陕西省西安市阎良区关山中学2021-2022学年高二下学期期中数学（理科）试卷

这是一份陕西省西安市阎良区关山中学2021-2022学年高二下学期期中数学（理科）试卷，共21页。试卷主要包含了满分，观察下列式子等内容，欢迎下载使用。


1.（单选题.5分）若复数z=（3-4i）（1+i）.则z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.（单选题.5分）函数y=3x2-2x从1到2的平均变化率为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
3.（单选题.5分）在△ABC中.三条边的长分别为面积为S.则△ABC的内切圆半径 r=2Sa+b+c ．类比这个结论.在四面体PABC中.六条棱的长分别为四个面的面积分别为体积为V.则四面体PABC的内切球半径为（ ）
A. 2S1+S2+S3+S4a+b+c+d+e+f
B. 2Va+b+c+d+e+f
C. 3Va+b+c+d+e+f
D. 3VS1+S2+S3+S4
4.（单选题.5分）已知复数z满足|z-i|=2.且|z|=1.则z=（ ）
A.1+i
B.1-i
C.-i
D.i
5.（单选题.5分）函数f（x）=x3-3x的极大值点是（ ）
A.-2
B.-1
C.1
D.2
6.（单选题.5分）用数学归纳法证明不等式“ 1+12+13+…+12n＜nn∈N，n≥2 ”时.由n=k（k≥2）时不等式成立.推证n=k+1时.左边增加的项数是（ ）
A.2k-1
B.2k-1
C.2k
D.2k+1
7.（单选题.5分）已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+3q.单价p与产量q的函数关系式为 p=75−16q2 .则当利润最大时.q=（ ）
A.8
B.12
C.16
D.20
8.（单选题.5分）已知复数 z=3−i3+i . z 为z的共轭复数.则 zz 的虚部为（ ）
A. −12
B. 32i
C. 12
D. 32
9.（单选题.5分）观察下列式子：
1×2=131×2×3−0×1×2 ；
2×3=132×3×4−1×2×3 ；
3×4=133×4×5−2×3×4 ；
…
根据规律.则1×2+2×3+3×4+…+2021×2022=（ ）
A. 13×2020×2021×2022
B. 13×2021×2022×2023
C. 132020×2021×2022−1×2×3
D. 132021×2022×2023−1×2×3
10.（单选题.5分）已知函数f（x）为奇函数.当x≥0时.f（x）=g（x）.函数g（x）的导函数为g'（x）.且g（x）=2xg'（1）+x2.则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A.（-4.0）∪（4.+∞）
B.（-2.0）∪（2.+∞）
C.（-4.0）∪（0.4）
D.（-2.0）∪（0.2）
11.（单选题.5分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩．老师说：“你们五人中有两位获得一等奖.三位获得二等奖．”甲看了乙、丙的成绩后说：“我还是不知道我的成绩．”丁看了甲、戊的成绩后说：“你们俩的获奖情况一样．”根据以上信息.则（ ）
A.丁一定获得一等奖
B.丁一定获得二等奖
C.乙、丁的获奖情况一定不一样
D.乙、丁的获奖情况可以相同
12.（单选题.5分）已知x1.x2是函数f（x）=x2-2ax+2lnx的两个极值点.且x1＜x2．当 a≥52 时.不等式f（x1）≥mx2恒成立.则实数m的取值范围为（ ）
A. (0，−98−ln2]
B. (−∞，−98−ln2]
C. [−98−ln2，0)
D. [−98−ln2，+∞)
13.（填空题.5分）设复数z满足 i+z1−z=i2023 .则|1+z|=___ ．
14.（填空题.5分）已知函数 fx=x−2x .则 Δx→0f1+2Δx−f13Δx =___ ．
15.（填空题.5分）若复数z满足|z+1-i|=1.则|z-2i|的最大值为 ___ ．
16.（填空题.5分）下面四个推理得出的结论正确的所有序号是 ___ ．
① 函数f（x）=x3.因为f'（0）=0.所以x=0是f（x）的极值点．
