2023-2024学年河南省开封市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省开封市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列长度的各组线段中，可以组成三角形的是( )
A. 3，4，8B. 5，6，10C. 5，6，11D. 4，7，12
3.式子15x，2π，2x2+4，x2−23，1x，x+1x+2中，属于分式的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10−9m.把lnm3的物体放在乒乓球上，就如同把乒乓球放在地球上.1nm3等于( )
A. 1×10−27m3B. 1×10−18m3C. 1×10−12m3D. 1×10−9m3
5.下列计算正确的是( )
A. b3⋅b3=2b3B. (a5)2=a10
C. (x+2)(x−2)=x2−2D. (a+b)2=a2+b2
6.如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ACD的周长为12，AB=5，则△ABC的周长为( )
A. 7
B. 12
C. 17
D. 20
7.使分式x2−4x−2的值等于0的x的值是( )
A. 2B. −2C. ±2D. ±4
8.2023年7月28日，世界大学生运动会在成都举行，在设计比赛场地时，融合了许多几何元素，其中有一个等腰三角形的模型，它的顶角为120°，腰长为18cm，则底边上的高为( )
A. 4mB. 9mC. 10mD. 18m
9.综合实践活动小组为测量池塘两端A，B的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案：
小华：如图①，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使DC=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长即为A，B的距离．
小欣：如图②，先过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC=CD，再过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则量出DE的长即为A，B的距离．
小彤：如图③，过点B作AB的垂线BE，在BE上取一点D，连接AD，然后在AB的延长线上取一点C，连接CD，使∠BDC=∠BDA.这时只要量出BC的长即为A，B的距离．
以上三位同学设计的方案中可行的是( )
A. 小华和小欣B. 小欣和小彤
C. 小华和小彤D. 三个人的方案都可以
10.小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形OABC，小球P从(0,3)出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1(3,0)，当小球P第2024次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点P2024的坐标是( )
A. (1,4)B. (7,4)C. (0,3)D. (3,0)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是______．
12.一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是____．
13.如图，巡逻艇C在游轮A北偏东58°的方向上，巡逻艇C在游轮B北偏东13°的方向上，游轮B位于游轮A的正东方向，则∠ACB的度数为______°.
14.长宽分别为a、b的长方形，其周长为24，面积为32，则a2b+ab2的值为______．
15.如图，在△ABC中，BC=BA=36，∠C=15°，AD平分∠BAC，点E、F分别是射线AD和线段AC上的动点，连接CE、EF，则CE+EF的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
(1)计算：(3.14−π)0−(−1)2014+9×3−2；
(2)计算：a2a−1−a−1；
(3)解方程：x−3x−2+1=32−x．
17.(本小题5分)
先化简，再求值：x2−1x2−2x+1÷x+1x−1+x1−x，并在−1，0，1中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
18.(本小题5分)
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放正，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，请说明它的道理．
19.(本小题6分)
格点△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,−2)，C(4,3)．
(1)请在图中画出适当的平面直角坐标系；
(2)请画出△ABC关于纵轴对称的△A1B1C1；
(3)在横轴上找一点P，使PA+PC最短，并在图中标出点P的位置．
20.(本小题6分)
学习过等边三角形，小丽用折纸的方法裁出一个等边三角形.如图，先将正方形纸片对折后展开，折痕为MN.点E在线段BN上，连接AE，将AB沿AE折叠，点B落在MN上的点H处，连接AH，DH，沿AH和DH裁剪得到△DHA，则△DHA即为等边三角形，请给予证明．
21.(本小题7分)
如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，如果∠C=90°，∠B=30°，小明利用直尺(无刻度)和圆规进行了如下操作，请你帮小明完成下面的尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)．
(1)作∠BAC的平分线AD，交BC与点D．
(2)作______的垂直平分线EF(选择正确选项并完成作图)．
A.线段AB
B.线段BC
C.线段AC
(3)根据以上信息请判断：
点D在直线EF上吗？______(填“在”或“不在”)；
理由：______．
22.(本小题8分)
中国某外贸企业从国外某地区进口了A，B两种材料.已知B种材料比A种材料每吨多2万元，用900万元购进A种材料吨数是用800万元购进B种材料吨数的1.5倍．
