上海市新川中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

这是一份上海市新川中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题，共10页。试卷主要包含了数列满足等内容，欢迎下载使用。

一､填空题（每小题3分，共36分）
1.空间两条直线没有公共点，则这两条直线的位置关系是__________.
2.抛物线的准线方程为__________.
3.已知球的半径为1，则该球的体积等于__________.
4.在数列中，，且，则__________.
5.过点作圆的切线，则切线方程为__________.
6.直线被圆所截得的弦长等于，则__________.
7.已知数列的前项和，则__________.
8.无穷等比数列满足，则首项的取值范围是__________.
9.数列满足：，则__________.
10.已知抛物线与椭圆有公共焦点，椭圆的另一个焦点为是这两曲线的一个交点，则的面积为__________.
11.已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为__________.
12.在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度，其中小雨､中雨､大雨､暴雨，勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？__________.
二､选择题（每小题3分，共12分）
13.给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直干平面上无数条直线”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
14.用数学归纳法证明时，在证明等式成立时，此时等式的左边是（ ）
A.1 B. C. D.
15.已知等差数列的前项和，若当首项和公差变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（ ）
A. B. C. D.
16.数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横､纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A.① B.② C.①② D.①②③
三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题须写出必要的步骤.
17.（本题满分8分，第1小题3分，第2小题5分）
如图，在棱长为2的正方体中，点是棱上的动点.
（1）求证：；
（2）若点是棱的中点，求二面角的大小.
18.（本大题共8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知双曲线为双曲线上的任意点.
（1）求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；
（2）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
19.（本大题共10分，第1小题4分，第2小题6分）
某地区2002年底沙漠面积为（注：是面积单位，表示公顷），地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从2003年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：
请根据上表所给的信息进行估计.
（1）如果不采取任何措施，到2025年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少.
（2）如果从2008年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于
20.（本大题共12分，第1小题6分，第2小题6分）
设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求满足不等式的最小正整数的值.
21.（本大题共14分，第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分）
已知椭圆的离心率为，棚圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.
已知直线与椭圆交于两点，且与轴，轴交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的值；
（3）若点的坐标为，求证：为定值.
新川中学2023学年高二上期末
一､填空题（每小题3分，共36分）
1.【解析】平行或异面
2.【解析】
3.【解析】，套公式即可.
4.在数列中，，且，则
【解析】15，将同时除以2，得出，可以看出数列为等差数列，且公差，则.
5.【解析】或，①判断点在圆上还是在圆外，确定切线的条数：利用两点间距离公式求出点到圆心的距离为，大于半径2，故点在圆外，切线应有两条；②设点斜式：，圆心到直线的距离为，化简得到，故；另一条应为不存在的情况，即.
实际上这个点及圆都比较特殊，画个图基本上可以直接看出两条切线方程.
6.【解析】，正常是套弦长公式，不过这道题也很简单，经验丰富点的学生可以直接看出来，依据是.
7.【解析】448，式子是
8.【解析】，依题意：，而，则
9.【解析】，简单点做就是直接找规律，依次代入的值，看看它们符合什么规律：
.至此可以发现周期为3.
（也可通过得出余数为2），
基础好点的学生可以试着推理一下，为什么该数列的周期为3，推理过程如下展示：
将换成，得，再将代入，得
再将换成，得，继续将代入，得
，需要两次代入，有点复杂，不过推理一边，无论是对自己的计算，还是对题目的理解都是很有帮助的.
10.【解析】，因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得；
椭圆方程为，联立椭圆与抛物线：
得，解得或（舍去）
所以，即点，又因为，所以.
11.【解析】设的内切圆半径为，由双曲线的定义得
由题意得，
故，
双曲线的，代入上式得：
12.【解析】200
由题意，一个半径为的圆面内
的降雨充满一个底面半径为
，高为的圆锥，
积水厚度这天降雨属于中雨.
故答案为：中雨.
二､选择题（每小题3分，共12分）
13.【解析】A，前能推后，后不能推前（有可能这无数条直线彼此平行），故选A.
14.【解析】D，左边都是从1开始，故只需要看最后一项，把代入，发现选D
15.【解析】C，考了两个公式：①是下标和相等，则等差数列值相等（前提是数列项的个数相同），则；可知
②是，可知，故选C
16.【解析】B，本题定性分析解题速度快
①代入特殊点发现不止4个整点，应为6个，分别为；
②可通过平均值不等式得出：因为轴两边对称，只需要看的情况，此时，而，故，即；
③可画个小正方形，发现面积应大于3
三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题须写出必要的步骤.
17.【解析】（1）证明略；（2），
注意：要写：由图可知，该二面角为钝二面角
18.【解析】（1）双曲线的渐近线方程为和，
夹角用的公式或的公式均可
夹角为
夹角为
（2）设是双曲线上任意一点，该点到两条渐近线的距离分别是和
为双曲线上的点，点的坐标需要符合双曲线的方程，即：，
它们的乘积是
点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.
提示：感兴趣的同学可以猜测对一般式的双曲线，上面任意一点到两渐近线的距离乘积是否也为一个常数？
如何用表示？
19.【解析】（1）；（2）2026年底.
（1）增加的沙漠面积：，总沙漠面积：；
（2）以2008年底为首项，此时总沙漠面积近似等于
，解得，故最小取19，
2008年对应的为1，19需要再加18年，，
即到2026年底，这个地区的沙漠面积将首次小于.
20.【解析】（1）当时，由得，所以.
再由得，则.
所以当时，，整理得.
因为，所以是首项1，公比为的等比数列，所以.
（2）因为，所以，
故当时，
当时也满足，所以数列的通项公式为
所以不等式可化为
化简得，故，解得.
所以满足不等式的最小正整数的值为5.
21.【解析】（1）代入得
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即
以上各式联立解得，则椭圆方程为
（2）直线与轴交点为，与轴交点为
联立，消去得：
设，则，
又，
由得，解得，由得.
（3）证明：由（2）知，
.
为定值.观测年份
该地区沙漠面积比原有（2002年底）面积增加数
2003
2000
2004
4000
2005
6001
2006
7999
2007
10001