② 在平面中.三角形的内角和是180°.四边形的内角和是360°.五边形的内角和是540°.由此得到凸多边形的内角和是（n-2）×180°．
③ 在△ABC中.D为BC的中点.则 AD=12AB+AC .类比到四面体A-BCD中.G为△BCD的重心.则 AG=13AB+AC+AD ．
④ 在圆x2+y2=r2中.AB为直径.C为圆上异于A.B的任意一点．若AC.BC的斜率都存在.则kAC•kBC=-1.类比到椭圆 x2a2+y2b2=1a＞b＞0 中.AB为过中心的一条弦.P为椭圆上异于A.B的任意一点．若PA.PB的斜率都存在.则 kPA•kPB=−a2b2 ．
17.（问答题.10分）已知函数 fx=x33+x2−mx ．
（1）若f（x）在R上单调递增.求实数m的取值范围；
（2）若函数g（x）=f（x）+mx.求g（x）在[-2.1]上的值域．
18.（问答题.12分）在数列{an}中.a1=4. an+1=n+3n+1an+1n∈N∗ ．
（1）求的值.并猜想{an}的通项公式；
（2）请用数学归纳法证明（1）中的猜想．
19.（问答题.12分）已知函数 fx=x−a+1lnx−axa＞0 ．
（1）当a=3时.求f（x）的单调区间；
（2）讨论f（x）的极值．
20.（问答题.12分）在△ABC中.角A.B.C为△ABC的三个内角．
（1）若 sinBsinC=cs2A2 .证明：△ABC为等腰三角形．
（2）若sinC=csA+csB.用反证法证明：△ABC为直角三角形．
21.（问答题.12分）已知函数 fx=lnx+1x+1 ．
（1）证明：f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点；
（2）证明：对任意的n∈N*. 2+34+49+…+n+1n2＞lnn+1 恒成立．
22.（问答题.12分）已知函数 fx=2x−12x2 ．
（1）求函数F（x）=f（x）+3lnx的单调区间；
（2）当x≤2时.ex•f（x）≥a（x-1）恒成立.求实数a的取值范围．
2021-2022学年陕西省西安市阎良区关山中学高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
试题数：22.满分：150
1.（单选题.5分）若复数z=（3-4i）（1+i）.则z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【正确答案】：D
【解析】：先利用复数的运算法则求出复数z的代数形式.由复数的几何意义得到对应的点的坐标.即可得到答案．
【解答】：解：∵z=（3-4i）（1+i）=7-i.∴z在复平面内的对应的点位于第四象限．
故选：D．
【点评】：本题考查了复数的几何意义.考查了复数的运算法则的运用.解题的关键是求出复数的代数形式.属基础题．
2.（单选题.5分）函数y=3x2-2x从1到2的平均变化率为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
【正确答案】：C
【解析】：分别求出函数和自变量的改变量△y和△x.再根据平均变化率 △y△x .求解即可．
【解答】：解：△y=（3×22-2×2）-（3×12-2×1）=7.△x=2-1=1.
∴平均变化率为 △y△x = 71 =7．
故选：C．
【点评】：本题考查平均变化率的求法.考查学生的运算能力.属于基础题．
3.（单选题.5分）在△ABC中.三条边的长分别为面积为S.则△ABC的内切圆半径 r=2Sa+b+c ．类比这个结论.在四面体PABC中.六条棱的长分别为四个面的面积分别为体积为V.则四面体PABC的内切球半径为（ ）
A. 2S1+S2+S3+S4a+b+c+d+e+f
B. 2Va+b+c+d+e+f
C. 3Va+b+c+d+e+f
D. 3VS1+S2+S3+S4
【正确答案】：D
【解析】：根据类比思想.“边”变为“面”.“内切圆半径”变为“内切球半径”.根据四面体的几何性质.即可得到答案．
【解答】：解：设四面体的内切球球心为O.则球心O到四个面的距离都是R.
所以四面体的体积等于以O为顶点.分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积之和.
