
本题考查导数的综合应用，属基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由Sn+1n+1−Snn=−1，S1=32可得：数列{Snn}是以32为首项，−1为公差的等差数列．
则Snn=32+(n−1)×(−1)=−n+33．
所以Sn=−n2+33n，
对于选项A：∵Sn=−n2+33n，
∴当n=1时，a1=S1=−12+33=32；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(−n2+33n)−[−(n−1)2+33(n−1)]=−2n+34；
∵−2×1+34=a1，
∴an=−2n+34，
∵an+1−an=[−2(n+1)+34]−(−2n+34)=−2，
∴数列{an}是等差数列，故选项A正确；
对于选项B：∵Sn=−n2+33n，
∴S3=−32+33×3=90，S6=−62+33×6=162，S9=−92+33×9=216，
∴S6−S3=72，S9−S6=54，
则2(S6−S3)=S3+(S9−S6)，(S6−S3)−S3=−18，
所以S3，S6−S3，S9−S6成等差数列，公差为−18，故选项B错误；
对于选项C：∵Sn=−n2+33n=−(n−332)2+10894，n∈N*
∴当n=16或n=17时，Sn最大，故选项C正确；
对于选项D：令Sn=−n2+33n≥0，得0≤n≤33，n∈N*，即满足Sn≥0的最大正整数n=33，故选项D错误．
故选：AC．
先根据已知条件得出数列{Snn}是等差数列，Sn=−n2+33n；再根据an，Sn的关系求出an=−2n+34，根据等差数列的定义即可判断选项A；根据Sn=−n2+33n可求出S3，S6−S3，S9−S6即可判断选项B；利用二次函数性质可判断选项C；根据Sn≥0解不等式即可判断选项D．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系的应用，还考查了等差数列的性质，通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F坐标(0,p2)，准线方程为y=−p2，
对于A：当P运动到(t,1)时，|PF|=1+p2=2，故p=2，即抛物线为x2=4y，故A错误；
对于B：由x2=4y，故抛物线的准线方程为：y=−1，故B正确；
对于C：当直线l过焦点F时，设A为(x0,y0)，则|FA|=y0+p2=y0+1，
故以AF为直径的圆的半径为y0+12，又F(0,1)，
故以AF为直径的圆的圆心坐标为(x02,y0+12)，
由圆心到x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与x轴相切，故C正确；
对于D：设直线l的方程为y=kx+t，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+tx2=4y，整理可得x2−4kx−4t=0，
Δ=16k2−4×(−4t)>0，即k2+t>0，
可得x1+x2=4k，y1+y2=k(x1+x2)+2t=4k2+2t，
所以AB的中点M(2k,2k2+t)，而M(2,2)，
所以2k=2，且2k2+t=2，
解得k=1，t=0，
即直线AB的方程为：y=x.故D正确．
故选：BCD．
由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，再由抛物线的性质可得|PF|的表达式，由题意可得p的值，即求出抛物线的方程，逐一第所给命题进行判断，判断出它们的真假．
本题考查抛物线的性质的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：A.由题意，可知f′(x)=1−lnxx2,g′(x)=ex−xexe2x,f(1)=0,g(0)=0，
因为g′(0)=1，f′(1)=1，所以函数g(x)在x=0处的切线为y=x，
函数f(x)在x=1处的切线为y=x−1，两切线平行，故A正确；
B.令f′(x)=0，解得x=e，所以当x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递减，
令g′(x)=0，解得x=1，所以当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递减，
当f(x)=g(x)，即lnxx=xex时，显然有x>1，
令p(x)=x2−ex，则p′(x)=2x−ex，
令q(x)=p′(x)=2x−ex，则q′(x)=2−ex，
令q′(x)=0，解得x=ln2，
所以当x
又p(e)=e2−ee<0，所以当x>e时x2
又因为f(1)=0
令m(x)=lnx−x(x>0)，则m′(x)=1x−1=1−xx，令m′(x)=0解得x=1，
所以当0
所以m(x)max=m(1)=−1<0，则m(x)=lnx−x=0无解，所以lnx2=x2舍去，
同理，可得f(x1)=g(lnx1)=g(x2)=g(x3)，