(1)求A，B两种材料每吨各多少万元．
(2)由于市场的需要，该企业再次用1550万元购进A，B两种材料共240吨，A种材料的单价较上次上涨了10%，B种材料的单价较上次下降了20%，求该企业最多能购买A种材料的数量．
23.(本小题9分)
问题初探
(1)在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：
如图①，在△ABC中，高BD，CE交于点F，且BD=CD，试说明FC，AB有怎样的数量关系．
小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证△ABD≌△FCD，从而得出FC=AB．
小明证明△ABD≌△FCD的依据可能是______(填序号)．
①SSS
②ASA
③HL
④SAS
引导发现
(2)老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：
如图②，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．
①填空：∠ABE= ______°；
②判断线段BE与CD的数量关系，并写出证明过程．
拓展延伸
(3)△ABC中，AB=AC，∠A=90°，如图③，点D在线段BC上，BE⊥ED于点E，DE交AB于点F，且∠ABE=∠EDB，请直接写出BE和FD的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A、B、C的图形能找到一条(或多条)直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：A.∵3+4<8，∴3，4，8不能组成三角形，不符合题意；
B.∵5+6>10，∴5，6，10能组成三角形，正确，符合题意；
C.∵5+6=11，∴5，6，11不能组成三角形，不符合题意；
D.∵7+4<12，∴4，7，12不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解答即可．
本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：式子2x2+4，1x，x+1x+2的分母中含有字母，属于分式，共有3个．
故选：C．
根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式判断即可．
本题考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
4.【答案】A
【解析】解：∵1nm=10−9m，
∴1nm3=10−27m3，
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则和用科学记数法表示的一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n是本题的关键，注意单位之间的换算．
5.【答案】B
【解析】解：b3⋅b3=b6，故选项A错误，不符合题意；
(a5)2=a10，故选项B正确，符合题意；
(x+2)(x−2)=x2−4，故选项C错误，不符合题意；
(a+b)2=a2+2ab+b2，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的乘法可以判断A；根据幂的乘方可以判断B；根据平方差公式可以判断C；根据完全平方公式可以判断D．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由尺规作图可知MN是线段AB的垂直平分线，则AD=BD．
∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+CB=12，
∵AB=5，
∴△ABC的周长=AC+CB+AB=17．
故选：C．
由尺规作图知MN是线段AB的垂直平分线，则AD=BD，根据△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CB=12，进而可得答案．
本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及线段的垂直平分线的性质．
7.【答案】B
【解析】解：由分式的值为零的条件得x2−4=0，x−2≠0，
由x2−4=0，得x=2或x=−2，
由x−2≠0，得x≠2，
所以x=−2，
故选：B．
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
8.【答案】B
【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=30°，
∵AD⊥BC，
∴AD=12AB=12×18=9(m)，
故选：B．
过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠B=∠C=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：小华同学的方案：
在△ABC和△DEC中，
CA=CD∠ACB=∠DCEBC=EC，
∴△ABC≌△DEC(SAS)，
∴AB=CD，
∴小华同学的方案可行；
小欣同学的方案：
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDC=90°BC=DC∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)
∴AB=DE，
∴小欣同学的方案可行；
小彤同学的方案：
在△ABD和△CBD中，
∠ABD=∠CBD=90°BD=BD∠BDA=∠BDC，
∴△ABD≌△CBD(ASA)
∴AB=BC，
∴小彤同学的方案可行．
故选：D．
小华同学利用的是“边角边”，小欣和小彤同学的方案利用的是“角边角”．
本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”和“ASA”定理是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：因为点P1的坐标为(3,0)，
根据点P的运动方式，结合反射角等于入射角可知，
点P2的坐标为(7,4)，
点P3的坐标为(8,3)，
