初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式同步达标检测题

这是一份初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式同步达标检测题，共25页。

注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•灵宝市月考）若a=5+1，b=5−1，求下列代数式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣ab+b2．
2．（2022秋•龙岗区期中）已知a＝2+6，b＝2−6．
（1）填空：a+b＝ ，ab＝ ；
（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．
3．（2022秋•宁德期中）已知：x=3+2，y=3−2．
（1）填空：|x﹣y|＝ ；
（2）求代数式x2+y2﹣2xy的值．
4．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+2)2= ；(1−5)2= ．
（2）把4+23写成（a+b）2的形式为 ．
（3）已知a=7−1，求代数式a2+2a+3的值．
5．（2022秋•重庆期中）（1）计算：18+11+111+14+114+17+⋯+129+32．
（2）已知：a=15+2，求a2+5a−1a的值．
6．（2022秋•济南期中）已知x=23+1，y=23−1．
（1）对x，y进行化简；
（2）求x2+xy+y2的值．
7．（2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x−yx+y+x−2xy+yx−y，其中x＝5，y=15．
8．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2−3，y＝2+3．
（1）求xy2﹣x2y的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
9．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=3−2，求代数式x2+4x﹣5的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+x2+1的值．
10．（2022秋•嘉定区月考）已知m=13+2，n=13−2，求m2﹣mn+n2的值．
11．（2022秋•虹口区校级期中）已知a+b＝﹣4，ab＝1，求：aab+bba的值．
12．（2022春•彭州市校级月考）已知x=17−5，y=17+5，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
13．（2022秋•海淀区校级期末）已知x=3+2，y=3−2，求x2+3xy+y2的值．
14．（2022秋•嘉定区校级月考）已知x=12−3，求代数式1x−x2−8x+16x2−5x+4的值．
15．（2022秋•武侯区校级月考）已知a=2−12+1，b=2+12−1，求下列代数式的值：
（1）a2﹣ab+b2；
（2）ba+ab．
16．（2022秋•安溪县校级月考）已知x=12+3，y=12−3．
①化简x和y．
②求代数式x2y+xy2的值．
17．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a=12+3．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3∴a﹣2=−3
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简12+1+13+2+14+3+⋯+150+49；
（2）比较6−5 7−6；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a=2+1，则a2﹣2a+3＝ ．
B题：若a=13−1，则4a2﹣43a+7＝ ．
18．（2022秋•榆树市月考）已知a＝4﹣23，b＝4+23．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
19．（2022秋•沈阳月考）已知：x=3+2，y=3−2
（1）填空：|x﹣y|＝ ；
（2）求代数式x2+y2﹣5xy的值．
20．（2021秋•苏州期中）已知x=3−22，y=1+22，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
21．（2022春•阳新县期末）计算：
（1）（2+2）2−8（2﹣32）；
（2）化简求值：已知a=5−1，求a2−aa2−2a+1−a2+8a+16a+4的值．
22．（2021秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=2−1，求a2−2a+1a2−1的值．小明想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)=a−1(a+1)(a−1)=1a+1．
当a=2−1时，原式=12−1+1=22．
李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性质，并写出正确的解题过程．
23．（2019春•番禺区月考）已知x=3+1，y=3−1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2，
（2）yx−xy
24．（2021春•江汉区期中）（1）已知x=7+2，y=7−2，求下列各式的值：
①1x+1y；
②x2﹣xy+y2；
（2）若39−a2+5+a2=8，则39−a2−5+a2= ．
25．（2020春•海陵区校级期中）当a=32时，化简求a2−2a+1a2−a+1+aa的值．
26．（2019秋•张家港市期末）已知：a−2+|b−3|=0
（1）求14a+6b的值；
（2）设x=b−a，y=b+a，求1x+1y的值．
27．（2018秋•东营区校级期中）求值：
（1）已知a＝3+22，b＝3﹣22，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5﹣3x的值．
28．（2022秋•灞桥区校级月考）已知a=13−2，b=13+2，求代数式a2−3ab+b2的值．
29．（2022春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
