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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式习题，文件包含课标全国版高考数学第一轮复习讲练测第32讲基本不等式讲原卷版+解析docx、课标全国版高考数学第一轮复习讲练测第32讲基本不等式练原卷版+解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共167页， 欢迎下载使用。
1．设a>0，则a＋eq \f(a＋4,a)的最小值为( )
A．2eq \r(a＋4) B．2
C．4 D．5
2．∃x>0，使得eq \f(1,x)＋x－a≤0，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
3．设x为实数，则“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知a, b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为( )
A．4 B．4eq \r(2)
C．8 D．2
5．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋eq \f(1,x)
B．y＝sin x＋eq \f(1,sin x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0C．y＝eq \f(x2＋5,\r(x2＋4))
D．y＝ex＋eq \f(4,ex)－2
6．若实数a, b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
7．若不等式eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)－m≥0对x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))恒成立，则实数m的最大值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
8．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
9．若x>1，则x＋eq \f(4,x－1)的最小值为________．
10．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)的最小值是________．
【练提升】
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
2.如图，三棱锥PABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m,2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为( )
A.eq \f(256π,3) B.eq \f(8\r(2)π,3)
C.eq \f(32π,3) D．36π
3．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq \f(xy,z)取得最大值时，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为( )
A．0 B．1
C.eq \f(9,4) D．3
5．已知a>0，b>0，并且eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，则a＋9b的最小值为( )
A．16 B．9
C．5 D．4
6．在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若eq \(AF,\s\up7(―→))＝2xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→)) (x>0，y>0)，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值为( )
A．1 B．8
C．2 D．4
7．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )
A．1 B．3
C．6 D．12
8．若lg4(3a＋4b)＝lg2eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A．7＋2eq \r(3) B．6＋2eq \r(3)
C．7＋4eq \r(3) D．6＋4eq \r(3)
9．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq \f(20t,t2＋4)，则经过________ h后池水中药品的浓度达到最大．
10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．
11．已知a>0，b>0，则eq \f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)的最小值为________．
12．某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝eq \f(3x＋1,x＋1)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”)．
(1)试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
第32讲 基本不等式
【练基础】
1．设a>0，则a＋eq \f(a＋4,a)的最小值为( )
A．2eq \r(a＋4) B．2
C．4 D．5
【答案】D
【解析】a＋eq \f(a＋4,a)＝a＋1＋eq \f(4,a)≥1＋2 eq \r(a·\f(4,a))＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.
2．∃x>0，使得eq \f(1,x)＋x－a≤0，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
【答案】B
【解析】因为eq \f(1,x)＋x－a≤0，所以a≥eq \f(1,x)＋x≥2 eq \r(\f(1,x)·x)＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以只需a≥2，故选B.
3．设x为实数，则“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若x<0，则－x>0，x＋eq \f(1,x)＝－(－x)＋eq \f(1,－x)≤－2，∴“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的充分条件；若x＋eq \f(1,x)≤－2，则eq \f(x2＋2x＋1,x)≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的必要条件．综上，“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的充要条件．故选C.
4．已知a, b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为( )
A．4 B．4eq \r(2)
C．8 D．2
【答案】C
【解析】由a＋2b－4＝0得a＋2b＝4，∴2a＋4b＝2a＋22b≥2eq \r(2a·22b)＝2eq \r(2a＋2b)＝2eq \r(24)＝8(当且仅当2a＝22b，即a＝2b时取等号)．
5．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋eq \f(1,x)
B．y＝sin x＋eq \f(1,sin x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0C．y＝eq \f(x2＋5,\r(x2＋4))
D．y＝ex＋eq \f(4,ex)－2
【答案】D
【解析】对于选项A，当x>0时，y＝x＋eq \f(1,x)≥2 eq \r(x·\f(1,x))＝2；当x<0时，y＝x＋eq \f(1,x)≤－2，故A不合题意．对于选项B，由于06．若实数a, b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
【答案】C
【解析】∵eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，∴a>0，b>0，
∵eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2 eq \r(\f(2,ab))，
∴ab≥2eq \r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，
∴ab的最小值为2eq \r(2)，故选C.