即四面体的体积 V=13S1+S2+S3+S4R .
所以 R=3VS1+S2+S3+S4 ．
故选：D．
【点评】：本题考查类比推理的应用.属于基础题．
4.（单选题.5分）已知复数z满足|z-i|=2.且|z|=1.则z=（ ）
A.1+i
B.1-i
C.-i
D.i
【正确答案】：C
【解析】：设z=a+bi（a.b∈R）.利用复数的运算法则可得a=0.b=-1.可求z.
【解答】：解：设z=a+bi（a.b∈R）.∵|z-i|=2.
∴|a+（b-1）i|=2.∴a2+（b-1）2=4．
∵|z|=1.∴a2+b2=1.∴a=0.b=-1.故z=-i.
故选：C．
【点评】：本题考查复数的运算法则.属基础题．
5.（单选题.5分）函数f（x）=x3-3x的极大值点是（ ）
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【正确答案】：B
【解析】：令f′（x）=0.可得 x=-1或 x=1.根据导数在 x=-1和 x=1两侧的符号.判断故f（-1）为极大值.从而得到极大值点．
【解答】：解：∵函数f（x）=x3-3x.导数f′（x）=3x2-3.
令f′（x）=0.可得 x=-1 或 x=1.
∵导数在 x=-1的左侧大于0.右侧小于0.故f（-1）为极大值；
导数在 x=1 的左侧小于0.右侧大于0.故f（1）为极小值．
∴函数f（x）=x3-3x的极大值点是-1
故选：B．
【点评】：本题考查函数在某点取得极值的条件.利用f′（x）=0.判断导数在极值点处左侧大于0.右侧小于0.是解题的关键．
6.（单选题.5分）用数学归纳法证明不等式“ 1+12+13+…+12n＜nn∈N，n≥2 ”时.由n=k（k≥2）时不等式成立.推证n=k+1时.左边增加的项数是（ ）
A.2k-1
B.2k-1
C.2k
D.2k+1
【正确答案】：C
【解析】：分别写出n=k和n=k+1时.不等式左边的所有项.根据分母特点计算多出的项数．
【解答】：解：“ 1+12+13+…+12n＜nn∈N，n≥2 ”.
当n=k时.左边= 1+12+13+…+12k .
而当n=k+1时.左边= 1+12+13+…+12k−1+12k+12k+1+…+12k+1 .
增加了 12k+1+12k+2+…+12k+1 .共2k+1-2k=2k项．
故选：C．
【点评】：本题考查了数学归纳法的证明步骤.属于基础题．
7.（单选题.5分）已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+3q.单价p与产量q的函数关系式为 p=75−16q2 .则当利润最大时.q=（ ）
A.8
B.12
C.16
D.20
【正确答案】：B
【解析】：设利润为y.则y=pq-C.将条件代入.可得y为关于q的函数.利用导函数判断函数y的单调性.进而得到取得最大值时q的值．
【解答】：解：设利润为y.
则y=pq-C=（75- 16 q2）q-（100+3q）=- 16 q3+72q-100.所以y′=- 12 q2+72．
则当0＜q＜12时.y′＞0；当q＞12时.y′＜0.
故当利润最大时.q=12．
故选：B．
【点评】：本题考查了利用导数求函数的最值.属于基础题．
8.（单选题.5分）已知复数 z=3−i3+i . z 为z的共轭复数.则 zz 的虚部为（ ）
A. −12
B. 32i
C. 12
D. 32
【正确答案】：D
【解析】：根据复数的运算以及共轭复数的定义可解．
【解答】：解：因为 z=3−i3+i=1−3i2 .所以 z=1+3i2 .