30．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：23=2×33×3=63，23−3=2(3+3)(3−3)(3+3)=2(3+3)9−3=2(3+3)6=3+33．
（1）请你写出3+11的有理化因式： ；
（2）请仿照上面的方法化简1−b1−b（b≥0且b≠1）；
（3）已知a=13−2，b=13+2，求a2+b2+2的值．
专题16.5二次根式的求值问题大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•灵宝市月考）若a=5+1，b=5−1，求下列代数式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣ab+b2．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出ab，a+b，再根据平方差公式计算；
（2）根据完全平方公式计算．
【解答】解：∵a=5+1，b=5−1，
∴ab＝（5+1）（5−1）＝4，
a+b＝（5+1）+（5−1）＝25，
（1）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝4×25
＝85；
（2）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝（25）2﹣12
＝20﹣12
＝8．
2．（2022秋•龙岗区期中）已知a＝2+6，b＝2−6．
（1）填空：a+b＝ 4 ，ab＝ ﹣2 ；
（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝2+6，b＝2−6，
∴a+b＝（2+6）+（2−6）＝4，ab＝（2+6）（2−6）＝4﹣6＝﹣2，
故答案为：4；﹣2；
（2）a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）
＝a2﹣3ab+b2+ab+a+b+1
＝a2+2ab+b2﹣4ab+a+b+1
＝（a+b）2﹣4ab+a+b+1
＝42﹣4×（﹣2）+4+1
＝16+8+4+1
＝29．
3．（2022秋•宁德期中）已知：x=3+2，y=3−2．
（1）填空：|x﹣y|＝ 22 ；
（2）求代数式x2+y2﹣2xy的值．
【分析】（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．
（2）将代数式转化为（x﹣y）2，再分别求出x﹣y和xy的值，进而可得答案．
【解答】解：（1）|x﹣y|＝|（3+2）﹣（3−2）|
＝|3+2−3+2|
=22．
故答案为：22．
（2）x2+y2﹣5xy＝（x﹣y）2，
∵x﹣y＝（3+2）﹣（3−2）=22，
∴（x﹣y）2﹣3xy=(22)2=8．
即代数式x2+y2﹣2xy的值为8．
4．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+2)2= 11+62 ；(1−5)2= 6﹣25 ．
（2）把4+23写成（a+b）2的形式为 （1+3）2 ．
（3）已知a=7−1，求代数式a2+2a+3的值．
【分析】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；
（2）用完全平方公式可得答案；
（3）将已知变形，可得a2+2a+1＝7，从而可得答案．
【解答】解：（1）（3+2）2＝9+62+2＝11+62，（1−5）2＝1﹣25+5＝6﹣25，
故答案为：11+62，6﹣25；
（2）4+23=1+23+（3）2＝（1+3）2，
故答案为：（1+3）2；
（3）∵a=7−1，
∴a+1=7，
∴a2+2a+1＝7，
∴a2+2a+3＝9．
5．（2022秋•重庆期中）（1）计算：18+11+111+14+114+17+⋯+129+32．
（2）已知：a=15+2，求a2+5a−1a的值．
【分析】（1）先分母有理化，再相加合并同类二次根式；
（2）将a的值分母有理化后代入计算即可．
【解答】解：（1）原式=8−11−3+11−14−3+14−17−3+...+29−32−3
=8−32−3
=22−42−3
=223；
（2）∵a=15+2=5−2，
∴a2+5a−1a
＝（5−2）2+5（5−2）−15−2
＝5﹣45+4+55−10﹣（5+2）
＝5﹣45+4+55−10−5−2
＝﹣3．
6．（2022秋•济南期中）已知x=23+1，y=23−1．
（1）对x，y进行化简；
（2）求x2+xy+y2的值．
【分析】（1）利用分母有理化即可；
（2）先计算出x+y＝23，xy＝2，再根据完全平方公式得到x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）x=23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=3−1，
y=23−1=2(3+1)(3−1)(3+1)=3+1；
（2）∵x=3−1，y=3+1，
∴x+y＝23，xy＝3﹣1＝2，
∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝（23）2﹣2＝10．
7．（2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x−yx+y+x−2xy+yx−y，其中x＝5，y=15．
【分析】利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：x−yx+y+x−2xy+yx−y
=(x+y)(x−y)x+y+(x−y)2x−y
=x−y+x−y
＝2x−2y，
当x＝5，y=15时，
原式＝25−215
＝25−255
=855．
8．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2−3，y＝2+3．
（1）求xy2﹣x2y的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；
（2）先估算出2−3与2+3的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵x＝2−3，y＝2+3，
∴xy＝（2−3）（2+3）＝4﹣3＝1，
y﹣x＝2+3−（2−3）＝2+3−2+3=23，
∴xy2﹣x2y
＝xy（y﹣x）
＝1×23
＝23；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴3＜2+3＜4，
