2023-2024学年河南省三门峡市灵宝市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省三门峡市灵宝市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式x2−x有意义，则x的取值范围是( )
A. x>2B. x≠0C. x≠0且x≠2D. x≠2
3.下列分式是最简分式的是( )
A. 1−xx−1B. x−1x2−1C. 2xx2+1D. 42x
4.下列计算正确的是( )
A. x3⋅x2⋅x=x5B. (x2)3=x5C. (−2xy)2=4x2y2D. x2+x3=x5
5.如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得OA=10米，OB=6米，A、B间的距离可能是( )
A. 4米
B. 12米
C. 16米
D. 22米
6.若分式x+2y3x−2y中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的9倍B. 扩大为原来的3倍C. 不变D. 缩小到原来的13
7.下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. x2+4xy−x=x(x+4y)B. x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3x
C. x2−6x+5=(x−1)(x−5)D. (x+2)(x−2)=x2−4
8.如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE=30°，EC=2米，则EF的长度为( )
A. 2米
B. 3米
C. 4米
D. 5米
9.已知△ABC(ACA. B.
C. D.
10.在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是( )
A. 50x−50(1+30%)x=2B. 50x−5030%x=2
C. 5030%x−2=50xD. 50(1+30%)x−50x=2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角坐标系xOy中，点P(1,2)关于y轴的对称点Q的坐标是______．
12.分式34a2b与1ab2c的最简公分母是______．
13.计算：10.22−10.2×2.4+1.44= ______．
14.已知关于x的方程3x−mx−2=1无解，则m=______．
15.如图，△ABC中，AB=AC=13，面积65，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)(−2ab)2⋅(3ab2−5a2b)÷(−ab)3；
(2)(x+2)(x−2)+(2−x)2．
17.(本小题8分)
分解因式：
(1)9(m+n)2−(m−n)2；
(2)−2a3+12a2−18a．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：a2−2a+1a2−1÷(a−2aa+1)，再从0，1，2中选择一个合适的a值代入求值．
19.(本小题10分)
解下列分式方程：
(1)1x+2=13x；
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点A的坐标为(−2,3)，点B的坐标为(−3,1)，点C的坐标为(1,−2)．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；(其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)．
(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标．
21.(本小题10分)
在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．
22.(本小题10分)
如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1=46°，求∠BDE的度数．
23.(本小题11分)
(1)问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为______；
②线段AE、BD之间的数量关系为______；
(2)拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】根据分式有意义的条件即可得出答案．
解：∵2−x≠0，
∴x≠2，
故选：D．
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0．
3.【答案】C
【解析】本题考查分式基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．根据分式的基本性质即可求出答案．
解：A.原式=−x−1x−1=−1，故A不合题意；
B.原式=x−1(x+1)(x−1)=1x+1，故B不合题意；
D.原式=2x，故D不合题意；
只有C不能继续化简．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：∵x3⋅x2⋅x=x3+2+1=x6，
∴A选项的结论不符合题意；
∵(x2)3=x2×3=x6，
∴B选项的结论不符合题意；
∵(−2xy)2=4x2y2，
∴C选项的结论符合题意；
∵x2，x3不是同类项，不能合并，
∴D选项的结论不符合题意，
故选：C．
利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则和合并同类项的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则和合并同类项的法则，正确利用上述法则进行解答是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：连接AB，
∵OA=10米，OB=6米，
∴10米−6米故选：B．
根据三角形的三边关系求出AB的范围，判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：分式的x，y都扩大原来的3倍变为：3x+2×3y3×3x−2×3y=3(x+2y)3(3x−2y)=x+2y3x−2y，
即x，y都扩大原来的3倍后分式的值不变，
故选：C．
根据题意先将x，y都扩大原来的3倍，再与原来的分式进行比较即可．
本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、x2+4xy−x=x(x+4y−1)，原变形错误，不符合题意；
B、不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、不是因式分解，不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的定义解答即可．
本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：过E作EH⊥AO于H，
∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，
∴EH=EC=2米，
∵∠AFE=30°，EC=2，
∴EF=2EH=4米．
故选：C．
过E作EH⊥AO于H，由角平分线的性质得到EH=EC=2米，由含30度角的直角三角形的性质得到EF=2EH=4米．
本题考查角平分线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由角平分线的性质得到EH=EC=2，由含30度角的直角三角形的性质得到EF=2EH．
9.【答案】D
【解析】本题考查了尺规作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
利用等线段代换得到PA=PB，利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
解：A、由图可知BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
B、由图可知PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
C、由图可知CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
D、由图可知BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确．
故选：D．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
50x−50(1+30%)x=2，
故选：A．
根据原计划的天数−实际的天数=提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
11.【答案】(−1,2)
【解析】解：点P(1,2)关于y轴的对称点Q的坐标是：(−1,2)．
故答案为：(−1,2)．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12.【答案】4a2b2c
【解析】解：分式34a2b与1ab2c的最简公分母是4a2b2c.
故答案为：4a2b2c.