故 zz = 1+3i1−3i = −12+32i .故其虚部为 32 ．
故选：D．
【点评】：本题考查复数的运算以及共轭复数的定义.属于基础题．
9.（单选题.5分）观察下列式子：
1×2=131×2×3−0×1×2 ；
2×3=132×3×4−1×2×3 ；
3×4=133×4×5−2×3×4 ；
…
根据规律.则1×2+2×3+3×4+…+2021×2022=（ ）
A. 13×2020×2021×2022
B. 13×2021×2022×2023
C. 132020×2021×2022−1×2×3
D. 132021×2022×2023−1×2×3
【正确答案】：B
【解析】：依题意可得n×（n+1）= 13 [n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）].再用裂项相消法求和即可．
【解答】：解：由规律可得 n×n+1=13n×n+1×n+2−n−1×n×n+1 .
所以1×2+2×3+3×4+…+2021×2022= 13 （1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+...+ 2021×2022×2023−2020×2021×2022)=13×2021×2022×2023
= 13 （2021×2022×2023-0×1×2）
= 13 ×（2021×2022×2023）．
故选：B．
【点评】：本题考查裂项相消法求和.数与式中的归纳推理.属于基础题．
10.（单选题.5分）已知函数f（x）为奇函数.当x≥0时.f（x）=g（x）.函数g（x）的导函数为g'（x）.且g（x）=2xg'（1）+x2.则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A.（-4.0）∪（4.+∞）
B.（-2.0）∪（2.+∞）
C.（-4.0）∪（0.4）
D.（-2.0）∪（0.2）
【正确答案】：A
【解析】：根据条件求出g'（1）.然后求出x≥0时.f（x）的解析式.再结合f（x）为奇函数求解即可．
【解答】：解：∵g（x）=2xg'（1）+x2.∴g'（x）=2g'（1）+2x.
又g'（1）=2g'（1）+2.∴g'（1）=-2．
∴当x≥0时.f（x）=x2-4x.∴由x2-4x＞0.解得x＞4.
∵f（x）为奇函数.∴当x＜0时.由f（x）＞0.解得-4＜x＜0.
故不等式的解集为（-4.0）∪（4.+∞）．
故答案为：A．
【点评】：本题考查了函数的奇偶性.一元二次不等式的解法和导数的运算.考查了转化思想和方程思想.属基础题．
11.（单选题.5分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩．老师说：“你们五人中有两位获得一等奖.三位获得二等奖．”甲看了乙、丙的成绩后说：“我还是不知道我的成绩．”丁看了甲、戊的成绩后说：“你们俩的获奖情况一样．”根据以上信息.则（ ）
A.丁一定获得一等奖
B.丁一定获得二等奖
C.乙、丁的获奖情况一定不一样
D.乙、丁的获奖情况可以相同
【正确答案】：D
【解析】：根据已知条件推理可得结论．
【解答】：解：由于甲看了乙、丙的成绩后并不知道自己的成绩.故可判断乙、丙的成绩可能是一个一等奖和一个二等奖或者两个都是二等奖；
又由于甲、戊的成绩一样.故可知当乙、丙一个一等奖和一个二等奖时.可得甲、戊一定是二等奖.丁的获奖情况是一等奖.
这样可得乙、丁的获奖情况可以相同也可以不同；
又由于乙、丙两个都是二等奖时.甲、戊一定都是一等奖.丁为二等奖.由此可得乙、丁的获奖情况相同．
故选：D．
【点评】：本题考查简单的合情推理.属中档题．
12.（单选题.5分）已知x1.x2是函数f（x）=x2-2ax+2lnx的两个极值点.且x1＜x2．当 a≥52 时.不等式f（x1）≥mx2恒成立.则实数m的取值范围为（ ）
A. (0，−98−ln2]
B. (−∞，−98−ln2]
C. [−98−ln2，0)
D. [−98−ln2，+∞)
【正确答案】：B
【解析】：先对f（x）求导.由x1.x2是函数f（x）的两个极值点.即为f′（x）=0的两个正解.结合韦达定理可得x1+x2与x1x2的式子.再将不等式整理为 m≤fx1x2 .将x1+x2与x1x2的式子代入 fx1x2 中.可得到 fx1x2=−x13−2x1+2x1lnx1 .构造函数g（x）=-x3-2x+2xlnx.将问题转化为m≤g（x）min.利用导函数求得g（x）的最小值.即可求解．
【解答】：解：由题.因为 f′x=2x−2a+2x=2x2−ax+1x .