∴2+3的整数部分是3，
∴b＝3，
∵1＜3＜2，
∴﹣2＜−3＜−1，
∴0＜2−3＜1，
∴2−3的整数部分是0，小数部分＝2−3−0＝2−3，
∴a＝2−3，
∴ax+by
＝（2−3）（2−3）+3（2+3）
＝7﹣43+6+33
＝13−3，
∴ax+by的值为13−3．
9．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=3−2，求代数式x2+4x﹣5的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+x2+1的值．
【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x=3−2，
∴x+2=3，
∴（x+2）2＝（3）2，
∴x2+4x＝﹣1，
∴x2+4x﹣5＝﹣6；
（2）∵x=5−12，
∴2x+1=5，
∴（2x+1）2＝（5）2，
变形整理得：x2+x＝1，
∴x3+x2+1
＝x（x2+x）+1
＝x+1
=5−12+1
=5+12．
10．（2022秋•嘉定区月考）已知m=13+2，n=13−2，求m2﹣mn+n2的值．
【分析】先根据分母有理化化简m与n的值，然后利用配方法即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m=3−23−4=2−3，n=3+23−4=−3−2，
∴m+n＝﹣23，mn＝（2−3）（−3−2）＝﹣1，
∴原式＝（m+n）2﹣3mn
＝12﹣3×（﹣1）
＝15．
11．（2022秋•虹口区校级期中）已知a+b＝﹣4，ab＝1，求：aab+bba的值．
【分析】根据题意确定a、b的符号，根据二次根式的性质、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
则原式＝﹣a•abb−b•aba
=−ab•（ab+ba）
=−ab•a2+b2ab
=−ab•(a+b)2−2abab
＝﹣1×(−4)2−21
＝﹣14．
12．（2022春•彭州市校级月考）已知x=17−5，y=17+5，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．
【解答】解：（1）xy
=17−5×17+5
=17−5
=12；
（2）x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝（17−5+17+5）2+12
＝（7+5+7−52）2+12
＝（7）2+12
＝7+12
＝712．
13．（2022秋•海淀区校级期末）已知x=3+2，y=3−2，求x2+3xy+y2的值．
【分析】把所求的式子变形成（x+y）2+xy的形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝（x+y）2+xy，
当x=3+2，y=3−2时，
原式＝（23）2+（3+2）（3−2）
＝12+3﹣2
＝14．
14．（2022秋•嘉定区校级月考）已知x=12−3，求代数式1x−x2−8x+16x2−5x+4的值．
【分析】利用分母有理化把x的值化简，根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：x=12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+3＜4，
∴原式=1x−(x−4)2(x−4)(x−1)
=1x+x−4(x−4)(x−1)
=1x+1x−1
＝2−3+12+3−1
＝2−3+3−12
=3−32．
15．（2022秋•武侯区校级月考）已知a=2−12+1，b=2+12−1，求下列代数式的值：
（1）a2﹣ab+b2；
（2）ba+ab．
【分析】利用分母有理化把a、b化简，根据二次根式的加法法则求出a+b，根据二次根式的乘法法则求出ab；
（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：a=2−12+1=(2−1)2(2−1)(2+1)=3﹣22，b=2+12−1=(2+1)2(2+1)(2−1)=3+22，
则a+b＝3﹣22+3+22=6，ab＝（3﹣22）（3+22）＝1，
（1）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝36﹣3
＝33；
（2）ba+ab=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=34．
16．（2022秋•安溪县校级月考）已知x=12+3，y=12−3．
①化简x和y．
②求代数式x2y+xy2的值．
【分析】①利用分母有理化化简x和y；
②先计算出x+y与xy的值，再利用因式分解法得到x2y+xy2＝xy（x+y），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：①x=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3；
y=12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+3；
②∵x+y＝4，xy＝4﹣3＝1，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝1×4＝4．
17．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a=12+3．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3∴a﹣2=−3
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简12+1+13+2+14+3+⋯+150+49；
（2）比较6−5 ＞ 7−6；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a=2+1，则a2﹣2a+3＝ 4 ．
B题：若a=13−1，则4a2﹣43a+7＝ 5 ．
【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；
（2）先将16−5和17−6化简，比较大小，从而可比较6−5 和7−6；
（3）A题：由a=2+1，可得a﹣1=2，（a﹣1）2＝2，从而可得a2﹣2a＝1，进一步求解即可；
