湖南省长沙市2024年九年级下学期数学假期开学考试测试卷含答案

这是一份湖南省长沙市2024年九年级下学期数学假期开学考试测试卷含答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在下列各数中，有理数是（ ）
A．-5B．C．D．π
2．下列计算正确的是（ ）
A．5a2-3a2＝2B．（-2a2）3＝-6a6
C．a3÷a＝a2D．（a+b）2＝a2+b2
3．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）
A．B．
C．D．
4．中新社北京1月27日电中国国家卫生健康委员会副主任曾益新27日在北京称，截至1月26日，中国已完成2276.7万剂次新冠疫苗接种．这里数据2276.7万可以用科学记数法表示为（ ）
A．0.22767×107B．2.2767×105
C．2.2767×107D．2.2767×106
5．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（ ）
A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸
6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为（ ）
A．B．C．D．9
7．下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ）
A．B．
C．D．
8．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
9．不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．中国总理李克强2020年6月1日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”，长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售，该小商品的利润率（ ）
A．40%B．20%C．60%D．30%
11．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①BE+DF＝EF；②AF平分∠DFE；③AM•AE＝AN•AF；④AB2＝BN•DM．其中正确的结论是（ ）
A．②③④B．①④C．①②③D．①②③④
二、填空题（共12分）
13．分解因式：4a2b-b＝ ．
14．若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
15．一元二次方程x2-2x-k＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
16．如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
三、解答题（共72分）
17．计算：（ ）﹣1﹣2cs30°+ +（3﹣π）0
18．先化简，再求值：，其中a＝．
19．某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率．
20．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
21．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
22．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．
（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？
（2）若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？
（3）若该体育用品店销售每只甲种乒乓球可获利润3元，销售每只乙种乒乓球可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE•DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．
24．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．
（1）已知M（p，2p）在反比例函数y＝的图象上，且[M]＝3，求反比例函数的解析式；
（2）已知点A是直线y＝x+2上的点，且[A]＝4，求点A的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2-4a+2020，求t的取值范围．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a＜0）与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标：
（3）连接AC，抛物线上是否存在点Q，使得∠BAQ＝2∠OCA？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
1．A
2．C
3．C
4．C
5．B
6．A
7．C
8．C
9．C
10．B
11．C
12．D
13．b（2a+1）（2a-1）
14．30π
15．-1
16．
17．解：原式=2﹣2× + +1
=2﹣ + +1
=3．
18．解：原式＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝2（+1）＝2+2．
19．（1）解：40
频数分布直方图补充如下：
（2）解：C组对应的圆心角度数是：360°×＝108°，
E组人数占参赛选手的百分比是：×100%＝15%；
（3）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是两名女生的有4种结果，
∴抽取的两人恰好是两名女生的概率为＝．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE=∠CBE=45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵∠AEC＝140°，
∴∠CEB＝70°，
∵∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠DEC＝180°-∠CEB＝110°，
∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEC-∠ADB＝110°-45°＝65°．
