陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题

这是一份陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，a6+a7+a8=3，则此数列的前13项的和等于( )
A. 8B. 26C. 13D. 162
2.函数f(x)=12x2−lnx的极小值为( )
A. 12B. 1C. 0D. 不存在
3.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 3，则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.设数列{an}的前n项和为Sn，并且Sn=2n−1(n∈N*)，则a10a5等于( )
A. 32B. 16C. 992D. 102331
5.已知函数f(x)=xlnx，过点(0,−1)作该函数曲线的切线，则该切线方程为( )
A. 2x−y−1=0B. x+y+1=0C. x+2y+2=0D. x−y−1=0
6.设点P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为( )
A. 5B. 53C. 3D. 33
7.已知函数f(x)在x>0上可导且满足f′(x)−f(x)>0，则下列不等式一定成立的为( )
A. f(2)>ef(3)B. f(3)ef(2)D. f(2)0,a≠1)在区间(−12,0)内单调递增，则实数a的取值范围是______．
16.已知等差数列{an}公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1,ab2,ab3,…,abn为等比数列，其中b1=1，b2=3，b3=7.则数列{bn}的前10项之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是正项等比数列，且a1=b1=1，a3+b2=8，a5=b3．
(1)求数列{an}、数列{bn}的通项公式；
(2)若cn=1anan+1(n∈N*)，求证数列{cn}的前n项和Sn50成立的正整数n的最小值．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点P(4,2)，且△PF1F2的面积为2 6．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)过点(2,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1⋅k2的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+x2−ax(a∈R)．
(1)设函数g(x)=f(x)−x2，若函数g(x)在区间(1,2)上存在极值，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且1 2e≤x10，
f′(x)=x−1x=(x+1)(x−1)x2，由f′(x)=0⇒x=1，
x∈(0,1)时，f′(x)0，
所以f(x)的极小值f(1)=12．
故选：A．
求出定义域，导数及导数的零点，再判断导数附近的符号，确定结论．
本题考查函数极值(点)的判断和计算，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．
求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点F的距离．
【解答】
解：抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 3，则P(3,±2 3)，
∴P到抛物线的准线的距离为：4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，并且Sn=2n−1(n∈N*)，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1−(2n−1−1)=2×2n−1−2n−1=2n−1(n∈N*)．
所以a10a5=2924=25=32．
故选：A．
利用an=Sn−Sn−1(n≥2,n∈N*)即可求解．
本题考查数列前n项和公式和通项公式之间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=xlnx，求导得：f′(x)=1+lnx，设切点坐标为(x0,x0lnx0)，
于是1+lnx0=x0lnx0+1x0，解得x0=1，则f′(1)=1，
所以所求切线方程为y=x−1，即x−y−1=0．
故选：D．
求出函数f(x)的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可得：点P到原点的距离|PO|= a2+b2=c，∴∠F1PF2=90°，
∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|−|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∴16a2+4a2=4c2，∴c= 5a，∴e=ca= 5．
故选：A．
由题意结合圆的半径和双曲线的定义得到a，c的比值关系即可确定其离心率．
本题主要考查双曲线的离心率的求解，圆的几何性质，双曲线的几何性质等知识，属于中等题．
7.【答案】C
【解析】解：构造函数g(x)=f(x)ex，
则g′(x)=f′(x)ex−f(x)(ex)′(ex)2=f′(x)−f(x)ex>0在x>0时恒成立，
所以g(x)=f(x)ex在x>0时单调递增，
所以g(3)>g(2)，即f(3)e3>f(2)e2，
所以f(3)>ef(2)，
故选：C．
构造函数g(x)=f(x)ex，讨论其单调性即可求解．
本题考查利用函数单调性比较大小，导数的应用，属中档题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究恒成立问题，属于中档题．
构造函数f(x)=aex−lnx+lna，先求导，判断导函数的单调性，即可求出函数f(x)的最小值，根据基本不等式即可求出a的取值范围．
【解答】
解：设f(x)=aex−lnx+lna，则x>0，a>0，
∴f′(x)=aex−1x，
设g(x)=aex−1x，x>0，a>0，则g′x=aex+1x2>0，
∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，
∴存在x0∈(0,+∞)，使得g(x0)=0，
即存在x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=aex0−1x0=0，
即aex0=1x0，两边取对数，可得lna+x0=−lnx0，
当02，
所以圆与直线相离，故B错误；
对于C：因为圆E：(x−2)2+(y−3)2=1，
所以圆心E(2,3)，半径R=1，
因为||OE|= 22+32= 13>r+R=3，
所以两圆相离，故C正确；
对于D：当m=0，n=−1时，直线l为y=3，
过直线l上任意一点P作圆C的切线，设切点为Q，
则切线长|PQ|= |PO|2−r2= |PO|2−1，
所以当|PO|取得最小值时，|PQ|最小，
因为点P在直线l：y=3上，