B题：由a=13−1，可得a=3+12，从而可得2a−3=1，两边同时作平方，可得4a2−43a=−2，进一步求解即可．
【解答】解：（1）12+1+13+2+14+3+⋯+150+49
=2−1+3−2+4−3+⋯+50−49
=50−1
=52−1；
（2）16−5=6+5，
17−6=7+6，
∵6+5＜7+6，
∴6−5＞7−6，
故答案为：＞；
（3）A题：∵a=2+1，
∴a﹣1=2，
∴（a﹣1）2＝2，
即a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴a2﹣2a+3＝4，
故答案为：4；
B题：∵a=13−1，
∴a=3+12，
∴2a−3=1，
∴(2a−3)2=1，
即4a2−43a+3=1，
∴4a2−43a=−2，
∴4a2﹣43a+7＝5，
故答案为：5．
18．（2022秋•榆树市月考）已知a＝4﹣23，b＝4+23．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的减法法则求出即可；
（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b），代入后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）∵a＝4﹣23，b＝4+23，
∴ab＝（4﹣23）×（4+23）
＝42﹣（23）2
＝16﹣12
＝4；
a﹣b＝（4﹣23）﹣（4+23）
＝4﹣23−4﹣23
＝﹣43；
（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣43，
所以2a2+2b2﹣a2b+ab2
＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）
＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）
＝2×[（﹣43）2+2×4]﹣4×（﹣43）
＝2×（48+8）+163
＝2×56+163
＝112+163．
19．（2022秋•沈阳月考）已知：x=3+2，y=3−2
（1）填空：|x﹣y|＝ 22 ；
（2）求代数式x2+y2﹣5xy的值．
【分析】（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．
（2）将代数式转化为（x﹣y）2﹣3xy，再分别求出x﹣y和xy的值，进而可得答案．
【解答】解：（1）|x﹣y|＝|（3+2）﹣（3−2）|
＝|3+2−3+2|
=22．
故答案为：22．
（2）x2+y2﹣5xy＝（x﹣y）2﹣3xy，
∵x﹣y＝（3+2）﹣（3−2）=22，xy＝（3+2）×（3−2）＝3﹣2＝1，
∴（x﹣y）2﹣3xy=(22)2−3×1＝8﹣3＝5．
即代数式x2+y2﹣5xy的值为5．
20．（2021秋•苏州期中）已知x=3−22，y=1+22，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；
（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．
【解答】解：（1）当x=3−22，y=1+22时，
原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（3−22+1+22）×（3−22−1+22）
＝2×（1−2）
＝2﹣22；
（2）当x=3−22，y=1+22时，
原式＝（x﹣y）2
＝（3−22−1+22）2
＝（1−2）2
＝1﹣22+2
＝3﹣22．
21．（2022春•阳新县期末）计算：
（1）（2+2）2−8（2﹣32）；
（2）化简求值：已知a=5−1，求a2−aa2−2a+1−a2+8a+16a+4的值．
【分析】（1）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算；
（2）先利用完全平方公式和二次根式的性质化简得到原式=a(a−1)|a−1|−（a+4），再利用a的值去绝对值，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+42+2﹣42+12
＝18；
（2）原式=a(a−1)(a−1)2−(a+4)2a+4
=a(a−1)|a−1|−（a+4），
∵a=5−1，
∴a﹣1=5−2＞0，
∴原式=a(a−1)(a−1)−a﹣4
＝a﹣a﹣4
＝﹣4．
22．（2021秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=2−1，求a2−2a+1a2−1的值．小明想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)=a−1(a+1)(a−1)=1a+1．
当a=2−1时，原式=12−1+1=22．
李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性质，并写出正确的解题过程．
【分析】小明错误运用了a2=|a|这条性质；利用a=2−1得到a﹣1＜0，则原式=−(a−1)(a+1)(a−1)，约分得到原式=−1a+1，然后把a的值代入计算即可．
【解答】解：小明错误运用了a2=|a|这条性质；
正确解法为：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)=|a−1|(a+1)(a−1)，
∵a=2−1，
∴a﹣1＜0，
∴原式=−(a−1)(a+1)(a−1)
=−1a+1
=−12−1+1
=−22．
23．（2019春•番禺区月考）已知x=3+1，y=3−1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2，
（2）yx−xy
【分析】（1）将所求式子因式分解得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，再将已知代入即可；
（2）化简所求式子得到yx−xy=(y+x)(y−x)xy，再将已知代入．
【解答】解：（1）∵x=3+1，y=3−1，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（3+1+3−1）2＝（23）2＝12；
（2）yx−xy=y2−x2xy=(y+x)(y−x)xy=(3−1+3+1)(3−1−3−1)(3+1)(3−1)=−432=−23．
24．（2021春•江汉区期中）（1）已知x=7+2，y=7−2，求下列各式的值：
