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（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第39讲 两条直线的位置关系（讲+练）原卷版+解析
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1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．－2
2．直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(1,0) D．(－1,0)
3．已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是( )
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
4．两直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝a与eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是( )
5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．[－10,10] B．[－10,5]
C．[－5,5] D．[0,10]
6．若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法错误的有( )
A．直线l2的斜率为定值
B．当c＝25时，|PQ|的最小值为eq \f(3,2)
C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20
D．c≠10
7．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
8.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1
C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
9．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
10．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
【练提升】
1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于( )
A.eq \f(34,5) B.eq \f(36,5)
C.eq \f(28,3) D.eq \f(32,3)
2．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．6个
3．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是 (－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
4．若两直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交且交点在第二象限，则k的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1]
C．(0,1) D．(1，＋∞)
5.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1
C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
6．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y＋3－m＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
7．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
8．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
9.如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N，且|OM|＝4，|ON|＝8，工厂A在公路n上，|OA|＝2，工厂B到m，n的距离分别为2,4.货车P在公路l上．
(1)要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？
(2)P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)
10．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．
第39讲 两条直线的位置关系
【练基础】
1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．－2
【答案】D 【解析】由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故选D.
2．直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(1,0) D．(－1,0)
【答案】C 【解析】联立两直线的方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－1＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0，))即交点坐标为(1,0)．
3．已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是( )
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
【答案】B 【解析】由题意得AB的中点C为(1,1)，又A，B两点连线的斜率为kAB＝eq \f(5＋3,－2－4)＝－eq \f(4,3)，所以直线l的斜率为eq \f(3,4)，因此直线l的方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故选B.
4．两直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝a与eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是( )
【答案】B 【解析】法一：直线方程eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝a可化为y＝eq \f(n,m)x－na，直线方程eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝a可化为y＝eq \f(m,n)x－ma，由此可知两条直线的斜率同号，故排除A、C、D，选B.
法二：直线方程eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝a中用－x代换y，－y代换x，得eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝a，故两条直线关于直线y＝－x对称，故选B.
5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．[－10,10] B．[－10,5]
C．[－5,5] D．[0,10]
【答案】D 【解析】由题意得，点P到直线的距离为
eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).
又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．
6．若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法错误的有( )
A．直线l2的斜率为定值
B．当c＝25时，|PQ|的最小值为eq \f(3,2)
C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20
D．c≠10
【答案】C 【解析】∵l1∥l2，eq \f(a,2)＝3，eq \f(c,2)≠5，∴a＝6，c≠10，故A、D正确；∵|PQ|的最小值为两平行直线间的距离，∴当c＝25时，d＝eq \f(|10－25|,\r(62＋82))＝eq \f(3,2)，故B正确；当|PQ|的最小值为1时，d＝eq \f(|10－c|,\r(62＋82))＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误．
7．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
【答案】C 【解析】由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，则k＝－10.故若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10.故选C.
8.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1
C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
【答案】D 【解析】以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(09．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
【答案】BD 【解析】设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，
直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝eq \f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36)).因为eq \f(d1,d2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq \f(13,3)，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
10．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
【答案】D 【解析】由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.
【练提升】
1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于( )
A.eq \f(34,5) B.eq \f(36,5)
C.eq \f(28,3) D.eq \f(32,3)
【答案】A 【解析】由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq \f(34,5).
2．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．6个
【答案】C 【解析】三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－eq \f(1,4)；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝1或－eq \f(5,3).故实数m的取值最多有4个，选C.
3．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是 (－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
【答案】C 【解析】设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))即A′(4，－2)，
∴直线A′C即BC所在直线的方程为
y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.
又知点C在直线y＝2x上，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2,4)，故选C.
4．若两直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交且交点在第二象限，则k的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1]
C．(0,1) D．(1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意知k≠±1.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＋1＝0，,x－ky＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,1－k2)，,y＝\f(1,1－k2)，))又交点在第二象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(k,1－k2)＜0，,\f(1,1－k2)＞0，))
解得－1＜k＜0.故选A.
