2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题四　微重点7　球的切接问题22

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考点一 空间几何体的外接球
例1 (1)(2023·杭州模拟)在四面体ABCD中，△ABC与△BCD都是边长为6的等边三角形，且二面角A－BC－D的大小为60°，则四面体ABCD外接球的表面积是( )
A．52π B．54π
C．56π D．60π
(2)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________.
规律方法 求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．
(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
跟踪演练1 (1)已知四面体ABCD中，AB＝CD＝2eq \r(5)，AC＝BD＝eq \r(29)，AD＝BC＝eq \r(41)，则四面体ABCD外接球的表面积为________．
(2)(2023·昆明模拟)故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，AB＝4，AD＝EF＝2，EF∥底面ABCD，且EA＝ED＝FB＝FC＝BC，则几何体ABCDEF外接球的表面积为( )
A．22π B．28π C．32π D．38π
考点二 空间几何体的内切球
例2 (1)在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为( )
A.eq \f(9π,16) B.eq \f(9π,4) C.eq \f(16π,9) D.eq \f(4π,3)
(2)(2023·沈阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切．已知圆台的下底面圆心为O1，半径为r1，圆台的上底面圆心为O2，半径为r2(r1>r2)，球的球心为O，半径为R，记圆台的表面积为S1，球的表面积为S2，则eq \f(S1,S2)的可能的取值为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(π,3) D.eq \f(4,3)
规律方法 空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．
跟踪演练2 (1)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则V的最大值是( )
A．16π B.eq \f(32π,3)
C．36π D.eq \f(125π,3)
(2)(2023·贵阳联考)SF6(六氟化硫)具有良好的绝缘性，在电子工业上有着广泛的应用，其分子结构如图所示：六个元素F分别位于正方体六个面的中心，元素S位于正方体中心，若正方体的棱长为a，记以六个F为顶点的正八面体为T，则T的体积为__________，T的内切球表面积为__________．