7．若不等式eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)－m≥0对x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))恒成立，则实数m的最大值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】C
【解析】将不等式化为eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)≥m，只需当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))min≥m即可，由eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))(4x＋1－4x)＝4＋eq \f(1－4x,x)＋eq \f(4x,1－4x)＋1≥5＋2 eq \r(\f(1－4x,x)·\f(4x,1－4x))＝5＋4＝9，当且仅当x＝eq \f(1,6)时取等号，故m≤9，故m的最大值为9.故选C.
8．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
【答案】C
【解析】设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤eq \f(x＋y2,4)＝eq \f(42,4)＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
9．若x>1，则x＋eq \f(4,x－1)的最小值为________．
解析：x＋eq \f(4,x－1)＝x－1＋eq \f(4,x－1)＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时等号成立．
答案：5
10．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)的最小值是________．
解析：eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(3,b)))(a＋3b)＝4＋9＋eq \f(12b,a)＋eq \f(3a,b)≥13＋2 eq \r(\f(12b,a)·\f(3a,b))＝25，当且仅当a＝eq \f(2,5)，b＝eq \f(1,5)时等号成立．
答案：25
【练提升】
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】D
【解析】由1＝2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)，变形为2x＋y≤eq \f(1,4)，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．
2.如图，三棱锥PABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m,2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为( )
A.eq \f(256π,3) B.eq \f(8\r(2)π,3)
C.eq \f(32π,3) D．36π
【答案】C
【解析】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n，所以eq \f(1,3)·n·eq \f(1,2)·m·2＝2，所以mn＝6，又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，该外接球的直径是长方体的体对角线，设外接球的半径为R，所以2R＝eq \r(m2＋n2＋4)，所以2R≥eq \r(2mn＋4)＝eq \r(12＋4)＝4，当且仅当m＝n＝eq \r(6)时，等号成立，所以R≥2，所以该三棱锥外接球的体积为eq \f(4,3)πR3≥eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3).故选C.
3．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【解析】法一：由于a＋b＝ab≤eq \f(a＋b2,4)，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法二：由题意，得eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq \f(xy,z)取得最大值时，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为( )
A．0 B．1
C.eq \f(9,4) D．3
【答案】B
【解析】eq \f(xy,z)＝eq \f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq \f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq \f(1,4－3)＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)＝－eq \f(1,y2)＋eq \f(2,y)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
5．已知a>0，b>0，并且eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，则a＋9b的最小值为( )
A．16 B．9
C．5 D．4
【答案】A
【解析】∵eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝10＋eq \f(a,b)＋eq \f(9b,a)≥10＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(9b,a))＝16，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(9b,a)且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，即a＝4，b＝eq \f(4,3)时等号成立，故选A.
6．在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若eq \(AF,\s\up7(―→))＝2xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→)) (x>0，y>0)，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值为( )
A．1 B．8
C．2 D．4
【答案】B
【解析】由于点F在线段BC上，由向量共线定理可得2x＋y＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))(2x＋y)＝4＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥4＋2 eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝8，当且仅当y＝2x，即x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,2)时等号成立，故选B.
7．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )
A．1 B．3
C．6 D．12
【答案】B
【解析】∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝eq \f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq \f(3－x2,2x)＝eq \f(3x2＋3,2x)＝eq \f(3x,2)＋eq \f(3,2x)≥ 2 eq \r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，当且仅当eq \f(3x,2)＝eq \f(3,2x)，即x＝1时取等号．故选B.
