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（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第27讲 等差数列及其前n项和（讲+练）原卷版+解析
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1．等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
2．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S7＝49，则a2，a6的等差中项是( )
A.eq \f(49,2) B．7
C．±7 D.eq \f(7,2)
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝( )
A．36 B．72
C．144 D．288
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝5S2＋a4，a1＝1，则a6＝( )
A．16 B．13
C．－9 D．37
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
7．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )
A．174斤 B．184斤
C．191斤 D．201斤
8．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
9．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
10．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4C．S4>S1 D．S4＝S1
【练提升】
1．已知数列{an}满足3an＋1＝9·3an(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝( )
A．－eq \f(1,3) B．3
C．－3 D.eq \f(1,3)
2．已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
3．已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*.设cn＝abn，则数列{cn}的前100项和等于( )
A．4950 B．5250
C．5350 D．10300
4．(多选)设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有( )
A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0
C．当d>0时，a10＋a22>0 D．当d<0时，|a10|>|a22|
5．已知等差数列{an}的公差d<0，前n项和为Sn，若S5＝10a6，则当Sn最大时，n＝( )
A．8 B．9
C．7或8 D．8或9
6．(多选)设{an}是无穷数列，An＝an＋an＋1(n＝1,2，…)，则下面给出的四个判断中，正确的有( )
A．若{an}是等差数列，则{An}是等差数列
B．若{An}是等差数列，则{an}是等差数列
C．若{an}是等比数列，则{An}是等比数列
D．若{An}是等差数列，则{a2n}是等差数列
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
8．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝eq \f(Sn,n)，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
9．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.
10．等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
第27讲 等差数列及其前n项和
【练基础】
1．等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】C
【解析】根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若a2＋a3＝10，S6＝54，则有a2＋a3＝(a1＋d)＋(a1＋2d)＝10，S6＝6a1＋15d＝54，解得d＝4，a1＝－1，故选C.
2．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
【答案】D
【解析】因为a1＝1，an＋1＝an－1，所以数列{an}为等差数列，公差d为－1，所以a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故选D.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S7＝49，则a2，a6的等差中项是( )
A.eq \f(49,2) B．7
C．±7 D.eq \f(7,2)
【答案】B
【解析】由已知，得S7＝eq \f(7a1＋a7,2)＝7a4＝49，所以a4＝7.所以a2，a6的等差中项为eq \f(a2＋a6,2)＝a4＝7.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝( )
A．36 B．72
C．144 D．288
【答案】B
【解析】法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，
∴d＝eq \f(3,2)，∴S9＝9×2＋eq \f(9×8,2)×eq \f(3,2)＝72.
法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，
∴S9＝eq \f(9a1＋a9,2)＝72.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝5S2＋a4，a1＝1，则a6＝( )
A．16 B．13
C．－9 D．37
【答案】A
【解析】设等差数列{an}的公差为d.由S5＝5S2＋a4，得5a1＋eq \f(5×5－1,2)d＝5(2a1＋d)＋(a1＋3d)．将a1＝1代入上式，得d＝3.故a6＝a1＋5d＝1＋15＝16.
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列．
∴eq \f(Sm－1,m－1)＋eq \f(Sm＋1,m＋1)＝eq \f(2Sm,m)，即eq \f(－2,m－1)＋eq \f(3,m＋1)＝0，
解得m＝5，经检验为原方程的解，故选C.
7．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )
A．174斤 B．184斤
C．191斤 D．201斤
【答案】B
【解析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d＝17，n＝8，S8＝996，以第一个儿子分到的绵数a1为首项，所以8a1＋eq \f(8×8－1,2)×17＝996，解得a1＝65，所以第8个儿子分到的绵数a8＝a1＋(n－1)·d＝65＋7×17＝184.故选B.
8．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
【答案】C
【解析】由3an＋1＝3an－2⇒an＋1－an＝－eq \f(2,3)⇒{an}是等差数列，则an＝eq \f(47,3)－eq \f(2,3)n.
∵ak·ak＋1<0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(47,3)－\f(2,3)k))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(45,3)－\f(2,3)k))<0，∴eq \f(45,2)又∵k∈N*，∴k＝23.