所以x1.x2是方程x2-ax+1=0的两个正根.
所以 Δ=a2−4＞0，x1+x2=a≥52，x1x2=1 .
因为不等式f（x1）≥mx2恒成立.即 m≤fx1x2 恒成立.
因为 fx1x2=x12−2ax1+2lnx1x2=x13−2ax12+2x1lnx1=x13−2x1+x2x12+2x1lnx1 = −x13−2x1+2x1lnx1 .
所以 m≤−x13−2x1+2x1lnx1min ．
因为 x1+x2=a≥52，x1x2=1 .得 x1+1x1≥52 .所以 0＜x1≤12 .
令 gx=−x3−2x+2xlnx0＜x≤12 .则g′（x）=-3x2+2lnx＜0.
所以g（x）在 (0，12] 上单调递减.
所以 gxmin=g12=−98−ln2 .
故 m≤−98−ln2 .
故选：B．
【点评】：本题考查利用导数研究函数的极值.考查学生的运算能力.属于中档题．
13.（填空题.5分）设复数z满足 i+z1−z=i2023 .则|1+z|=___ ．
【正确答案】：[1] 5
【解析】：把已知等式变形.利用复数代数形式的乘除运算化简.再由复数模的计算公式求解．
【解答】：解：∵ i+z1−z=i2023=−i .∴ z=−2i1−i = −2i−2i21−i2 =1-i.
∴ 1+z=2−i=5 ．
故答案为： 5 ．
【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.属基础题．
14.（填空题.5分）已知函数 fx=x−2x .则 Δx→0f1+2Δx−f13Δx =___ ．
【正确答案】：[1]2
【解析】：利用导函数的定义.即可解出．
【解答】：解：f′（x）=1+ 2x2 .
∴f′（1）=3.
∴ Δx→0f1+2Δx−f13Δx = 23lim△x→0f1+2△x−f12△x = 23 f′（1）=2.
故答案为：2．
【点评】：本题考查了导函数.学生的数学运算能力.属于基础题．
15.（填空题.5分）若复数z满足|z+1-i|=1.则|z-2i|的最大值为 ___ ．
【正确答案】：[1] 2+1
【解析】：设z=x+yi.进而得（x+1）2+（y-1）2=1.利用|z-2i|可理解为圆（x+1）2+（y-1）2=1上的点（x.y）到M（0.2）的距离.可求最大值．
【解答】：解：设z=x+yi（x.y∈R）.∴ z+1−i=x+1+y−1i=x+12+y−12=1 ．
∵（x+1）2+（y-1）2=1表示以C（-1.1）为圆心.1为半径的圆.
∴|z-2i|可理解为圆（x+1）2+（y-1）2=1上的点（x.y）到M（0.2）的距离.
又∵|CM|= 12+12 = 2 .
