2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题二　培优点5　极化恒等式、奔驰定理与等和线定理3

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考点一 向量极化恒等式
极化恒等式：a·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2.
变式：(1)a·b＝eq \f(a＋b2,4)－eq \f(a－b2,4)，
a·b＝eq \f(|a＋b|2,4)－eq \f(|a－b|2,4).
(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则Aeq \(B,\s\up6(→))·Aeq \(C,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(CB,\s\up6(→))2＝Aeq \(M,\s\up6(→))2－Meq \(B,\s\up6(→))2.
例1 (1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．Beq \(A,\s\up6(→))·Ceq \(A,\s\up6(→))＝4，Beq \(F,\s\up6(→))·Ceq \(F,\s\up6(→))＝－1，则Beq \(E,\s\up6(→))·Ceq \(E,\s\up6(→))的值为________．
(2)(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的取值范围是________．
规律方法 利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
跟踪演练1 (1)如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))等于( )
A．1 B.eq \f(1,16) C.eq \f(1,4) D．－eq \f(1,2)
(2)如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的取值范围是________．
考点二 平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0.
例2 (1)已知O是△ABC内部一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋meq \(OC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(4,7)，则实数m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·eq \(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq \(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·eq \(OA,\s\up6(→))＋b·eq \(OB,\s\up6(→))＋c·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则O为△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．
跟踪演练2 (1)如图，设O为△ABC内一点，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))，则eq \f(S△AOB,S△ABC)等于( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,3)
(2)(2023·安阳模拟)如图，已知O是△ABC的垂心，且eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶4
C．2∶3∶4 D．2∶3∶6
考点三 等和(高)线定理
等和(高)线
平面内一组基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP′,\s\up6(—→))，eq \(OP′,\s\up6(—→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
例3 在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2eq \r(2) C.eq \r(5) D．2
规律方法 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线．
跟踪演练3 如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围为( )
A．[2,3] B．[1,2]
C．[1,3] D．[1,4]