9．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
【答案】C
【解析】设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
10．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4C．S4>S1 D．S4＝S1
【答案】B
【解析】设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝－6，,a1＋5d＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－9，,d＝3.))于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋eq \f(3×2,2)×3＝－18，S4＝4×(－9)＋eq \f(4×3,2)×3＝－18，所以S4＝S3，S4【练提升】
1．已知数列{an}满足3an＋1＝9·3an(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝( )
A．－eq \f(1,3) B．3
C．－3 D.eq \f(1,3)
【答案】C
【解析】由3an＋1＝9·3an(n∈N*)，得3an＋1＝3an＋2，所以an＋1＝an＋2，所以数列{an}是等差数列，公差为2.又a2＋a4＋a6＝3a1＋9d＝9，所以a1＝－3.所以lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝lgeq \f(1,3)(3a1＋18d)＝lgeq \f(1,3)27＝－3.故选C.
2．已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
【答案】B
【解析】∵等差数列{an}的公差为－2，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，
∴aeq \\al(2,3)＝aeq \\al(2,4)＋aeq \\al(2,5)－2a4·a5cs 120°，
即(a4＋2)2＝aeq \\al(2,4)＋(a4－2)2＋2a4(a4－2)×eq \f(1,2)，
化为aeq \\al(2,4)－5a4＝0，又a4≠0，解得a4＝5，
∴a3＝7，a5＝3，a6＝1，a7＝－1.
∵Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，∴实数m＝6.故选B.
3．已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*.设cn＝abn，则数列{cn}的前100项和等于( )
A．4950 B．5250
C．5350 D．10300
【答案】C
【解析】由题意可知，cn＝abn＝a1＋(bn－1)×1＝a1＋[b1＋(n－1)×1－1]×1＝a1＋b1＋n－1－1＝n＋3，所以数列{cn}是以4为首项，1为公差的等差数列，其前100项和为S100＝eq \f(1,2)×100×(4＋100＋3)＝5350.故选C.
4．(多选)设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有( )
A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0
C．当d>0时，a10＋a22>0 D．当d<0时，|a10|>|a22|
【答案】BC
【解析】因为S10＝S20，所以10a1＋eq \f(10×9,2)d＝20a1＋eq \f(20×19,2)d，解得a1＝－eq \f(29,2)d.因为无法确定a1和d的正负性，所以无法确定Sn是否有最大值，故A错误．S30＝30a1＋eq \f(30×29,2)d＝30×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(29,2)d))＋15×29d＝0，故B正确．a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(29,2)d＋15d))＝d>0，故C正确．a10＝a1＋9d＝－eq \f(29,2)d＋eq \f(18,2)d＝－eq \f(11,2)d，a22＝a1＋21d＝－eq \f(29,2)d＋eq \f(42,2)d＝eq \f(13,2)d，因为d<0，所以|a10|＝－eq \f(11,2)d，|a22|＝－eq \f(13,2)d，|a10|<|a22|，故D错误．
5．已知等差数列{an}的公差d<0，前n项和为Sn，若S5＝10a6，则当Sn最大时，n＝( )
A．8 B．9
C．7或8 D．8或9
【答案】D
【解析】解法一：由S5＝10a6，可得eq \f(5×a1＋a1＋4d,2)＝10(a1＋5d)，解得a1＝－8d，所以Sn＝na1＋eq \f(1,2)n(n－1)d＝eq \f(d,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(17,2)))2－\f(289,4))).因为d<0，所以当n＝8或9时，Sn最大．故选D.
解法二：因为S5＝eq \f(5×a1＋a5,2)＝eq \f(5×2a3,2)＝5a3，所以5a3＝10a6，所以5(a1＋2d)＝10(a1＋5d)，化简可得a1＋8d＝0，即a9＝0.因为d<0，所以当n＝8或9时，Sn最大．故选D.
6．(多选)设{an}是无穷数列，An＝an＋an＋1(n＝1,2，…)，则下面给出的四个判断中，正确的有( )
A．若{an}是等差数列，则{An}是等差数列
B．若{An}是等差数列，则{an}是等差数列
C．若{an}是等比数列，则{An}是等比数列
D．若{An}是等差数列，则{a2n}是等差数列
【答案】AD
【解析】若{an}是等差数列，设公差为d，则An＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2a1＋2nd－d，则An－An－1＝(2a1＋2nd－d)－[2a1＋2(n－1)d－d]＝2d，所以{An}是等差数列，故A正确；若{An}是等差数列，设公差为d，An－An－1＝an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝d，即数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B不正确，D正确；若{an}是等比数列，设公比为q，当q≠－1时，则eq \f(An,An－1)＝eq \f(an＋an＋1,an－1＋an)＝eq \f(an－1q＋anq,an－1＋an)＝q，当q＝－1时，则An＝an＋an＋1＝0，故{An}不是等比数列，故C不正确．故选A、D.