故|z-2i|的最大值为 2+1 ．
故答案为： 2+1 ．
【点评】：本题考查复数的模的最大值.属中档题．
16.（填空题.5分）下面四个推理得出的结论正确的所有序号是 ___ ．
① 函数f（x）=x3.因为f'（0）=0.所以x=0是f（x）的极值点．
② 在平面中.三角形的内角和是180°.四边形的内角和是360°.五边形的内角和是540°.由此得到凸多边形的内角和是（n-2）×180°．
③ 在△ABC中.D为BC的中点.则 AD=12AB+AC .类比到四面体A-BCD中.G为△BCD的重心.则 AG=13AB+AC+AD ．
④ 在圆x2+y2=r2中.AB为直径.C为圆上异于A.B的任意一点．若AC.BC的斜率都存在.则kAC•kBC=-1.类比到椭圆 x2a2+y2b2=1a＞b＞0 中.AB为过中心的一条弦.P为椭圆上异于A.B的任意一点．若PA.PB的斜率都存在.则 kPA•kPB=−a2b2 ．
【正确答案】：[1] ② ③
【解析】：对于 ① .由f′（x）≥0恒成立.即可判断；对于 ② .根据凸多边形的性质判断即可；对于 ③ .重心为中线交点.由向量结合重心的性质即可判断；对于 ④ .由AB为过中心的一条弦.可设A（x1.y1）.B（-x1.-y1）.再设P（x0.y0）.结合斜率公式即可判断．
【解答】：解：对于 ① .因为f'（x）=3x2≥0恒成立.所以f（x）在R上单调递增.没有极值.故 ① 不正确；
对于 ② .因为凸多边形边数增加1.内角和增加180°.所以凸多边形的内角和是（n-2）×180°.故 ② 正确；
对于 ③ .在四面体A-BCD中. AG=AB+BG=AB+23×12BC+BD=AB+13AC−AB+AD−AB .所以 AG=13AB+AC+AD .故 ③ 正确；
对于 ④ .设A（x1.y1）.B（-x1.-y1）.P（x0.y0）.则 kPA⋅kPB=y1−y0x1−x0⋅−y1−y0−x1−x0=y12−y02x12−x02=−b2a2x12−x02x12−x02=−b2a2 .故 ④ 不正确．
故答案为： ② ③ ．
【点评】：本题考查图与形中的归纳推理.圆锥曲线中的类比推理.平面与空间中的类比推理.属于基础题．
17.（问答题.10分）已知函数 fx=x33+x2−mx ．
（1）若f（x）在R上单调递增.求实数m的取值范围；
（2）若函数g（x）=f（x）+mx.求g（x）在[-2.1]上的值域．
【正确答案】：
【解析】：（1）对函数f（x）求导.依题意.得f'（x）=x2+2x-m≥0恒成立.由判别式△≤0即可求得实数m的取值范围；
（2）由g（x）= x33+x2 .求导分析其单调性.即可求得g（x）在[-2.1]上的值域．
【解答】：解：（1）因为 fx=x33+x2−mx .所以f'（x）=x2+2x-m；
因为f（x）在R上单调递增.所以f'（x）≥0恒成立.
则Δ=22+4m≤0.解得m≤-1.
即实数m的取值范围是（-∞.-1]．
（2）因为g（x）=f（x）+mx= x33+x2−mx +mx= x33+x2 .
所以g'（x）=x2+2x.
由g'（x）＞0.得x＜-2或x＞0；由g'（x）＜0.得-2＜x＜0．
所以函数g（x）在（0.1）上单调递增.在（-2.0）上单调递减．
因为 g−2=43 .g（0）=0. g1=43 .
所以g（x）在[-2.1]上的值域为 0，43 ．
【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性.考查转化化归思想及运算求解能力.属于中档题．
18.（问答题.12分）在数列{an}中.a1=4. an+1=n+3n+1an+1n∈N∗ ．
（1）求的值.并猜想{an}的通项公式；
（2）请用数学归纳法证明（1）中的猜想．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用数列的递推关系式求解数列的前几项.然后猜想通项公式．
（2）利用数学归纳法的证明步骤.证明求解即可．
【解答】：（1）解：∵在数列{an}中.a1=4. an+1=n+3n+1an+1 .
∴a2=2a1+1=9. a3=53a2+1=16 . a4=32a3+1=25 ．•••
猜想 an=n+12 ．
（2）由（1）猜想 an=n+12 ．
证明： ① 当n=1时. a1=4=22 .猜想显然成立；
② 假设当n=k时.猜想成立.即 ak=k+12 .
则当n=k+1时. ak+1=k+3k+1ak+1=k2+4k+4=k+22=k+1+12 .
即当n=k+1时.猜想也成立．
由 ① ② 可知.猜想成立.即 an=n+12 ．
【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用.数学归纳法的应用.是中档题．
19.（问答题.12分）已知函数 fx=x−a+1lnx−axa＞0 ．
（1）当a=3时.求f（x）的单调区间；
（2）讨论f（x）的极值．
【正确答案】：
【解析】：（1）将a=3代入.对函数f（x）求导.判断导函数与0的关系.进而得到单调区间；
（2）对函数f（x）求导.分a＜1.a=1及a＞1讨论函数f（x）的单调性情况.进而得到极值．
【解答】：解：（1）当a=3时. fx=x−4lnx−3x .
