2023年广西南宁市江南区中考二模数学试题

这是一份2023年广西南宁市江南区中考二模数学试题，共23页。

1．（3分）如果一个有理数的绝对值是8，那么这个数一定是（ ）
A．﹣8B．﹣8或8
C．8D．以上都不对
2．（3分）下列四个通信商标图中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COD，∠BOD＝15°，则∠AOD＝（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角α＝30°，若AC＝8，BD＝6，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x3•x2＝x6B．x4÷x4＝0
C．（﹣2x3）3＝8x9D．（﹣）﹣2＝4
6．（3分）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝4，则B′C的长为（ ）
A．4B．8C．4D．
7．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝45°，延长CO交AB于点D，，，则BC的长是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）将点P（m+2，2﹣m）向左平移1个单位长度到P'，且P'在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，5）D．（3，1）
9．（3分）方程﹣x2+5x﹣2＝的正根的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
10．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线相等的菱形是正方形
11．（3分）已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1
12．（3分）如图，△ABC，△EFG 均是边长为 的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG 绕点D旋转时，线段BM的长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）温度11℃比﹣6℃高 ℃．
14．（2分）一组数据3，5，6，6，5的平均数是 ．
15．（2分）已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB＝3，BC＝2，则AC＝ ．
16．（2分）如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝2，BC＝CD＝4，DE＝3，则这个六边形的周长为 ．
17．（2分）近年来，网购越来越流行，某长途货运公司为给客户提供快捷准确的快递服务，确保每一件货件更安全、更有效率地运送，研发了新型能源的甲，乙两种快车，现在对这两种快车进行试运，已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，甲车把货物转移一部分给乙车，乙车货物加重后减慢速度匀速行驶，甲车的速度不变．甲车出发9小时后，接到通知需原路返回到C处取货物，于是甲车立即调头加快速度匀速向C处行驶，甲追上乙后又经过30分钟到达C处．甲车取货后调头以加快后的速度匀速赶往B地，又经过小时甲、乙两车再次相遇，相遇后向各自原来的终点继续行驶（转移货物、接通知、调头、取货物的时间忽略不计），甲乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）的部分函数图象如图所示，则乙车到达A地时，甲车距离A地 千米．
18．（2分）我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为α，我们把sinα的值叫做这个平行四边形的“变形系数”，如果矩形的面积为5，其变形后的平行四边形的面积为4，那么这个平行四边形的“变形系数”是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：π0+2﹣2﹣．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝5．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，请你按照下面要求完成尺规作图．
①以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点M，
②再分别以C，M为圆心，大于CM的长为半径画弧，两弧交于点P，
③连接AP并延长交BC于点D．
请你判断以下结论：
①AD是△ABC的一条角平分线；
②连接CM，△ACM是等边三角形；
③S△DAC：S△ABC＝1：4；
④点D在线段AB的垂直平分线上；
⑤∠ADB＝150°．其中正确的结论有 （只需要写序号）．
22．（10分）新修订的《未成年人保护法》是一部全方位保障未成年人权益的综合性、基础性法律某中学为了让学生学习并进行测试，现分别从七、八两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩x（分），并对其统计、整理如下：
a．七年级10名学生测试成绩扇形统计图如下，其测试成绩在70＜x≤80之间的是：72、72、79、78、75；
b．八年级10名同学测试成绩统计如下：85、72、92、84、80、74、75、80、76、82；
c．两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ；n＝ ；
（2）若该校八年级共有600年学生，请根据上述调查结果估计八年级测试成绩在90＜x≤100之间的人数；
（3）已知七年教本次测试成绩中排在前四名的学生是3名男生和1名女生，若从他们中任选两人作为代表进行普法演讲，试求恰好选中两个男生的概率．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设＝λ（λ＞0）．