8．若lg4(3a＋4b)＝lg2eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A．7＋2eq \r(3) B．6＋2eq \r(3)
C．7＋4eq \r(3) D．6＋4eq \r(3)
【答案】C
【解析】由题意得eq \r(3a＋4b)＝eq \r(ab)，∴3a＋4b＝ab，∴eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)＝1(a>0，b>0)．
∴a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝4＋3＋eq \f(4b,a)＋eq \f(3a,b)≥7＋2 eq \r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq \r(3)，当且仅当eq \r(3)a＝2b时取等号．故选C.
9．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq \f(20t,t2＋4)，则经过________ h后池水中药品的浓度达到最大．
解析：C＝eq \f(20t,t2＋4)＝eq \f(20,t＋\f(4,t))≤eq \f(20,2 \r(t·\f(4,t)))＝5，当且仅当t＝2时取等号，因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大．
答案：2
10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．
解析：由两条直线互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝eq \f(1,2)(a·2b)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2)))2＝eq \f(1,8)，当且仅当a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)时取等号．故ab的最大值是eq \f(1,8).
答案：eq \f(1,8)
11．已知a>0，b>0，则eq \f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)的最小值为________．
解析：eq \f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)＝eq \f(1,b2)＋eq \f(4,a2)＋ab≥2eq \r(\f(1,b2)×\f(4,a2))＋ab＝eq \f(4,ab)＋ab≥2 eq \r(\f(4,ab)×ab)＝4，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,b2)＝\f(4,a2)，,\f(4,ab)＝ab，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1))时等号成立，所以eq \f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)的最小值为4.
答案：4
12．某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝eq \f(3x＋1,x＋1)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”)．
(1)试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
解析：(1)由题意，每件售价为eq \f(3＋32Q,Q)×150%＋eq \f(x,Q)×50%＝eq \f(9＋96Q＋x,2Q)，则w＝eq \f(9＋96Q＋x,2Q)·Q－x－3－32Q＝eq \f(9＋96Q＋x－2x－6－64Q,2)＝eq \f(－x2＋98x＋35,2x＋1).
因为当x＝100时，w＝eq \f(－10 000＋9 800＋35,2×101)<0，所以企业亏损．
(2)w＝eq \f(－x2＋98x＋35,2x＋1)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x＋1＋\f(64,x＋1)))＋50≤50－8＝42(当且仅当x＝7时等号成立)．
故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．
1．设a>0，则a＋eq \f(a＋4,a)的最小值为( )
A．2eq \r(a＋4) B．2
C．4 D．5
2．∃x>0，使得eq \f(1,x)＋x－a≤0，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
3．设x为实数，则“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知a, b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为( )
A．4 B．4eq \r(2)
C．8 D．2
5．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋eq \f(1,x)
B．y＝sin x＋eq \f(1,sin x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0
D．y＝ex＋eq \f(4,ex)－2
6．若实数a, b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
7．若不等式eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)－m≥0对x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))恒成立，则实数m的最大值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
8．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
9．若x>1，则x＋eq \f(4,x－1)的最小值为________．
10．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)的最小值是________．
【练提升】
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
2.如图，三棱锥PABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m,2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为( )
A.eq \f(256π,3) B.eq \f(8\r(2)π,3)
C.eq \f(32π,3) D．36π
3．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq \f(xy,z)取得最大值时，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为( )
A．0 B．1
C.eq \f(9,4) D．3
5．已知a>0，b>0，并且eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，则a＋9b的最小值为( )
A．16 B．9
C．5 D．4
6．在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若eq \(AF,\s\up7(―→))＝2xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→)) (x>0，y>0)，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值为( )
A．1 B．8
C．2 D．4
7．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )
A．1 B．3
C．6 D．12
8．若lg4(3a＋4b)＝lg2eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A．7＋2eq \r(3) B．6＋2eq \r(3)
C．7＋4eq \r(3) D．6＋4eq \r(3)
9．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq \f(20t,t2＋4)，则经过________ h后池水中药品的浓度达到最大．
10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．
11．已知a>0，b>0，则eq \f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)的最小值为________．
12．某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝eq \f(3x＋1,x＋1)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”)．
(1)试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
第32讲 基本不等式
【练基础】
1．设a>0，则a＋eq \f(a＋4,a)的最小值为( )
A．2eq \r(a＋4) B．2
C．4 D．5
【答案】D
【解析】a＋eq \f(a＋4,a)＝a＋1＋eq \f(4,a)≥1＋2 eq \r(a·\f(4,a))＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.