则 f′x=1−4x+3x2=x2−4x+3x2=x−3x−1x2 .
由f'（x）＞0.得0＜x＜1或x＞3；由f'（x）＜0.得1＜x＜3．
所以f（x）的单调递增区间为（0.1）.（3.+∞）.单调递减区间为（1.3）．
（2） f′x=x−ax−1x2 .
当a＜1时.f（x）的单调递增区间为（0.a）.（1.+∞）.单调递减区间为（a.1）.
故此时f（x）的极大值为f（a）=a-1-（a+1）lna.极小值为f（1）=1-a；
当a=1时.f'（x）≥0.即f（x）在（0.+∞）上单调递增.此时f（x）无极值；
当a＞1时.f（x）的单调递增区间为（0.1）.（a.+∞）.单调递减区间为（1.a）.
故此时f（x）的极大值为f（1）=1-a.极小值为f（a）=a-1-（a+1）lna.
综上.当a＜1时.f（x）的极大值为f（a）=a-1-（a+1）lna.极小值为f（1）=1-a；当a=1时.f（x）无极值；当a＞1时.f（x）的极大值为f（1）=1-a.极小值为f（a）=a-1-（a+1）lna.
【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性.极值.考查分类讨论思想及运算求解能力.属于中档题．
20.（问答题.12分）在△ABC中.角A.B.C为△ABC的三个内角．
（1）若 sinBsinC=cs2A2 .证明：△ABC为等腰三角形．
（2）若sinC=csA+csB.用反证法证明：△ABC为直角三角形．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用二倍角公式结合三角形的内角和定理.利用两角和与差的三角函数推出B=C.判断三角形的形状．
（2）利用反证法的证明方法.假设△ABC不是直角三角形.则A.B.C都不等于 π2 ．推出2sinC=0.这与sinC≠0矛盾.得到结果．
【解答】：证明：（1）在△ABC中.角A.B.C为△ABC的三个内角.
因为 sinBsinC=cs2A2=1+csA2 .
所以2sinBsinC=1+csA=1-cs（B+C）=1-csBcsC+sinBsinC.
所以csBcsC+sinBsinC=1.所以cs（B-C）=1．
因为B-C∈（-π.π）.所以B=C.
故△ABC为等腰三角形．
（2）（反证法）假设△ABC不是直角三角形.则A.B.C都不等于 π2 ．
在△ABC中.角A.B.C为△ABC的三个内角．
因为sinC=csA+csB.所以sin（A+B）=csA+csB.
所以sinAcsB+csAsinB=csA+csB.
所以csA（1-sinB）+csB（1-sinA）=0．
因为（1+sinA）（1+sinB）＞0.
所以csA（1-sinB）（1+sinA）（1+sinB）+csB（1-sinA）（1+sinA）（1+sinB）=0.
所以csA（1-sin2B）（1+sinA）+csB（1-sin2A）（1+sinB）=0
所以csAcs2B（1+sinA）+csBcs2A（1+sinB）=0．
因为A.B.C都不等于 π2 .所以csA≠0.csB≠0.
所以csA+csB+sinAcsB+csAsinB=0.
所以csA+csB+sin（A+B）=0.
因为csA+csB=sinC.所以2sinC=0.这与sinC≠0矛盾.
所以假设不成立.故△ABC为直角三角形．
【点评】：本题考查三角形的形状的判断.三角形中点几何计算.反证法的应用.是中档题．
21.（问答题.12分）已知函数 fx=lnx+1x+1 ．
（1）证明：f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点；
（2）证明：对任意的n∈N*. 2+34+49+…+n+1n2＞lnn+1 恒成立．
【正确答案】：
【解析】：（1）欲证f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点.只需证明ln（x+1）-x2-x=0只有一个根．构造函数.利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最大值.然后推出结果．
（2）g（x）=ln（x+1）-x2-x≤0恒成立.即ln（x+1）≤x2+x恒成立.然后通过n∈N*.推出 lnn+1n＜n+1n2 ．利用累加法.结合对数运算法则.转化求解即可．
【解答】：证明：（1）欲证f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点.
