2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知椭圆的焦点为(−1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为
( )
A. x24+y2=1B. x24+y23=1C. y24+x2=1D. y24+x23=1
2.若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n=(−2,1,12)，则平面β的法向量可以是( )
A. (−1,12,14)B. (2,−1,0)C. (1,2,0)D. (12,1,2)
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a17=10，则S19的值是( )
A. 55B. 95C. 100D. 不确定
4.如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量EF与AB、CD的关系是( )
A. EF=12AB+12CDB. EF=−12AB+12CD
C. EF=12AB−12CDD. EF=−12AB−12CD
5.已知P(a,b)在圆x2+y2=4外，则直线ax+by−4=0与圆的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上皆有可能
6.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( )
A. y=± 2xB. y=± 3xC. y=± 22xD. y=± 32x
7.已知函数f(x)=alnx+x2在x=1处的切线与直线x+y−1=0垂直，则a的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
8.函数f(x)= 3sinx(1+csx)的最大值为( )
A. 32 3B. 54 3C. 58D. 94
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆x2+y2−4x−1=0，则下列说法正确的有( )
A. 关于点(2,0)对称B. 关于直线y=0对称
C. 关于直线x+3y−2=0对称D. 关于直线x−y+2=0对称
10.在平面直角坐标系xOy中，点M(4,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为x=−1B. |MN|=174
C. △OMN的面积为72D. |MF|+|NF|=|MF||NF|
11.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且a1>1，a6a7>1，a6−1a7−1b>0)，
由题意可得c=1，a=2，b= 3，
即有椭圆方程为x24+y23=1．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：因为平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n=(−2,1,12)，
所以平面β的法向量与n垂直，
对于A，因为2+12+18≠0，故选项A错误；
对于B，因为−4−1≠0，故选项B错误；
对于C，因为−2+1=0，故选项C正确；
对于D，因为−1+1+1≠0，故选项D错误．
故选：C．
利用垂直的两个平面的法向量垂直，利用数量积为0依次判断四个选项，即可得到答案．
本题考查了平面的法向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，考查逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．由等差数列的性质，结合a3+a17=10求出a10，代入前19项的和得答案．
【解答】
解：在等差数列{an}中，由a3+a17=10，得2a10=10，∴a10=5．
∴S19=(a1+a19)×192=19a10=19×5=95．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：连接AF，EF=AF−AE=12(AB+AC)−12AD=12AB−12(AD−AC)=12AB−12CD，
故选：C．
根据向量的三角形法则，以及向量的加减几何意义即可求出．
本题考查了向量的三角形法则，以及向量的几何意义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：点P(a,b)在圆x2+y2=4外，则a2+b2>4，
因此，圆x2+y2=4的圆心(0,0)到直线ax+by−4=0的距离d=|0+0−4| a2+b24，从而算出圆心到直线ax+by−4=0的距离小于半径，可得答案．
本题主要考查圆的方程及其性质、点与圆和直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．
本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
【解答】
解：∵双曲线的离心率为e=ca= 3，
则ba= b2a2= c2−a2a2= (ca)2−1= 3−1= 2，
即双曲线的渐近线方程为y=±bax=± 2x，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：因x+y−1=0的斜率为−1，
则f′(1)=1⇒f′(x)=ax+2x⇒f′(1)=a+2=1⇒a=−1．
故选：B．
由题可得f′(1)=1，即可得答案．
本题考查导数的几何意义，化归转化思想，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由已知得f(x)=2 3sinx2csx2sin2x2+cs2x2⋅2cs2x2sin2x2+cs2x2=2 3tanx21+tan2x2⋅21+tan2x2，
tanx2=0时，f(x)=0，
当tanx2≠0时，令t=tanx2，则原函数化为g(t)=4 3tt4+2t2+1=4 3t3+2t+1t，t≠0，
显然g(−t)=−g(t)，故g(t)是奇函数，根据g(t)的符号可知，
当t>0时，g(t)>0，所以函数的最大值在t>0范围内，
令h(t)=t3+2t+1t，t>0，
令h′(t)=3t2+2−1t2=0，即3t4+2t2−1=0，解得t2=13或t2=−1(舍)，
解得t=±1 3(负值舍去)，
t∈(0,1 3)时，即t2∈(0,13)，则h′(t)0，
易知h(t)的极小值为h(1 3)=(1 3)3+2⋅1 3+ 3=163 3，也是最小值，
所以f(x)max=4 3h(x)min=4 3163 3=94．
故选：D．
由二倍角公式将原函数化为关于tanx2的解析式，再利用换元法结合导数研究函数的最值．
本题考查三角函数的性质的应用，求导的方法求函数的最值问题，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：圆x2+y2−4x−1=0，圆的圆心(2,0)，半径为： 5，
所以关于点(2,0)对称，所以A正确；
直线y=0经过圆的圆心，所以圆关于直线y=0对称，所以B正确；
直线x+3y−2=0经过圆的圆心，圆关于直线x+3y−2=0对称，所以C正确；
直线x−y+2=0不经过圆的圆心，圆不关于直线x−y+2=0对称，所以D不正确；
故选：ABC．
求出圆的圆心与半径，判断直线与圆的位置关系，判断结果即可．
本题考查直线与圆的位置关系，圆的一般方程的应用，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：∵点M(4,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，
∴42=2p⋅4⇒p=2，
∴y2=4x，焦点为(1,0)，准线为x=−1，A对，
因为M(4,4)，
故kMF=4−04−1=43，
故直线MF为：y=43(x−1)，
联立y2=4xy=43(x−1)⇒169(x−1)2=4x⇒x=14或x=4，
∴N(14,−1)，
∴|MF|=4+p2=5，|NF|=14+p2=54，
∴|MN|=5+54=254，B错，
|MF|+|NF|=|MN|=254=|MF|⋅|NF|，D对，
△OMN的面积为12|OF|⋅(yM−yN)=12×1×5=52.故C错，
故选：AD．
根据条件求出p，再联立直线与抛物线求出N，进而求出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，以及三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由条件a1>1，a6a7>1，a6−1a7−1g(x2)−x2f(x2)恒成立，
设φ(x)=g(x)−xf(x)=x22−axlnx(x>0)，
由题意知x1>x2>0时，φ(x1)>φ(x2)，
故当x∈(0,+∞)时函数φ(x)单调递增，
所以φ′(x)=x−a(lnx+1)≥0恒成立，即1a≥lnx+1x恒成立，
记t(x)=lnx+1x，得t′(x)=−lnxx2，
当01时，t′(x)0，则0