5.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1
C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
【答案】D 【解析】以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(06．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y＋3－m＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
【解析】动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，
动直线mx－y＋3－m＝0过定点B(1,3)．
由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y＋3－m＝0垂直，即|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.
当m＝0时，直线x＝0与y＝3垂直，也满足|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.
∴|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq \f(|AB|2,2)＝eq \f(12＋32,2)＝5，
即|PA|·|PB|的最大值为5.
【答案】5
7．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
【解析】(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得eq \f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(3,4).
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上可得，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，
因为kOP＝－eq \f(1,2)，
所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离是eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5).
8．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4eq \r(2)，
∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立．
9.如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N，且|OM|＝4，|ON|＝8，工厂A在公路n上，|OA|＝2，工厂B到m，n的距离分别为2,4.货车P在公路l上．
(1)要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？
(2)P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)
【解析】以m，n所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则有A(2,0)，B(－2，－4)，M(0,4)，N(－8,0)，故公路l所在的直线方程为x－2y＋8＝0.
(1)P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA|＋|PB|的值最小时P的位置．
设点A关于直线l的对称点A′(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2×\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝8，))∴A′(－2,8)．
又P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，此时|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P就是直线A′B与直线l的交点．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))∴P(－2,3)．
(2)由题意可知，原问题等价于求点P的位置，使||PB|－|PA||的值最大．A，B两点在直线的同侧，P是直线上的点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时||PB|－|PA||取得最大值|AB|，点P即直线l与直线AB的交点．
又直线AB的方程为y＝x－2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝10，))∴P(12,10)．
10．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．
【解析】(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－0,a－2)＝－\f(1,3)，,3·\f(a＋2,2)－\f(b＋0,2)－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))所以C′(－1,1)．
所以直线AC′的方程为y＝1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝1，,3x－y－1＝0))得直线AC′与直线l的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))，此时|AP|＋|CP|取最小值．
(2) 如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－4,m－0)＝－\f(1,3)，,3·\f(m＋0,2)－\f(4＋n,2)－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝3，))所以B′(3,3)．
所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0))得直线AB′与直线l的交点为Q(2,5)，
此时|AQ|－|BQ|取最大值．
1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．－2
2．直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(1,0) D．(－1,0)
3．已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是( )
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
4．两直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝a与eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是( )
5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．[－10,10] B．[－10,5]
C．[－5,5] D．[0,10]
6．若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法错误的有( )
A．直线l2的斜率为定值
B．当c＝25时，|PQ|的最小值为eq \f(3,2)
C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20
D．c≠10
7．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
8.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1
C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
9．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
10．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
【练提升】
1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于( )
A.eq \f(34,5) B.eq \f(36,5)
C.eq \f(28,3) D.eq \f(32,3)
2．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．6个
3．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是 (－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
4．若两直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交且交点在第二象限，则k的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1]
C．(0,1) D．(1，＋∞)
5.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1
C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
6．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y＋3－m＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
7．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
8．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
9.如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N，且|OM|＝4，|ON|＝8，工厂A在公路n上，|OA|＝2，工厂B到m，n的距离分别为2,4.货车P在公路l上．
(1)要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？
(2)P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)
10．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．
第39讲 两条直线的位置关系
【练基础】
1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．－2
【答案】D 【解析】由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故选D.
2．直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(1,0) D．(－1,0)
【答案】C 【解析】联立两直线的方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－1＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0，))即交点坐标为(1,0)．
3．已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是( )
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
【答案】B 【解析】由题意得AB的中点C为(1,1)，又A，B两点连线的斜率为kAB＝eq \f(5＋3,－2－4)＝－eq \f(4,3)，所以直线l的斜率为eq \f(3,4)，因此直线l的方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故选B.
4．两直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝a与eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是( )
【答案】B 【解析】法一：直线方程eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝a可化为y＝eq \f(n,m)x－na，直线方程eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝a可化为y＝eq \f(m,n)x－ma，由此可知两条直线的斜率同号，故排除A、C、D，选B.
法二：直线方程eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝a中用－x代换y，－y代换x，得eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝a，故两条直线关于直线y＝－x对称，故选B.