只要证方程f（x）=x只有一个根.
即证 lnx+1x+1=x 只有一个根.
即ln（x+1）-x2-x=0只有一个根．
令g（x）=ln（x+1）-x2-x.x∈（-1.+∞）.
则 g′x=1x+1−2x−1=−x2x+3x+1 ．
令g'（x）＞0.得-1＜x＜0；令g'（x）＜0.得x＞0．
所以g（x）在（-1.0）上单调递增.在（0.+∞）上单调递减.
所以g（x）max=g（0）=0．
因为g（x）≤0恒成立.当且仅当x=0时.g（x）=0.
所以方程g（x）=0只有一个根.
故f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．
（2）由（1）知g（x）=ln（x+1）-x2-x≤0恒成立.
即ln（x+1）≤x2+x恒成立.在x=0时等号成立．
因为n∈N*.所以 ln1n+1＜1n2+1n .所以 lnn+1n＜n+1n2 ．
因为 ln21＜212 . ln32＜322 . ln43＜432 .….
所以 ln21+ln32+ln43+…+lnn+1n＜212+322+432+…+n+1n2 .
所以 ln21×32×43×…×n+1n＜2+34+49+…+n+1n2 .
所以 lnn+1＜2+34+49+…+n+1n2 .
即 2+34+49+…+n+1n2＞lnn+1 ．
【点评】：本题考查函数导数的应用.函数的最值的求法.数列求和的方法.考查转化思想以及计算能力.是难题．
22.（问答题.12分）已知函数 fx=2x−12x2 ．
（1）求函数F（x）=f（x）+3lnx的单调区间；
（2）当x≤2时.ex•f（x）≥a（x-1）恒成立.求实数a的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）求出导函数.通过导函数的符号.判断函数的单调性即可．
（2）推出 2x−12x2−ax−1ex≥0 ．构造函数 gx=2x−12x2−ax−1ex .求出导数.通过 ① 当a≤0时. ② 当0＜a＜e2时. ③ 当a≥e2时.判断函数的单调性求解函数的最小值.推出a的取值范围．
【解答】：解：（1）因为 Fx=2x−12x2+3lnx .
所以 F′x=2−x+3x=2x−x2+3x=−x−3x+1x .
令F'（x）＞0.得0＜x＜3；令F'（x）＜0.得x＞3．
故函数F（x）的单调递增区间为（0.3）.单调递减区间为（3.+∞）．
（2）当x≤2时.由ex⋅f（x）≥a（x-1）.得 2x−12x2−ax−1ex≥0 ．
记 gx=2x−12x2−ax−1ex .则 g′x=2−xex−aex ．
① 当a≤0时.则g'（x）≥0.所以g（x）在（-∞.2]上单调递增． g−1=−52+2ae＜0 .不满足题意.舍去．
② 当0＜a＜e2时.令g'（x）=0.得x1=2.x2=lna.
因为lna＜2.所以当x＜lna时.g'（x）＜0；当lna＜x＜2时.g'（x）＞0．
故g（x）在（-∞.lna）上单调递减.在（lna.2）上单调递增.
则 gxmin=glna=−12lna2+lna+1≥0 .解得 e1−3≤a≤e1+3 .
因为0＜a＜e2.所以 e1−3≤a＜e2 ．
③ 当a≥e2时.g'（x）≤0.所以g（x）在（-∞.2]上单调递减.
所以 gxmin=g2=2−ae2≥0 .解得a≤2e2.所以e2≤a≤2e2．
综上所述.a的取值范围是 e1−3，2e2 ．
【点评】：本题考查函数导数的应用.函数的单调性以及函数的最值的求法.考查转化思想以及计算能力.是中档题．