①1x+1y；
②x2﹣xy+y2；
（2）若39−a2+5+a2=8，则39−a2−5+a2= ﹣26 ．
【分析】（1）①根据x=7+2，y=7−2，可以得到xy、x+y的值，然后即可求得所求式子的值；
②将所求式子变形，然后根据x=7+2，y=7−2，可以得到xy、x+y的值，从而可以求得所求式子的值；
（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）①1x+1y=y+xxy，
∵x=7+2，y=7−2，
∴x+y＝27，xy＝3，
当x+y＝27，xy＝3时，原式=273；
②x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，
∵x=7+2，y=7−2，
∴x+y＝27，xy＝3，
当x+y＝27，xy＝3时，原式＝（27）2﹣3×3＝19；
（2）设39−a2=x，5+a2=y，则39﹣a2＝x2，5+a2＝y2，
∴x2+y2＝44，
∵39−a2+5+a2=8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+2xy+y2＝64，
∴2xy＝64﹣（x2+y2）＝64﹣44＝20，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝44﹣20＝24，
∴x﹣y＝±26，
∵39−a2−5+a2＜4＜26，
即39−a2−5+a2=−26，
故答案为：﹣26．
25．（2020春•海陵区校级期中）当a=32时，化简求a2−2a+1a2−a+1+aa的值．
【分析】根据二次根式的性质、分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：∵a=32，
∴a﹣1＜0，
∴原式=(a−1)2a(a−1)+1+aa
=1−aa(a−1)+1+aa
=−1a+1+aa
＝1．
26．（2019秋•张家港市期末）已知：a−2+|b−3|=0
（1）求14a+6b的值；
（2）设x=b−a，y=b+a，求1x+1y的值．
【分析】（1）先利用非负数的性质得到a＝2，b＝3，则14a+6b=14×2+63，然后利用分母有理化和二次根式的除法法则运算；
（2）由于x=3−2，y=3+2，则1x+1y=13−2+13+2，然后分母有理化后合并即可．
【解答】解：（1）∵a−2+|b−3|=0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∴14a+6b=14×2+63=24+2=524；
（2）∵x=b−a=3−2，y=b+a=3+2，
∴1x+1y=13−2+13+2=3+2+3−2=23．
27．（2018秋•东营区校级期中）求值：
（1）已知a＝3+22，b＝3﹣22，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5﹣3x的值．
【分析】（1）根据a＝3+22，b＝3﹣22，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；
（2）依据被开方数为非负数，即可得到x=23，进而得出y＞2，据此可得y2−4y+42−y+5﹣3x的值．
【解答】解：（1）∵a＝3+22，b＝3﹣22，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35；
（2）∵3x−2≥02−3x≥0，
∴x≥23x≤23，
∴x=23，
∴y＞2，
∴y2−4y+42−y+5﹣3x
=(y−2)22−y+5﹣3x
=|y−2|−(y−2)+5﹣3x
＝﹣1+5﹣3x
＝4﹣3x
＝4﹣3×23
＝2．
28．（2022秋•灞桥区校级月考）已知a=13−2，b=13+2，求代数式a2−3ab+b2的值．
【分析】先将a，b分母有理化，再计算出a﹣b与ab的值，最后将所求代数式变形为(a−b)2−ab，进而可得出答案．
【解答】解：∵a=13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2，
b=13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2，
∴a﹣b=22，ab＝1，
∴a2−3ab+b2=(a−b)2−ab=8−1=7．
29．（2022春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 小亮 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
【分析】（1）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断；
（2）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，理由如下：
原式＝a+(1−a)2，
∵a＝1011，
∴1﹣a＜0，
∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1＝2×1011﹣1＝2021，
故答案为：小亮；
（2）原式＝a+2(a−3)2，
∵a＝﹣2022，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）
＝a+6﹣2a
＝6﹣a
＝6﹣（﹣2022）
＝6+2022
＝2028．
30．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：23=2×33×3=63，23−3=2(3+3)(3−3)(3+3)=2(3+3)9−3=2(3+3)6=3+33．
（1）请你写出3+11的有理化因式： 3−11 ；
（2）请仿照上面的方法化简1−b1−b（b≥0且b≠1）；
（3）已知a=13−2，b=13+2，求a2+b2+2的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据a2+b2+2=(a+b)2−2ab+2，将a+b，ab的值代入即可求解．
【解答】解：（1）∵（3+11）（3−11）＝9﹣11＝﹣2，
∴3−11是3+11的有理化因式，
故答案为：3−11；
（2）1−b1−b
=(1−b)(1+b)(1−b)(1+b)
=(1−b)(1+b)1−b
＝1+b；
（3）∵a=13−2=−3−2，b=13+2=2−3，
∴a+b＝﹣23，ab＝﹣1，
∴a2+b2+2
=(a+b)2−2ab+2
=(−23)2−2×(−1)+2
=16
＝4．