2．∃x>0，使得eq \f(1,x)＋x－a≤0，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
【答案】B
【解析】因为eq \f(1,x)＋x－a≤0，所以a≥eq \f(1,x)＋x≥2 eq \r(\f(1,x)·x)＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以只需a≥2，故选B.
3．设x为实数，则“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若x<0，则－x>0，x＋eq \f(1,x)＝－(－x)＋eq \f(1,－x)≤－2，∴“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的充分条件；若x＋eq \f(1,x)≤－2，则eq \f(x2＋2x＋1,x)≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的必要条件．综上，“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的充要条件．故选C.
4．已知a, b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为( )
A．4 B．4eq \r(2)
C．8 D．2
【答案】C
【解析】由a＋2b－4＝0得a＋2b＝4，∴2a＋4b＝2a＋22b≥2eq \r(2a·22b)＝2eq \r(2a＋2b)＝2eq \r(24)＝8(当且仅当2a＝22b，即a＝2b时取等号)．
5．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋eq \f(1,x)
B．y＝sin x＋eq \f(1,sin x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0
D．y＝ex＋eq \f(4,ex)－2
【答案】D
【解析】对于选项A，当x>0时，y＝x＋eq \f(1,x)≥2 eq \r(x·\f(1,x))＝2；当x<0时，y＝x＋eq \f(1,x)≤－2，故A不合题意．对于选项B，由于0
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
【答案】C
【解析】∵eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，∴a>0，b>0，
∵eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2 eq \r(\f(2,ab))，
∴ab≥2eq \r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，
∴ab的最小值为2eq \r(2)，故选C.
7．若不等式eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)－m≥0对x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))恒成立，则实数m的最大值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】C
【解析】将不等式化为eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)≥m，只需当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))min≥m即可，由eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))(4x＋1－4x)＝4＋eq \f(1－4x,x)＋eq \f(4x,1－4x)＋1≥5＋2 eq \r(\f(1－4x,x)·\f(4x,1－4x))＝5＋4＝9，当且仅当x＝eq \f(1,6)时取等号，故m≤9，故m的最大值为9.故选C.
8．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
【答案】C
【解析】设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤eq \f(x＋y2,4)＝eq \f(42,4)＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
9．若x>1，则x＋eq \f(4,x－1)的最小值为________．
解析：x＋eq \f(4,x－1)＝x－1＋eq \f(4,x－1)＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时等号成立．
答案：5
10．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)的最小值是________．
解析：eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(3,b)))(a＋3b)＝4＋9＋eq \f(12b,a)＋eq \f(3a,b)≥13＋2 eq \r(\f(12b,a)·\f(3a,b))＝25，当且仅当a＝eq \f(2,5)，b＝eq \f(1,5)时等号成立．
答案：25
【练提升】
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】D
【解析】由1＝2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)，变形为2x＋y≤eq \f(1,4)，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．
2.如图，三棱锥PABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m,2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为( )
A.eq \f(256π,3) B.eq \f(8\r(2)π,3)
C.eq \f(32π,3) D．36π
【答案】C
【解析】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n，所以eq \f(1,3)·n·eq \f(1,2)·m·2＝2，所以mn＝6，又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，该外接球的直径是长方体的体对角线，设外接球的半径为R，所以2R＝eq \r(m2＋n2＋4)，所以2R≥eq \r(2mn＋4)＝eq \r(12＋4)＝4，当且仅当m＝n＝eq \r(6)时，等号成立，所以R≥2，所以该三棱锥外接球的体积为eq \f(4,3)πR3≥eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3).故选C.