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，
又a1＝1，∴a2＝eq \f(1,2).
2anan＋1＝4Sn－3，①
2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②
②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.
∵an≠0，∴an＋2－an＝2.
(2)由(1)可知：
数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，
∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，
则当n为奇数时，an＝n.
数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为eq \f(1,2)，
∴a2k＝eq \f(1,2)＋2(k－1)＝2k－eq \f(3,2)，
则当n为偶数时，an＝n－eq \f(3,2).
综上所述，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n，n为奇数，,n－\f(3,2)，n为偶数.))
8．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝eq \f(Sn,n)，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
解：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋eq \f(kk－1,2)·d＝2k＋eq \f(kk－1,2)×2＝k2＋k，
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)证明：由(1)得Sn＝eq \f(n2＋2n,2)＝n(n＋1)，
则bn＝eq \f(Sn,n)＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝1＋1＝2，
所以数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝eq \f(n2＋n＋1,2)＝eq \f(nn＋3,2).
9．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)解法一：∵数列{an}是等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.
由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，
∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，
即2d＝4,2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－eq \f(1,2).
解法二：在等差数列{an}中，
由an＋1＋an＝4n－3，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，
∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2.
又a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－eq \f(1,2).
(2)由题意知，①当n为奇数时，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×eq \f(n－1,2)
＝eq \f(2n2－3n＋5,2).
②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝1＋9＋…＋(4n－7)＝eq \f(2n2－3n,2).
综上，Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2n2－3n＋5,2)，n为奇数，,\f(2n2－3n,2)，n为偶数.))
10．等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
解：(1)∵等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，
∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5，
解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝－1，,a1＋4d＝－7，))解得a1＝5，d＝－3.
∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
(2)由(1)知{an}的前n项和Sn＝5n＋eq \f(nn－1,2)×(－3)＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(13,2)n.
∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，
当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8.
当n<3时，T1＝5，T2＝7；
当n≥3时，Tn＝－Sn＋2S2＝eq \f(3n2,2)－eq \f(13n,2)＋14.
∵Tn≥1 464，∴Tn＝eq \f(3n2,2)－eq \f(13n,2)＋14≥1 464，
即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥eq \f(100,3)，
∴n的最小值为34.
1．等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
2．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S7＝49，则a2，a6的等差中项是( )
A.eq \f(49,2) B．7
C．±7 D.eq \f(7,2)
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝( )
A．36 B．72
C．144 D．288
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝5S2＋a4，a1＝1，则a6＝( )
A．16 B．13
C．－9 D．37
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
7．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )
A．174斤 B．184斤
C．191斤 D．201斤
8．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
9．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
10．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4
【练提升】
1．已知数列{an}满足3an＋1＝9·3an(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝( )
A．－eq \f(1,3) B．3
C．－3 D.eq \f(1,3)
2．已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
3．已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*.设cn＝abn，则数列{cn}的前100项和等于( )
A．4950 B．5250
C．5350 D．10300
4．(多选)设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有( )
A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0
C．当d>0时，a10＋a22>0 D．当d<0时，|a10|>|a22|
5．已知等差数列{an}的公差d<0，前n项和为Sn，若S5＝10a6，则当Sn最大时，n＝( )
A．8 B．9
C．7或8 D．8或9
6．(多选)设{an}是无穷数列，An＝an＋an＋1(n＝1,2，…)，则下面给出的四个判断中，正确的有( )
A．若{an}是等差数列，则{An}是等差数列
B．若{An}是等差数列，则{an}是等差数列
C．若{an}是等比数列，则{An}是等比数列
D．若{An}是等差数列，则{a2n}是等差数列
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
8．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝eq \f(Sn,n)，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
9．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.
10．等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
第27讲 等差数列及其前n项和
【练基础】
1．等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】C
【解析】根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若a2＋a3＝10，S6＝54，则有a2＋a3＝(a1＋d)＋(a1＋2d)＝10，S6＝6a1＋15d＝54，解得d＝4，a1＝－1，故选C.