（1）若λ＝1，求证：CE＝FE；
（2）若AB＝3，AD＝4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
24．（10分）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△OAC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出中x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
25．（10分）如图，在△ABC中，AD为高，AC＝18．点E为AC上的一点，CE＝AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC．
（1）猜想线段BO与AC的位置关系，并证明；
（2）有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒6个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为27？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF＝AO，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． 解：如果一个有理数的绝对值是8，那么这个数一定是﹣8或8．
故选：B．
2． 解：A、是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：D．
3． 解：∵∠BOD＝∠COD，∠BOD＝15°，
∴∠COD＝3∠BOD＝45°，
∴∠BOC＝45°﹣15°＝30°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠BOC＝∠AOC＝30°，
∴∠AOD＝75°．
故选：D．
4． 解：过点D作DE⊥AC于点E，
∵在▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OD＝BD＝3，
∵∠α＝30°，
∴DE＝OD＝3×＝1.5，
∴S△ACD＝AC•DE＝×8×1.5＝6，
∴S▱ABCD＝2S△ACD＝12．
故选：D．
5． 解：A、x3•x2＝x5，故原题计算错误；
B、x4÷x4＝1，故原题计算错误；
C、（﹣2x3）3＝﹣8x9，故原题计算错误；
D、（﹣）﹣2＝4，故原题计算正确；
故选：D．
6． 解：∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝＝＝4，∠CAB＝45°，
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，AB′＝AB＝4，
∴∠CAB′＝90°，
∴B′C＝＝＝4，
故选：A．
7． 解：如图，连接OA，AC，作AM⊥BC于点M，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∠BAM＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AOD＝90°，AM＝BM，
∵OA＝OC，OC＝OD，
∴OA＝OD，
∴tanOAD＝＝，
∴∠OAD＝30°，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠BAC＝∠OAD+∠OAC＝30°+45°＝75°，
∴∠ACM＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∴AM＝BM＝AB•sin45°＝AB，CM＝＝AM，
∵AB＝3，
∴AM＝BM＝3，CM＝，
∴BC＝BM+CM＝3+，
故选：D．
8． 解：将点P（m+2，2﹣m）向左平移1个单位长度后点P′的坐标为（m+1，2﹣m），
∵点P′在y轴上，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
则点P的坐标为（1，3），
故选：A．
9． 解：由图可知，函数y＝﹣x2+5x﹣2与y＝的图象在第一象限有两个交点，正根有两个．故选：B．
10． 解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误，
B、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，
C、对角线平分、垂直且相等的平行四边形是菱形，故本选项错误，
D、对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
11． 解：∵y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2（a＞0），
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，
∵点（﹣1，y1）到对称轴的距离最大，点（，y2）到对称轴的距离最小，
∴y1＞y3＞y2，
故选：B．
12． 解：AC的中点为O，连接AD、DG、BO、OM，如图．
∵△ABC，△EFG均是边长为的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA＝DG，DC＝DF，
∴∠ADG＝90°﹣∠CDG＝∠FDC，＝，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG＝∠DCF．
∴A、D、C、M四点共圆．
根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，
当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，
此时，BO＝＝＝，OM＝AC＝，