所以lnx1=x2(即x1=ex2)或lnx1=x3(与lnx2=x3矛盾舍去)，所以x1x3=ex2lnx2，
又由f(x2)=g(x2)，即x2ex2=lnx2x2，可得ex2lnx2=x22，所以x1x3=x22，故C正确；
D.f(x)的定义域为(0,+∞)，
根据对数函数的图象和性质当x∈(0,1)时，f(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，
所以f(m)=g(n)<0时得0
所以当x=1e时，h(x)min=h(1e)=1eln1e=−1e，即mn的最小值为−1e，故D正确．
故选：ACD．
对于A利用导数的几何意义即可判断，对于B先利用导数求f(x)，g(x)单调性，再根据f(1)
13.【答案】瞬时速度
【解析】解：由导数的几何意义可知，这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度．
故答案为：瞬时速度．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，是基础题．
14.【答案】5
【解析】解：由题意设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
因为AB=4 2，MO=2，
所以点B(2,−2 2)在抛物线上，
将B的坐标代入到抛物线的方程中，可得8=4p，故p=2，
所以抛物线的方程为y2=4x，
所以抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x=−1，
因为32<4×4，所以点Q在抛物线内部，
如图，过点P作PP′与准线垂直，P′为垂足，
点Q作QQ′与准线垂直，Q′为垂足，则|PF|=|PP′|，
所以|PF|+|PQ|=|PP′|+|PQ|≥|QQ′|=4+1=5，
当且仅当P，Q，P′三点共线时，所以|PF|+|PQ|的最小值为5．
故答案为：5．
由题意设抛物线的方程，将A点的坐标代入，可得抛物线的方程，因为Q在抛物线的内部，由抛物线的性质可得|PF|+|PQ|=|PP′|+|PQ|≥|QQ′|，可得结果．
本题考查抛物线的性质的应用，三点共线时，线段和最小值的应用，属于中档题．
15.【答案】−1e
【解析】解：因为∃x1，x2∈[−2,0]，使得f(x2)≤g(x1)成立，等价于f(x)min≤g(x)max，
f′(x)=ex+xex=(1+x)ex，
当x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x>−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=−1时，f(x)取得最小值f(x)min=f(−1)=−1e，
因为g(x)=−(x+1)2+a，
所以当x=−1时，g(x)取得最大值g(x)max=g(−1)=a，
所以−1e≤a，
所以实数a的取值范围为a≥−1e，
所以实数a的最小值为−1e，
故答案为：−1e．
问题转化为f(x)min≤g(x)max，再根据导数知识求出f(x)min，根据二次函数知识求出g(x)max，代入求出结果．
本题考查不等式的恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
16.【答案】2n−1
【解析】解：将an+2=3an+1−2an两边同时减去an+1得，
an+2−an+1=2(an+1−an)，a2−a1=2，
an+2−an+1an+1−an=2，
即{an+1−an}是等比数列，其首项为2，公比为2，
所以an+1−an=(a2−a1)2n−1=2n，
从而当n≥2时，an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=2n−1+2n−2+⋯+2+1=1×(1−2n)1−2=2n−1，
又a1=1=2−1，故an=2n−1．
故答案为：2n−1．
将an+2=3an+1−2an两边同时减去an+1，得an+2−an+1=2(an+1−an)，a2−a1=2，构造新的等比数列{an+1−an}，然后将{an+1−an}的各项叠加即可．
本题考查等比数列的通项公式、求和公式和数列的恒等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题可设所求双曲线的方程为x24−y23=λ，
①当λ>0时，方程为x24λ−y23λ=1，
令4λ=(62)2得λ=94，
即双曲线方程为x29−4y227=1，
②当λ<0时，方程为y2−3λ−x2−4λ=1，
令−3λ=(62)2得λ=−3，
即双曲线方程为y29−x212=1，
∴双曲线的标准方程为x29−4y227=1或y29−x212=1；
(2)设P(x0,y0)(x0≥2)，满足x024+y023=1
则|PA|= (x0−4)2+y02= (x0−4)2+3(x024−1)= 74x02−8x0+13= 74(x0−167)2+277，
当x0=167时，|PA|有最小值，为3 217．