点P4的坐标为(5,0)，
点P5的坐标为(1,4)，
点P6的坐标为(0,3)，
点P7的坐标为(3,0)，
…，
由此可见，点P每反弹6次，点的坐标循环出现，
由因为2024÷6=337余2，
所以点P2024的坐标为(7,4)．
故选：B．
依次求出点Pi(i为正整数)的坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据点P的运动方式得出点P每反弹6次，点的坐标循环出现是解题的关键．
11.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性解答即可．
此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容．
12.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】
解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6．
答：这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13.【答案】45
【解析】解：由题意可知，∠BAC=90°−58°=32°，∠ABC=90°+13°=103°，
∴∠ACB=180°−32°−103°=45°．
故答案为：45．
根据方向角的定义以及三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查方向角，理解方向角的定义，掌握三角形内角和是180°是解决问题的关键．
14.【答案】384
【解析】解：∵长宽分别为a、b的长方形，其周长为24，面积为32，
∴a+b=12，ab=32，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=32×12
=384．
故答案为：384．
根据题意得出a+b=12，ab=32，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可．
此题主要考查了因式分解−提公因式法，正确将原式变形是解题关键．
15.【答案】18
【解析】解：作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，连接CM交射线AD于E，
∵AD平分∠BAC，
∴M必在AB上，
∵F关于AD的对称点为M，
∴ME=EF，
∴EF+EC=EM+EC，
即EM+EC=MC≥PC(垂线段最短)，
∵BC=BA=36，∠C=15°，
∴∠BAC=∠BCA=15°，
∴∠PBC=∠BAC+∠BCA=30°，
∴PC=12BC=18，
即CE+EF的最小值为18
故答案为：18．
根据题意画出符合条件的图形，作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，求出EM+EC=MC，根据垂线段最短得出EM+EC=MC≥PC，求出PC即可得出CE+EF的最小值．
本题考查了平面展开−最短路线问题，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
16.【答案】解：(1)(3.14−π)0−(−1)2014+9×3−2
=1−1+9×19
=1−1+1
=1；
(2)a2a−1−a−1
=a2a−1−(a+1)
=a2a−1−(a+1)(a−1)a−1
=a2−(a2−1)a−1
=1a−1；
(3)x−3x−2+1=32−x，
方程两边都乘x−2，得x−3+x−2=−3，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x−2≠0，
所以分式方程的解是x=1．
【解析】(1)先根据零指数幂，有理数的乘方和负指数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
(2)先根据分式的基本性质通分，再根据分式的减法法则进行计算即可；
(3)方程两边都乘x−2得出x−3+x−2=−3，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，分式的加减和解分式方程，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能正确根据分式的加减法法则进行计算是解(2)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(3)的关键．
17.【答案】解：x2−1x2−2x+1÷x+1x−1+x1−x
=(x+1)(x−1)(x−1)2⋅x−1x+1+x1−x
=1+x1−x
=1−x+x1−x
=11−x，
要使分式有意义，必须x−1≠0且x+1≠0，
解得：x不能为1和−1，
取x=0，
所以原式=11−0=1．
【解析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件求出x不能为1和−1，取x=0，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】解：△ABC与△ADC中，
∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC．
即AE平分∠BAD．
不论∠DAB的大小，始终有AE平分∠BAD．
【解析】本题考查了全等三角形的应用，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
AC为公共边，其中AB=AD，BC=DC，利用SSS判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质解题．
19.【答案】解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．
(2)如图，△A1B1C1即为所求．
(3)如图，取点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，交x轴于点P，连接AP，
此时PA+PC=PA′+PC=A′C，为最小值，
则点P即为所求．

【解析】(1)根据各点的坐标建立平面直角坐标系即可．
(2)根据轴对称的性质作图即可．