根据确定最简公分母的方法：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可．
本题考查了最简公分母的知识，属于基础题，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
13.【答案】81
【解析】解：10.22−10.2×2.4+1.44
=(10.2−1.2)2
=92
=81．
故答案为：81．
利用完全平方公式进行计算即可．
本题考查的是有理数的混合运算，熟记完全平方公式是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义以及解法是解决本题的关键．
根据分式方程的解的定义解决此题．
解：3x−mx−2=1，
解得：x=−1+m2．
∵关于x的方程3x−mx−2=1无解，即x−2=0，
∴−1+m2=2．
∴m=6．
故答案为：6．
15.【答案】10
【解析】解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB于H，
∵S△ABC=12×AB×CH=65，
∴CH=2×6513=10，
∵AB=AC=13，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴BE=EC，
∴BE+EF=CE+EF，
∴当点E，点C，点F三点共线，且CF⊥AB时，BE+EF有最小值，
即点E，点F都在线段CH上，
∴BE+EF的最小值为10，
故答案为：10．
过点C作CH⊥AB于H，由三角形的面积可求CH=10，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD=CD，可得BE=EC，则当点E，点C，点F三点共线，且CF⊥AB时，BE+EF有最小值，即可求解．
本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16.【答案】解：(1)(−2ab)2⋅(3ab2−5a2b)÷(−ab)3
=4a2b2⋅(3ab2−5a2b)−a3b3
=4(3ab2−5a2b)−ab
=(12ab2−20a2b)÷(−ab)
=20a−12b．
(2)(x+2)(x−2)+(2−x)2
=x2−4+4−4x+x2
=2x2−4x．
【解析】(1)先将整式中的单项式进行约分，再按多项式除以单项式的计算方法进行解答．
(2)先用平方差公式和完全平方公式进行运算，再合并同类项即可．
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是运用公式法和整式的运算法则来计算．
17.【答案】解：(1)9(m+n)2−(m−n)2
=[3(m+n)+(m−n)][3(m+n)−(m−n)]
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)；
(2)−2a3+12a2−18a
=−2a(a2−6a+9)
=−2a(a−3)2．
【解析】(1)先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：a2−2a+1a2−1÷(a−2aa+1)
=(a−1)2(a−1)(a+1)÷a(a−1)a+1
=(a−1)2(a−1)(a+1)⋅a+1a(a−1)
=1a，
∵a2−1≠0，a(a−1)≠0，
∴a≠1或a≠−1或a≠0，
∴当a=2时，
原式=12．
【解析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再根据分式的分母不能为0，从而确定适合的值代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】解：(1)1x+2=13x，
方程两边都乘3x(x+2)，得3x=x+2，
3x−x=2，
2x=2，
x=1，
检验：当x=1时，3x(x+2)≠0，
所以分式方程的解是x=1；
(2)x+1x−1−4x2−1=1，
方程两边都乘(x+1)(x−1)，得(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，
x2+2x+1−4=x2−1，
x2+2x−x2=−1−1+4，
2x=2，
x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
所以x=1是增根，
即分式方程无解．
【解析】(1)方程两边都乘3x(x+2)得出3x=x+2，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边都乘(x+1)(x−1)得出(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；

(2)A′(2,3)，B′(3,1)，C′(−1,−2)．
【解析】(1)分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
(2)根据所作图形可得各顶点坐标．
本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
21.【答案】解：设乙骑行的速度是x千米/时，则甲骑行的速度是1.2x千米/时．
根据题意得：30x−301.2x=2060，
解得：x=15，
经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×15=18．
答：甲骑行的速度是18千米/时．
【解析】设乙骑行的速度是x千米/时，则甲骑行的速度是1.2x千米/时．利用时间=路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙骑行的速度，再将其代入1.2x中，即可求出甲骑行的速度．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED(ASA)．
(2)∵△AEC≌△BED
∴DE=CE
∴∠EDC=∠C
∵∠1=46°
∴∠EDC=∠C=67°
∵△AEC≌△BED
∴∠BDE=∠C=67°
【解析】(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
(2)由(1)可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数；
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
23.【答案】解：(1)①120°；②AE=DB
(2)CM+AE=BM，理由如下：
∵△DCE是等腰直角三角形，
∠CDE=45°，
∴∠CDB=135°，
在△ECA和△DCB中，
CE=CD∠ECA=∠DCBCA=CB，
∴△ECA≌△DCB(SAS)，
∴∠CEA=∠CDB=135°，AE=BD，
∵∠CEB=45°，
∴∠AEB=∠CEA−∠CEB=90°，
∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM=EM=MD，
∴CM+AE=BM；
(3)∠EAB+∠ECB=180°．
【解析】【分析】
(1)①由“SAS”可证△ECA≌△DCB，根据全等三角形的性质求出∠AEC的度数；
②根据全等三角形的性质解答即可；
(2)根据△ECA≌△DCB得到∠AEB=∠CEA−∠CEB=90°，根据直角三角形的性质得到CM=EM=MD，得到线段CM、AE、BM之间的数量关系；
(3)根据△ECA≌△DCB解答即可．
【解答】
解：(1)①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD，即∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
CE=CD∠ECA=∠DCBCA=CB，
∴△ECA≌△DCB(SAS)，
∴∠AEC=∠BDC=120°，
故答案为：120°；
②∵△ECA≌△DCB，
∴AE=BD，
故答案为：AE=BD；
(2)见答案；
(3)∵△DCE是等腰三角形，∠DCE=36°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CDB=108°，
∵△ECA≌△DCB，
∴∠CEA=∠CDB=108°，
∴∠EAC+∠ECA=72°，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=36°，
∴∠CAB=72°，
∴∠EAB+∠ECB=∠EAC+CAB+∠ECA+∠ACB=72°+72°+36°=180°．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．