【解析】本题考查双曲线的简单性质以及函数的最值的求法，考查计算能力．
(1)设出双曲线方程，利用实轴长为6，求解即可．
(2)设出坐标，求出距离，利用函数的最值求解即可．
18.【答案】解：(1)因为f′(x)=1−x+aex=−x+1+aex，
所以f′(2)=a−1e2=0，得a=1，
此时f′(x)=−x+2ex，
所以当x∈(−∞,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x=2处取得极大值，符合题意，
故实数a的值为1；
(2)由(1)知，f′(x)=−x+1+aex，
因为f(x)在(−1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(−1,1)上恒成立，
因为ex>0，所以−x+a+1≥0在(−1,1)上恒成立，即a≥x−1在(−1,1)上恒成立，
因为g(x)=x−1在(−1,1)上单调递增，所以g(x)
【解析】(1)根据f′(2)=0求参数a，验证是否在x=2处取得极大值即可；
(2)将问题转化为a≥x−1在(−1,1)上恒成立，进而即得．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)已知a1=1，{Snan}是公差为13的等差数列，
所以Snan=1+13(n−1)=13n+23，整理得Sn=13nan+23an，①，
故当n≥2时，Sn−1=13(n−1)an−1+23an−1，②，
①−②得：13an=13nan−13nan−1−13an−1，
故(n−1)an=(n+1)an−1，
化简得：anan−1=n+1n−1，an−1an−2=nn−2，，a3a2=42，a2a1=31；
所以ana1=n(n+1)2，
故an=n(n+1)2(首项符合通项)．
所以an=n(n+1)2．
(2)证明：由于an=n(n+1)2，
所以1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
所以1a1+1a2+...+1an=2(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2×(1−1n+1)<2．
【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20.【答案】解：方案一：选条件①
(1)∵a3=5，a2+a5=6b2，a1=b1，d=q，d>1，
∴a1+2d=52a1+5d=6a1d，
解得a1=1d=2或a1=256d=512(舍去)，
∴b1=1q=2，
∴αn=α1+(n−1)d=2n−1，bn=b1qn−1=2n−1；
(2)∵cn=anbn，
∴cn=2n−12n−1=(2n−1)×(12)n−1，
∴Tn=1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n−3)×(12)n−2+(2n−1)×(12)n−1，
∴12Tn=12+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n−3)×(12)n−1+(2n−1)×(12)n，
∴12Tn=1+2[12+(12)2+⋯+(12)n−1]−(2n−1)×(12)n
=1+2×12[1−(12)n−1]1−12−(2n−1)×(12)n
=3−(2n+3)×(12)n，
∴Tn=6−(2n+3)×(12)n−1；
方案二：选条件②
(1)∵b2=2，a3+a4=3b3，a1=b1，d=q，d>1，
∴a1d=22a1+5d=3a1d2，∴a1d=22a1+5d=6d，解得a1=1d=2或a1=−1d=−2(舍去)，
∴d=2b1=1q=2，
∴an=a1+(n−1)d=2n−1，
bn=b1qn−1=2n−1；
(2)∵cn=anbn，
∴cn=2n−12n−1=(2n−1)×(12)，
∴Tn=1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n−3)×(12)n−2+(2n−1)×(12)n−1，
∴12Tn=12+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n−3)×(12)n−1+(2n−1)×(12)n，
∴12Tn=1+2[12+(12)2+⋯+(12)n−1]−(2n−1)×(12)n
=1+2×12[1−(12)n−1]1−12−(2n−1)×(12)n
=3−(2n+3)×(12)n，
∴Tn=6−(2n+3)×(12)n−1；
方案三：选条件③
∴S3=9，a4+a5=8b2，a1=b1，d=q，d>1，
∴a1+d=32a1+7d=8a1d，
解得a1=1d=2或a1=218d=38(舍去)，
b1=1q=2，
∴an=a1+(n−1)d=2n−1，
bn=b1qn−1=2n−1；
(2)∵cn=anbn，
∴cn=2n−12n−1=(2n−1)×(12)n−1，