所以当OP⊥l时，|OP|最小，
此时|OP|min=3，
所以|PQ|min= 32−1= 8=2 2，故D错误．
故选：AC．
对选项逐个判断即可．
本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：数列{an}满足a1=2，且(n+1)an+1−nan=2n，
可得nan=a1+(2a2−a1)+(3a3−2a2)+...+(nan−(n−1)an−1)=2+2+4+...+2n−1=1+1−2n1−2=2n，
即有an=2nn，
可得a4=4，{nan}是公比为2的等比数列，不是等差数列，故ACD正确，B错误．
故选：ACD．
由累加法求得nan=2n，再对选项加以判断，可得正确结论．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由双曲线方程知a=1,b= 3,c=2，令圆M在x轴上的切点横坐标为x1，
结合双曲线定义及圆切线性质有|AF1|−|AF2|=(x1+c)−(c−x1)=2a，即x1=a=1，
所以圆M在x轴上的切点与右顶点为E重合，又ME⊥x轴，则M的横坐标为1，A错；
由F1A⊥AB，则|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=16，
故(|AF1|−|AF2|)2+2|AF1||AF2|=16，
而|AF1|−|AF2|=2，所以|AF1||AF2|=6，故|AF2|2+2|AF2|−6=0，解得|AF2|= 7−1，
所以|AF1|= 7+1，B对；
设直线l：x=ty+2，点A(x1,y1)，y1>0，B(x2,y2)，
则点P(2 3,2 3t)，Q(−2 3,−2 3t)，
联立x=ty+2与x2−y23=1，整理可得(3t2−1)y2+12ty+9=0，
Δ=122t2−4(3t2−1)×9>0，可得t2+1>0，
则y1+y2=−12t3t2−1，y1y2=93t2−1，
所以y1−y2= (y1+y2)2−4y1y2= 122t2(3t2−1)2−4⋅93t2−1=6 t2+1|3t2−1|，
所以|AP|=|y1−2 3t|，|BQ|=|y2−2 3t|，
所以|AP|=|BQ|，故C正确；
由MF2，NF2分别是∠EF2A，∠EF2B的角平分线，
又∠EF2A+∠EF2B=π，
所以∠MF2N=π2，结合A分析易知MN⊥EF2，
在Rt△MF2N中，|EF2|2=|ME||NE|=(c−a)2=1，D对．
故选：BCD．
根据双曲线方程有a=1,b= 3,c=2，利用双曲线定义及圆切线性质求圆M在x轴上的切点横坐标即可判断A；
根据F1A⊥AB，结合双曲线定义、勾股定理求|AF1|判断B；
设直线l：x=ty+2，联立x=ty+2与x2−y23=1，整理可得(3t2−1)y2+12ty+9=0，结合韦达定理即可求解；判断C；
由内切圆圆心性质∠MF2N=π2，结合直角三角形性质|EF2|2=|ME||NE|判断D．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
13.【答案】e
【解析】解：因为f(x)=ex−x+1(−1≤x≤1)，所以f′(x)=ex−1，
令f′(x)1时，函数f(x)减区间为(− a3,0)，不合题意，
当00，
由a1=b1=1，a3+b2=8，a5=b3，
可得1+2d+q=8，1+4d=q2，
解得d=2，q=3(d=6,q=−5舍去)，
则an=1+2(n−1)=2n−1，bn=3n−1；
证明：(2)cn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)
=12(12n−1−12n+1)，
所以Sn=12(1−13+13−15+…+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)0，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比；
(2)求得cn=12(12n−1−12n+1)，再由裂项相消求和即可得证．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=lnx+x2(x>0)，则f′(x)=1x+2x，
则切线的斜率k=f′(1)=1+2=3，又f(1)=ln1+1=1，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x−y−2=0．
(2)h(x)=f(x)−3x=lnx+x2−3x(x>0)，
则h′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x(x>0)，
由h′(x)>0，可得050成立，即2n+1>52，
∴使Sn+n⋅2n+1>50成立的正整数n的最小值为5．
【解析】(1)设等比数列的公比为q(q>1)，然后列出首项及公比的方程组即可求出首项和公比，从而求出通项公式；
(2)本题构造了一个新数列，要求新数列的和，用错位相减来求和，两边同乘以2，得到结果后观察Sn+n⋅2n+1>50成立的正整数n的最小值．
本题考查了求数列的通项公式，错位相减法求数列的和，也考査了数列能成立时n的最小值，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)由椭圆C的焦点为F1(−c,0)，F2(c,0)，由点P(4,2)，且△PF1F2的面积为2 6，
可得12⋅2c⋅2=2 6，解得c= 6，又由离心率e=ca= 32，可得a=2 2，
而b= a2−c2= 8−6= 2，
所以椭圆C的标准方程为：x28+y22=1；
(Ⅱ)①当直线l的斜率为0时，则A(−2 2,0)，B(2 2,0)，
则k1k2=24+2 2⋅24−2 2=416−8=12，
②当直线l的斜率不为0时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为x=my+2，
由x2+4y2=8x=my+2，整理得(m2+4)y2+4my−4=0，
Δ>0，则y1+y2=−4m4+m2，y1y2=−44+m2，
又x1=my1+2，x2=my2+2，
所以k1k2=y1−2x1−4⋅y2−2x2−4=y1y2−2(y1+y2)+4(my1−2)(my2−2)=y1y2−2(y1+y2)+4m2y1y2−2m(y1+y2)+4=−44+m2+2⋅4m4+m2+4−4m24+m2+8m24+m2+4=k1⋅k2=2−y14−x1⋅2−y24−x2=(2−y1)(2−y2)(2−my1)(2−my2)=4−2(y1+y2)+y1y24−2m(y1+y2)+m2y1y2=4−2⋅(−4mm2+4)+(−4m2+4)4−2m⋅(−4mm2+4)+m2⋅(−4m2+4)=m2+2m+32m2+4=12+2m+12m2+4，
令t=2m+1，当t=0时，k1k2=12；
当t≠0时，m=t−12，则k1k2=12+t2⋅(t−12)2+4=12+2tt2−2t+9=12+2t+9t−2，
当t>0，则t+9t−2≥2 t⋅9t−2=4，当且仅当t=9t，即t=3，这时k1k2∈[14,12)；
当t0)，
当a≤0时，g′(x)>0恒成立，g(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a>0时，g′(x)>0⇒0