则BM＝BO﹣OM＝﹣．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13． 解：11﹣（﹣6）＝11+6＝17（°C），
故答案为：17．
14． 解：＝＝5，
故答案为：5．
15． 解：当C在线段AB上时：AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1；
当C在AB的延长线上时，AC＝AB+BC＝3+2＝5．
∴AC＝1或5，
故答案为：1或5．
16． 解：如图，分别作边AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．
∴GC＝BC＝3，DP＝DE＝2．
∴GH＝GP＝GC+CD+DP＝3+3+2＝8，FA＝HA＝GH﹣AB﹣BG＝8﹣1﹣3＝4，EF＝PH﹣HF﹣EP＝8﹣4﹣2＝2．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2＝15．
解法二：延长AB、DC交于点M，延长AF，DE交于点N．
由题意得∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠AFE＝∠DEF＝120°，
∴∠MBC＝∠MCB＝∠NFE＝∠NEF＝60°，
.∴△MBC，△NEF是等边三角形，
∴∠M＝60°，MB＝MC＝BC＝3．
∴∠A+∠M＝180°，∠M+∠CDE＝180°，
∴AN∥MD，AM∥DN．
∴四边形AMDN是平行四边形．
∴AN＝MC+CD＝6，AM＝DN＝AB+MB＝4，则DE+NE＝4，
∴NF＝NE＝2．
∴AF＝AN﹣NF＝4．
∴六边形的周长为1+3+3+2+2+4＝15．
故答案为：15．
17． 解：设甲车的初始速度为v甲km/h，乙车的初始速度为v乙km/h，
由图可知，甲、乙行驶h时，两车相900km，
∴（v甲+v乙）＝900，
∴v甲+v乙＝270①，
∵1800÷270＝h，
∴两车经过h时第一次相遇，
由图可知，行驶9h时两车相距km，
∴÷（9﹣）＝200km/h，即相遇后两车的速度和为200km/h，
∵相遇后甲车的速度不变，
∴相遇后乙车的速度为（v乙﹣70）km/h，
设甲车返回的速度为xkm/h，
由图可知，甲到C后又经过小时辆车相遇，这段时间两车间距离50km，
（x+v乙﹣70）＝50，
∴x+v乙＝330，
由①可得，x＝v甲+60，
∴甲车改变后的速度为（v甲+60）km/h，
由图可得，两车第二次相遇后30分钟两车相距50km，
∴（v甲+60）﹣（v乙﹣70）＝50，
∴v乙﹣v甲＝30②，
由①②可得，v甲＝120km/h，v乙＝150km/h，
∴乙车行驶全程的时间为：1800﹣150＝800km，800÷（150﹣70）＝10小时，
10+＝小时；
甲车行驶9小时的路程是120×9＝1080km，乙车行驶9小时的路程是×150+（9﹣）×80＝km，
此时两车相距1080+﹣1800＝km，
两车第二相遇的时间为÷（180﹣80）＝小时，
∴甲车到C点时，一共行驶的时间是9++＝小时，
此时甲车距离A地的距离为1080﹣（﹣9）×180＝150km，
（﹣）×180＝450km，
∴450+150＝600km，
∴乙车到达A地时，甲车距离A地600km，
故答案为600．
18． 解：设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∵S矩形＝ab＝5，S平行四边形＝ah＝4，
∴b＝，h＝，
∴sinα＝＝×＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19． 解：原式＝1+﹣（﹣1）+2
＝1+﹣+1+2
＝．
20． 解：原式＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝x，
当x＝5时，
原式＝5．
21． 解：如图所示：
完成的尺规作图．
①由作图过程可知：AD是△ABC的一条角平分线；
所以①正确；
②连接CM，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
°∠BAC＝60°，
AM＝AC，
∴△ACM是等边三角形；
所以②正确；
③∵AD是三角形ABC的角平分线，而不是中线，
∴S△DAC：S△ABC≠1：4；
所以③错误；
④连接DM，
∵AM＝AC，∠MAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ADM≌△ADC（SAS）
∴DM＝DC，∠AMD＝∠ACD＝90°，
∵∠B＝30°，
∴AC＝AB＝AM，
∴点M是线段AB的中点，DM⊥AB，
∴点D在线段AB的垂直平分线上；
所以④正确；
⑤∵∠B＝∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝120°．
所以⑤错误．
所以正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
22． 解：（1）60≤x≤70的人数为10×10%＝1（人），70＜x≤80的人数为10×50%＝5（人），
∴七年级中位数在70＜x≤80中，
由题意知七年级中位数m＝＝78.5，
八年级众数n＝80，
故答案为：78.5，80；
（2）估计八年级测试成绩在90＜x≤100之间的人数为600×＝60（人）；
（3）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选中两个男生的有6种结果，
所以恰好选中两个男生的概率为＝．
23． 解：（1）证明：连接DE，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠C，
∵＝λ＝1，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠FED，
∴∠FED＝∠CED，
在△DFE和△DCE中，
，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴CE＝FE；
（2）当D、B、F在同一直线上时，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝4，
∴tan∠ABD＝＝，
∵DF⊥AE，
∴∠BFE＝90°，
∵∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠FEB＝90°，
∴∠FEB＝∠ABD，
∴＝tan∠FEB＝tan∠ABD＝，
∵AB＝3，
∴BE＝，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝＝，
∴λ＝
＝
＝
＝．
24． 解：（1）∵△AOC的面积为4，
∴|k|＝4，
解得，k＝﹣8或k＝8（正值不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y＝﹣得，a＝﹣＝4，b＝﹣＝8；
∴a＝4，b＝8；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＜的解集为﹣2＜x＜0或x＞8．
（3）点A（﹣2，4），B（8，﹣1）在直线y＝mx+n的图象上，
∴，解得，
直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，
直线AB与y轴的交点坐标为（0，3），
S△AOB＝＝15．
25． 解：（1）BO⊥AC，理由如下：
在△ABC中，AD为高，
∴∠ODB＝90°，
又∵△BDO≌△ADC，
∴∠OBD＝∠CAD，
∵∠OBD＝∠CAD，∠BOD＝∠AOE，
∴∠AEO＝∠ODB＝90°，
∴BO⊥AC；
（2）存在t的值，使得△BOQ的面积为27，理由如下：
∵△BDO≌△ADC，AC＝18，
∴BO＝AC＝18，
∵CE＝AE，
∴AE＝12，CE＝6，
由（1）可知，∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC，
分两种情况：
①当0＜t＜2时，Q在线段AE上，
S△BOQ＝BO×QE＝×18×（12﹣6t）＝27，
解得：t＝（舍去）；
②当t＞2时，Q在射线EC上，
S△BOQ＝BO×QE＝×18×（6t﹣12）＝27，
解得：t＝，
此时Q与C重合；
综上所述，存在t的值，使得△BOQ的面积为27，t的值为；
（3）由（1）可知，△BDO≌△ADC，
∴∠BOD＝∠ACD，
①当点F在线段BC延长线上时，如图3，
∵∠BOD＝∠ACD，
∴∠AOP＝∠QCF，
∵AO＝CF，
∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），
此时，2t＝18﹣6t，
解得：t＝；
②当点F在线段BC上时，如图4，
∵∠BOD＝∠ACD，
∴∠AOP＝∠FCQ，
∵AO＝CF，
∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），
此时，2t＝6t﹣18，
解得：t＝；
综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为或．
26． 解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得
，
解得
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y＝mx+n，则
，
解得，
∴直线AC解析式为y＝x+1；
（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴N（0，3），
∵点P的横坐标为t；
∴P（t，﹣t2+2t+3），
过点P作PH⊥y轴于H，连接PN，设直线AC交y轴于G，则G（0，1），∠PHN＝90°
∴OA＝OG＝1，PH＝t，HN＝OH﹣ON＝﹣t2+2t，
∴∠AGO＝∠CGN＝45°
∵S△ACP＝S△ACN
∴PN∥AC
∴∠PNH＝∠CGN＝45°
∴PH＝HN
∴t＝﹣t2+2t，解得：t1＝0（舍去），t2＝1，
∴P（1，4）；
②如图2，过P作PS⊥x轴于S，过C作CK⊥PS于K，则∠CKP＝∠PSA＝90°
∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），
∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t2+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵△ACP是以AC为斜边的直角三角形
∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°
∵∠PCK+∠CPK＝90°
∴∠APS＝∠PCK
∴△APS∽△PCK
∴＝，即＝
解得：t＝
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，
∴﹣1＜t＜2，但＞2
∴t＝
∴P（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4）
∴B（1，2），BD＝2，
以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形．
设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，
∵EF∥BD
∴EF＝BD
∴＝2，解得：m1＝0，m2＝1（舍去），m3＝，m4＝；
∴点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．
统计量
平均数
中位数
众数
七年级
80
m
72
八年级
80
80
n
男
男
男
女
男
（男，男）
（男，男）
（女，男）
男
（男，男）
（男，男）
（女，男）
男
（男，男）
（男，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）
（男，女）