2．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
【答案】D
【解析】因为a1＝1，an＋1＝an－1，所以数列{an}为等差数列，公差d为－1，所以a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故选D.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S7＝49，则a2，a6的等差中项是( )
A.eq \f(49,2) B．7
C．±7 D.eq \f(7,2)
【答案】B
【解析】由已知，得S7＝eq \f(7a1＋a7,2)＝7a4＝49，所以a4＝7.所以a2，a6的等差中项为eq \f(a2＋a6,2)＝a4＝7.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝( )
A．36 B．72
C．144 D．288
【答案】B
【解析】法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，
∴d＝eq \f(3,2)，∴S9＝9×2＋eq \f(9×8,2)×eq \f(3,2)＝72.
法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，
∴S9＝eq \f(9a1＋a9,2)＝72.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝5S2＋a4，a1＝1，则a6＝( )
A．16 B．13
C．－9 D．37
【答案】A
【解析】设等差数列{an}的公差为d.由S5＝5S2＋a4，得5a1＋eq \f(5×5－1,2)d＝5(2a1＋d)＋(a1＋3d)．将a1＝1代入上式，得d＝3.故a6＝a1＋5d＝1＋15＝16.
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列．
∴eq \f(Sm－1,m－1)＋eq \f(Sm＋1,m＋1)＝eq \f(2Sm,m)，即eq \f(－2,m－1)＋eq \f(3,m＋1)＝0，
解得m＝5，经检验为原方程的解，故选C.
7．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )
A．174斤 B．184斤
C．191斤 D．201斤
【答案】B
【解析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d＝17，n＝8，S8＝996，以第一个儿子分到的绵数a1为首项，所以8a1＋eq \f(8×8－1,2)×17＝996，解得a1＝65，所以第8个儿子分到的绵数a8＝a1＋(n－1)·d＝65＋7×17＝184.故选B.
8．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
【答案】C
【解析】由3an＋1＝3an－2⇒an＋1－an＝－eq \f(2,3)⇒{an}是等差数列，则an＝eq \f(47,3)－eq \f(2,3)n.
∵ak·ak＋1<0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(47,3)－\f(2,3)k))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(45,3)－\f(2,3)k))<0，∴eq \f(45,2)
9．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
【答案】C
【解析】设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
10．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4
【答案】B
【解析】设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝－6，,a1＋5d＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－9，,d＝3.))于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋eq \f(3×2,2)×3＝－18，S4＝4×(－9)＋eq \f(4×3,2)×3＝－18，所以S4＝S3，S4
1．已知数列{an}满足3an＋1＝9·3an(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝( )
A．－eq \f(1,3) B．3
C．－3 D.eq \f(1,3)
【答案】C
【解析】由3an＋1＝9·3an(n∈N*)，得3an＋1＝3an＋2，所以an＋1＝an＋2，所以数列{an}是等差数列，公差为2.又a2＋a4＋a6＝3a1＋9d＝9，所以a1＝－3.所以lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝lgeq \f(1,3)(3a1＋18d)＝lgeq \f(1,3)27＝－3.故选C.
2．已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
【答案】B
【解析】∵等差数列{an}的公差为－2，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，
∴aeq \\al(2,3)＝aeq \\al(2,4)＋aeq \\al(2,5)－2a4·a5cs 120°，
即(a4＋2)2＝aeq \\al(2,4)＋(a4－2)2＋2a4(a4－2)×eq \f(1,2)，
化为aeq \\al(2,4)－5a4＝0，又a4≠0，解得a4＝5，
∴a3＝7，a5＝3，a6＝1，a7＝－1.
∵Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，∴实数m＝6.故选B.
3．已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*.设cn＝abn，则数列{cn}的前100项和等于( )
A．4950 B．5250
C．5350 D．10300
【答案】C
【解析】由题意可知，cn＝abn＝a1＋(bn－1)×1＝a1＋[b1＋(n－1)×1－1]×1＝a1＋b1＋n－1－1＝n＋3，所以数列{cn}是以4为首项，1为公差的等差数列，其前100项和为S100＝eq \f(1,2)×100×(4＋100＋3)＝5350.故选C.