5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．[－10,10] B．[－10,5]
C．[－5,5] D．[0,10]
【答案】D 【解析】由题意得，点P到直线的距离为
eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).
又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．
6．若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法错误的有( )
A．直线l2的斜率为定值
B．当c＝25时，|PQ|的最小值为eq \f(3,2)
C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20
D．c≠10
【答案】C 【解析】∵l1∥l2，eq \f(a,2)＝3，eq \f(c,2)≠5，∴a＝6，c≠10，故A、D正确；∵|PQ|的最小值为两平行直线间的距离，∴当c＝25时，d＝eq \f(|10－25|,\r(62＋82))＝eq \f(3,2)，故B正确；当|PQ|的最小值为1时，d＝eq \f(|10－c|,\r(62＋82))＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误．
7．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
【答案】C 【解析】由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，则k＝－10.故若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10.故选C.
8.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1
C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
【答案】D 【解析】以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
【答案】BD 【解析】设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，
直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝eq \f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36)).因为eq \f(d1,d2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq \f(13,3)，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
10．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
【答案】D 【解析】由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.
【练提升】
1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于( )
A.eq \f(34,5) B.eq \f(36,5)
C.eq \f(28,3) D.eq \f(32,3)
【答案】A 【解析】由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq \f(34,5).
2．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．6个
【答案】C 【解析】三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－eq \f(1,4)；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝1或－eq \f(5,3).故实数m的取值最多有4个，选C.
3．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是 (－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
【答案】C 【解析】设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))即A′(4，－2)，
∴直线A′C即BC所在直线的方程为
y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.
又知点C在直线y＝2x上，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2,4)，故选C.
4．若两直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交且交点在第二象限，则k的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1]
C．(0,1) D．(1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意知k≠±1.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＋1＝0，,x－ky＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,1－k2)，,y＝\f(1,1－k2)，))又交点在第二象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(k,1－k2)＜0，,\f(1,1－k2)＞0，))
解得－1＜k＜0.故选A.
5.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1
C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
【答案】D 【解析】以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0
【解析】动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，
动直线mx－y＋3－m＝0过定点B(1,3)．
由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y＋3－m＝0垂直，即|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.
当m＝0时，直线x＝0与y＝3垂直，也满足|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.
∴|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq \f(|AB|2,2)＝eq \f(12＋32,2)＝5，
即|PA|·|PB|的最大值为5.
【答案】5
7．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
【解析】(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得eq \f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(3,4).
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上可得，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，
因为kOP＝－eq \f(1,2)，
所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离是eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5).
8．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4eq \r(2)，
∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立．
9.如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N，且|OM|＝4，|ON|＝8，工厂A在公路n上，|OA|＝2，工厂B到m，n的距离分别为2,4.货车P在公路l上．
(1)要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？
(2)P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)
【解析】以m，n所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则有A(2,0)，B(－2，－4)，M(0,4)，N(－8,0)，故公路l所在的直线方程为x－2y＋8＝0.
(1)P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA|＋|PB|的值最小时P的位置．
设点A关于直线l的对称点A′(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2×\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝8，))∴A′(－2,8)．
又P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，此时|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P就是直线A′B与直线l的交点．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))∴P(－2,3)．
(2)由题意可知，原问题等价于求点P的位置，使||PB|－|PA||的值最大．A，B两点在直线的同侧，P是直线上的点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时||PB|－|PA||取得最大值|AB|，点P即直线l与直线AB的交点．
又直线AB的方程为y＝x－2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝10，))∴P(12,10)．
10．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．
【解析】(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－0,a－2)＝－\f(1,3)，,3·\f(a＋2,2)－\f(b＋0,2)－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))所以C′(－1,1)．
所以直线AC′的方程为y＝1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝1，,3x－y－1＝0))得直线AC′与直线l的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))，此时|AP|＋|CP|取最小值．
(2) 如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－4,m－0)＝－\f(1,3)，,3·\f(m＋0,2)－\f(4＋n,2)－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝3，))所以B′(3,3)．
所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0))得直线AB′与直线l的交点为Q(2,5)，
此时|AQ|－|BQ|取最大值．
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