(3)取点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，交x轴于点P，则点P即为所求．
本题考查作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
由折叠的性质得：AH=AB，
∵MN是正方形的对称轴，
∴MN垂直平分AD，
∴DH=AH，
∴DH=AH=AD，
∴△DHA是等边三角形．
【解析】由正方形的性质得到AD=AB，由折叠的性质得：AH=AB，由线段垂直平分线的性质得到DH=AH，于是得到DH=AH=AD，即可证明△DHA等边三角形．
本题考查折叠的性质，关键是由折叠的性质得到AH=AB，由线段垂直平分线的性质推出DH=AH．
21.【答案】A 在 ∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=30°=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分线上．
【解析】解：(1)作∠BAC的平分线AD，交BC于点D，如图：
(2)作线段AB的垂直平分线EF，如上图；
故答案为：A；
(3)点D在直线EF上，
理由：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=30°=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分线上．
故答案为：在；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=30°=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分线上．
(1)作∠BAC的平分线AD，交BC于点D即可；
(2)作线段AB的垂直平分线EF；
(3)由∠C=90°，∠B=30°，得∠BAC=60°，而AD平分∠BAC，可得∠DAB=30°=∠B，故AD=BD，从而D在AB的垂直平分线上．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线，线段垂直平分线的尺规作图方法．
22.【答案】解：(1)设A种材料每吨x万元，则B种材料每吨(x+2)万元，
由题意得：900x=800x+2×1.5，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，
∴x+2=6+2=8，
答：A种材料每吨各6万元，B种材料每吨8万元；
(2)设该企业能购买A种材料m吨，则购买B种材料(240−m)吨，
由题意得：6×(1+10%)m+8×(1−20%)(240−m)≤1550，
解得：m≤70，
答：该企业最多能购买A种材料70吨．
【解析】(1)设A种材料每吨x万元，则B种材料每吨(x+2)万元，根据用900万元购进A种材料吨数是用800万元购进B种材料吨数的1.5倍．列出分式方程，解方程即可；
(2)设该企业能购买A种材料m吨，则购买B种材料(240−m)吨，根据该企业再次用1550万元购进A，B两种材料共240吨，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】② 22.5
【解析】(1)证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠BDC=∠AEC=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD和△FCD中，
∠ADB=∠FDCBD=CD∠ABD=∠FCD，
∴△ABD≌△FCD(ASA)，
∴AB=CF，
故答案为：②；
(2)①延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE=22.5°，
∵∠DAC=∠CEF=∠BAF=90°，
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，
∴∠ACD=∠ABE，
∴∠ABE=22.5°，
故答案为：22.5；
②CD=2BE，理由如下：
在△CEF和△CEB中，
∠FCE=∠BCECE=CE∠CEF=∠CEB=90°，
∴△CEF≌△CEB(ASA)，
∴FE=BE=12BF，
∵∠DAC=∠CEF=∠BAF=90°，
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，
∴∠ACD=∠ABF，
在△ACD和△ABF中，
∠ACD=∠ABFAC=AB∠CAD=∠BAF=90°，
∴△ACD≌△ABF(ASA)，
∴CD=BF，
∴CD=2BE．
(3)结论：BE=12DF.理由如下：
过点D作DG/​/AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，
∵DG/​/AC，
∴∠GDB=∠C，∠BHD=∠A=90°，
∵∠ABE=∠EDG，∠ABE=∠EDB
∴∠EDB=∠EDG=12∠C，
∵BE⊥ED，
∴∠BED=90°，
∴∠BED=∠BHD，
∵∠EFB=∠HFD，
∴∠EBF=∠HDF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∵DG/​/AC，
∴∠GDB=∠C=45°，
∴∠GDB=∠ABC=45°，
∴BH=DH，
在△BGH和△DFH中，
∠HBG=∠HDFBH=DH∠BHG=∠DHF=90°，
∴△BGH≌△DFH(ASA)，
∴BG=DF，
在△BDE和△GDE中，
∠BDE=∠GDEDE=DE∠BED=∠GED=90°，
∴△BDE≌△GE(ASA)，
∴BE=EG，
∴BE=12BG=12DF．
(1)根据ASA可证明△ABD≌△FCD，则可得出答案；
(2)延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB，推出FE=BE，再证明△ACD≌△ABF(ASA)，可得结论；
(3)过点D作DG/​/AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，过点D作DG/​/AC，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，证明方法类似．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．