4．(多选)设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有( )
A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0
C．当d>0时，a10＋a22>0 D．当d<0时，|a10|>|a22|
【答案】BC
【解析】因为S10＝S20，所以10a1＋eq \f(10×9,2)d＝20a1＋eq \f(20×19,2)d，解得a1＝－eq \f(29,2)d.因为无法确定a1和d的正负性，所以无法确定Sn是否有最大值，故A错误．S30＝30a1＋eq \f(30×29,2)d＝30×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(29,2)d))＋15×29d＝0，故B正确．a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(29,2)d＋15d))＝d>0，故C正确．a10＝a1＋9d＝－eq \f(29,2)d＋eq \f(18,2)d＝－eq \f(11,2)d，a22＝a1＋21d＝－eq \f(29,2)d＋eq \f(42,2)d＝eq \f(13,2)d，因为d<0，所以|a10|＝－eq \f(11,2)d，|a22|＝－eq \f(13,2)d，|a10|<|a22|，故D错误．
5．已知等差数列{an}的公差d<0，前n项和为Sn，若S5＝10a6，则当Sn最大时，n＝( )
A．8 B．9
C．7或8 D．8或9
【答案】D
【解析】解法一：由S5＝10a6，可得eq \f(5×a1＋a1＋4d,2)＝10(a1＋5d)，解得a1＝－8d，所以Sn＝na1＋eq \f(1,2)n(n－1)d＝eq \f(d,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(17,2)))2－\f(289,4))).因为d<0，所以当n＝8或9时，Sn最大．故选D.
解法二：因为S5＝eq \f(5×a1＋a5,2)＝eq \f(5×2a3,2)＝5a3，所以5a3＝10a6，所以5(a1＋2d)＝10(a1＋5d)，化简可得a1＋8d＝0，即a9＝0.因为d<0，所以当n＝8或9时，Sn最大．故选D.
6．(多选)设{an}是无穷数列，An＝an＋an＋1(n＝1,2，…)，则下面给出的四个判断中，正确的有( )
A．若{an}是等差数列，则{An}是等差数列
B．若{An}是等差数列，则{an}是等差数列
C．若{an}是等比数列，则{An}是等比数列
D．若{An}是等差数列，则{a2n}是等差数列
【答案】AD
【解析】若{an}是等差数列，设公差为d，则An＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2a1＋2nd－d，则An－An－1＝(2a1＋2nd－d)－[2a1＋2(n－1)d－d]＝2d，所以{An}是等差数列，故A正确；若{An}是等差数列，设公差为d，An－An－1＝an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝d，即数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B不正确，D正确；若{an}是等比数列，设公比为q，当q≠－1时，则eq \f(An,An－1)＝eq \f(an＋an＋1,an－1＋an)＝eq \f(an－1q＋anq,an－1＋an)＝q，当q＝－1时，则An＝an＋an＋1＝0，故{An}不是等比数列，故C不正确．故选A、D.
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，
又a1＝1，∴a2＝eq \f(1,2).
2anan＋1＝4Sn－3，①
2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②
②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.
∵an≠0，∴an＋2－an＝2.
(2)由(1)可知：
数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，
∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，
则当n为奇数时，an＝n.
数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为eq \f(1,2)，
∴a2k＝eq \f(1,2)＋2(k－1)＝2k－eq \f(3,2)，
则当n为偶数时，an＝n－eq \f(3,2).
综上所述，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n，n为奇数，,n－\f(3,2)，n为偶数.))
8．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝eq \f(Sn,n)，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
解：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋eq \f(kk－1,2)·d＝2k＋eq \f(kk－1,2)×2＝k2＋k，
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)证明：由(1)得Sn＝eq \f(n2＋2n,2)＝n(n＋1)，
则bn＝eq \f(Sn,n)＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝1＋1＝2，
所以数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝eq \f(n2＋n＋1,2)＝eq \f(nn＋3,2).
9．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)解法一：∵数列{an}是等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.
由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，
∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，
即2d＝4,2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－eq \f(1,2).
解法二：在等差数列{an}中，
由an＋1＋an＝4n－3，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，
∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2.
又a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－eq \f(1,2).
(2)由题意知，①当n为奇数时，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×eq \f(n－1,2)
＝eq \f(2n2－3n＋5,2).
②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝1＋9＋…＋(4n－7)＝eq \f(2n2－3n,2).
综上，Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2n2－3n＋5,2)，n为奇数，,\f(2n2－3n,2)，n为偶数.))
10．等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
解：(1)∵等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，
∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5，
解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝－1，,a1＋4d＝－7，))解得a1＝5，d＝－3.
∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
(2)由(1)知{an}的前n项和Sn＝5n＋eq \f(nn－1,2)×(－3)＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(13,2)n.
∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，
当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8.
当n<3时，T1＝5，T2＝7；
当n≥3时，Tn＝－Sn＋2S2＝eq \f(3n2,2)－eq \f(13n,2)＋14.
∵Tn≥1 464，∴Tn＝eq \f(3n2,2)－eq \f(13n,2)＋14≥1 464，
即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥eq \f(100,3)，
∴n的最小值为34.
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