2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题四　第4讲　空间向量与距离、探究性问题43

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考点一 空间距离
核心提炼
(1)点到直线的距离
直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离d＝eq \r(a2－a·u2).
(2)点到平面的距离
平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
考向1 点到直线的距离
例1 (1)(2023·温州模拟)四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,3)
(2)(2023·北京模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1距离的最小值为( )
A．1 B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(6),4) D.eq \f(\r(3),3)
考向2 点到平面的距离
例2 (1)(2023·武汉模拟)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则点C到平面AEC1F的距离为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(3\r(2),2)
C.eq \f(4\r(33),11) D.eq \f(\r(33),11)
(2)已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点，则直线AC到平面PEF的距离为( )
A．2 B.eq \f(\r(17),17)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(5)
规律方法 (1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法．
(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离．
跟踪演练1 (2023·大连模拟)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．
(1)若点C到平面AB1D1的距离为eq \f(4,3)，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高；
(2)在(1)的条件下，若E是AB1的中点，求点E到直线A1C1的距离．
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考点二 空间中的探究性问题
核心提炼
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
例3 (2023·许昌模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，PA＝PD＝eq \r(5)，AB＝2，M为PC上一点，且eq \(PM,\s\up6(→))＝3eq \(MC,\s\up6(→)).
(1)求异面直线AP与DM所成角的余弦值；
(2)在棱PB上是否存在点N，使得AN∥平面BDM？若存在，求eq \f(PN,PB)的值；若不存在，请说明理由．
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规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立．
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．
跟踪演练2 (2023·咸阳模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为1的正方形，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中点．
(1)求证：平面GBC⊥平面BB1C1C；
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(2)在线段BC上是否存在一点P，使得二面角P－GB1－B的平面角为30°？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．
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