21．（1）解：过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，
∴四边形DEGF是矩形，
∴FG＝DE，
在Rt△CDE中，
DE＝CE•tan∠DCE＝6×tan30 ＝2 （米），
∴点F到地面的距离为2 米；
（2）解：∵斜坡CF的坡度为 i＝1：1.5．
∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3（米），
∴FD＝EG＝（3+6）（米）．
在Rt△BCE中，
BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60 ＝6（米），
∴AB＝AD+DE-BE＝3+6+2-6＝6-≈4.3 （米）．
答：宣传牌的高度约为4.3米．
22．（1）解：设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．
（2）解：设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进＝（200-2m）个甲种乒乓球，
依题意，得：，
解得：23≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以取23，24，25，
∴该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球．
（3）解：方案1获得的利润为3×154+4×23＝554（元），
方案2获得的利润为3×152+4×24＝552（元），
方案3获得的利润为3×150+4×25＝550（元）．
∵554＞552＞550，
∴方案1购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球获利最大，最大利润是554元．
23．（1）证明：∵点D是弧BC的中点，
∴
∴∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BOD＝2∠BAD，
∴∠CAB＝∠BOD，
∴DO∥AC；
（2）证明：∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
又∠CDE=∠ADC，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE•DA；
（3）解：∵tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，
∴∠DBC＝∠CAD，
在Rt△BDE中，tan∠DBE＝
设DE＝a，则CD＝2a，
而CD2＝DE•DA，则AD＝4a，
∴AE＝3a，
∴＝3，
而△AEC∽△DEF，
即△AEC和△DEF的相似比为3，
设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，
tan∠CAD＝，
∴AC＝6k，AB＝10k，
∴sin∠CDA＝．
24．（1）解：由题意|p|+|2p|＝3，
∴p＝±1，
∴M（1，2）或（-1，-2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：设点A（m，m+2）
由题意可得：|m|+|m+2|＝4，
当m≤-2时，-m-m-2＝4，
∴m＝-3，
∴点A（-3，-1）；
当-2＜m＜0时，-m+m+2＝4，
∴方程无解；
当m≥0时，m+m+2＝4，
∴m＝1，
∴点A坐标（1，3）；
（3）解：由题意方程组只有一组实数解，
消去y得ax2+（b-1）x+1＝0，
由题意Δ＝0，
∴（b-1）2-4a＝0，
∴4a＝（b-1）2，
∴原方程可以化为（b-1）2x2+4（b-1）x+4＝0，
∴x1＝x2＝，
∴C（，），
∵2≤[C]≤4，
∴1≤≤2或-2≤≤-1，
解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，
∵点C在第一象限，
∴-1≤b≤0，
∵t＝2b2-4a+2020，
∴t＝2b2-4a+2020＝2b2-（b-1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，
∵-1≤b≤0
∴2018≤t≤2019．
25．（1）解：∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（-2，0）、B（4，0）两点，
∴可以假设y＝a（x+2）（x-4）（a≠0），
将点C（0，4）代入抛物线的解析式得到a＝-，
∴该抛物线的解析式为y＝-（x+2）（x-4）或y＝-x2+x+4或y＝-（x-1）2+；
（2）解：如图，由题意知，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∴CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝＝，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝-x+4，
设P（n，-n2+n+4），则F（n，-n+4），
∴PF＝-n2+n+4-（-n+4）＝-（n-2）2+2，
∴m＝＝-（n-2）2+，
∵-＜0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；
（3）解：①当点Q在x轴上方时，如图，作∠BAQ的角平分线角抛物线于N，作NG⊥AQ于G，NH⊥AB于H，连接GH交AN于S，作GK⊥AB于K，
∴∠NAG＝∠NAH＝∠BAQ，NG＝NH，AG＝AH，
∵∠BAQ＝2∠OCA，
∴∠NAG＝∠NAH＝∠OCA，
∵∠AOC＝∠NHA＝90°，
∴△AOC∽△NHA，
∴，
∴AH＝2NH，
设N（t，-t2+t+4），
∴t+2＝2（-t2+t+4），解得t＝3或-2（舍去），
∴N（3，），
∴NG＝NH＝，AG＝AH＝5，
∴AN⊥GH，GS＝HS＝，
∴∠AHS＝∠CAO，HG＝2，
∵∠AOC＝∠ASH＝90°，
∴△AOC∽△HKG，
∴， 即
∴KH＝2，
∴GK＝＝4，OK＝3-2＝1，
∴G（1，4），
∵A（-2，0），
∴直线AG的解析式为y＝x+，
联立抛物线的解析式为y＝-x2+x+4解得x＝或-2（舍去），
∴y＝×+＝，
∴点Q坐标为（，）；
②当点Q在x轴下方时，如图，
同理得G（，-），
∵A（-2，0），
∴直线AG的解析式为y＝-x-，
联立抛物线的解析式为y＝-x2+x+4解得x＝或-2（舍去），
∴y＝-×-＝-，
∴点Q坐标为（，-）．
综上，存在这样的点Q，满足条件的点Q坐标为（，）或（，-）．