∴Tn=1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n−3)×(12)n−2+(2n−1)×(12)n−1，
∴12Tn=12+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n−3)×(12)n−1+(2n−1)×(12)n，
∴12Tn=1+2[12+(12)2+⋯+(12)n−1]−(2n−1)×(12)n
=1+2×12[1−(12)m−1]1−12−(2n−1)×(12)n
=3−(2n+3)×(12)n，
∴Tn=6−(2n+3)×(12)n−1．
【解析】(1)三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入，通过基本公式求出首项，公差，公比即可；(2)数列{cn}是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决．
本题考查了等差，等比数列的通项公式和错位相减求和，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得M的纵坐标的绝对值为 6p，
所以yM2=2p⋅xM，所以xM=6p2p=3，
即M(3, 6p)，
由抛物线的方程可得，焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，
由抛物线的性质可得|MF|=xM+p2=3+p2=5，可得p=4，
所以抛物线的方程为：y2=8x；
(2)由(1)可得准线与x轴的交点Q(−2,0)，焦点F坐标(2,0)，
由题意可得直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为：x=my−2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my−2y2=8x，整理可得y2−8my+16=0，
Δ=64m2−64>0，可得m2>1，
且y1+y2=8m，y1y2=16，
可得k1+k2=y1x1−2+y2x2−2=y1(x2−2)+y2(x1−2)(x1−2)(x2−2)=y1(my2−4)+y2(my1−4)(my1−4)(my2−4)=2my1y2−4(y1+y2)m2y1y2−4m(y1+y2)+16=2m⋅16−4⋅8m16m2−4m⋅8m+16=0，
所以k1+k2的值为0．
【解析】(1)由题意将M的纵坐标代入抛物线的方程，可得M的横坐标，由抛物线的性质可得M到焦点F的距离，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程；
(2)由(1)可得Q的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线FA，FB的斜率之和，将两根之和及两根之积代入，可得斜率之和为定值0．
本题考查抛物线的方程的求法及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
22.【答案】(1)解：函数f(x)=lnx−ax+1，定义域为(0,+∞)，
因为f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，即lnx−ax+1≤0在(0,+∞)上恒成立，
等价于a≥lnx+1x在(0,+∞)上恒成立，
令g(x)=lnx+1x(x>0)，
因为g′(x)=−lnxx2，
令g′(x)=0，解得x=1，
所以当0
当x>1时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，
所以当x=1时，函数g(x)取得最大值g(1)=1，
由题意可知，a≥g(x)max，
所以a≥1，
故a的取值范围为[1,+∞)；
(2)证明：由(1)可知，当a=1时，lnx≤x−1，
令x=1+1n(n∈N+)，则ln1+1n=lnn+1n=ln(n+1)−lnn<1n，
累加可得，ln(n+1)−lnn+lnn−ln(n−1)+⋅⋅⋅+ln2−ln1<1n+1n−1+⋅⋅⋅+12+1，
所以ln(n+1)<1n+1n−1+⋅⋅⋅+12+1，
又因为ln1+1n<1n，
所以nln1+1n<1，即1+1nn
【解析】本题考查导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题一般采用构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于困难题．
(1)求出f(x)的定义域，构造函数令g(x)=lnx+1x(x>0)，将问题转化为a≥g(x)max，利用导数研究函数g(x)的单调性，从而求出g(x)的最大值，即可得到答案；
(2)利用(1)中的结论，可得lnx≤x−1，令x=1+1n，可得ln1+1n<1n，然后利用累加法，得到ln(n+1)<1n+1n−1+⋅⋅⋅+12+1，又1+1nn
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