3．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【解析】法一：由于a＋b＝ab≤eq \f(a＋b2,4)，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法二：由题意，得eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq \f(xy,z)取得最大值时，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为( )
A．0 B．1
C.eq \f(9,4) D．3
【答案】B
【解析】eq \f(xy,z)＝eq \f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq \f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq \f(1,4－3)＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)＝－eq \f(1,y2)＋eq \f(2,y)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
5．已知a>0，b>0，并且eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，则a＋9b的最小值为( )
A．16 B．9
C．5 D．4
【答案】A
【解析】∵eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝10＋eq \f(a,b)＋eq \f(9b,a)≥10＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(9b,a))＝16，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(9b,a)且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，即a＝4，b＝eq \f(4,3)时等号成立，故选A.
6．在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若eq \(AF,\s\up7(―→))＝2xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→)) (x>0，y>0)，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值为( )
A．1 B．8
C．2 D．4
【答案】B
【解析】由于点F在线段BC上，由向量共线定理可得2x＋y＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))(2x＋y)＝4＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥4＋2 eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝8，当且仅当y＝2x，即x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,2)时等号成立，故选B.
7．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )
A．1 B．3
C．6 D．12
【答案】B
【解析】∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝eq \f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq \f(3－x2,2x)＝eq \f(3x2＋3,2x)＝eq \f(3x,2)＋eq \f(3,2x)≥ 2 eq \r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，当且仅当eq \f(3x,2)＝eq \f(3,2x)，即x＝1时取等号．故选B.
8．若lg4(3a＋4b)＝lg2eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A．7＋2eq \r(3) B．6＋2eq \r(3)
C．7＋4eq \r(3) D．6＋4eq \r(3)
【答案】C
【解析】由题意得eq \r(3a＋4b)＝eq \r(ab)，∴3a＋4b＝ab，∴eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)＝1(a>0，b>0)．
∴a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝4＋3＋eq \f(4b,a)＋eq \f(3a,b)≥7＋2 eq \r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq \r(3)，当且仅当eq \r(3)a＝2b时取等号．故选C.
9．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq \f(20t,t2＋4)，则经过________ h后池水中药品的浓度达到最大．
解析：C＝eq \f(20t,t2＋4)＝eq \f(20,t＋\f(4,t))≤eq \f(20,2 \r(t·\f(4,t)))＝5，当且仅当t＝2时取等号，因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大．
答案：2
10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．
解析：由两条直线互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝eq \f(1,2)(a·2b)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2)))2＝eq \f(1,8)，当且仅当a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)时取等号．故ab的最大值是eq \f(1,8).
答案：eq \f(1,8)
11．已知a>0，b>0，则eq \f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)的最小值为________．
解析：eq \f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)＝eq \f(1,b2)＋eq \f(4,a2)＋ab≥2eq \r(\f(1,b2)×\f(4,a2))＋ab＝eq \f(4,ab)＋ab≥2 eq \r(\f(4,ab)×ab)＝4，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,b2)＝\f(4,a2)，,\f(4,ab)＝ab，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1))时等号成立，所以eq \f(a2＋4b2＋a3b3,a2b2)的最小值为4.
答案：4
12．某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝eq \f(3x＋1,x＋1)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”)．
(1)试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
解析：(1)由题意，每件售价为eq \f(3＋32Q,Q)×150%＋eq \f(x,Q)×50%＝eq \f(9＋96Q＋x,2Q)，则w＝eq \f(9＋96Q＋x,2Q)·Q－x－3－32Q＝eq \f(9＋96Q＋x－2x－6－64Q,2)＝eq \f(－x2＋98x＋35,2x＋1).
因为当x＝100时，w＝eq \f(－10 000＋9 800＋35,2×101)<0，所以企业亏损．
(2)w＝eq \f(－x2＋98x＋35,2x＋1)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x＋1＋\f(64,x＋1)))＋50≤50－8＝42(当且仅当x＝7时等号成立)．
故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．
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